6.2 二元一次方程组的解法（习题）（解析版）-华东师大版(2024)七下

专题6.2二元一次方程组的解法教学目标1.掌握代入消元法和加减消元法的步骤，能熟练解二元一次方程组。2.理解消元思想，会用整体代入、换元等特殊技巧解复杂方程组。3.能根据方程组特点选择合适的解法，提高运算效率。4.会列二元一次方程组解决实际问题，提升数学建模能力。5.体会转化、整体等数学思想，培养严谨的运算习惯。教学重难点重点（1）代入消元法和加减消元法的核心步骤及应用。（2）根据方程组特点选择恰当的消元方法。（3）特殊解法（整体代入、换元法）的运用。（4）列二元一次方程组解决实际问题。难点（1）消元思想的深层理解与灵活运用。（2）复杂方程组的化简与变形（如含分母、括号的方程组）。（3）同解方程组、错解复原等含参数问题的处理。（4）实际问题中等量关系的精准挖掘与建模。知识点01：消元思想1.核心本质：将二元一次方程组通过“消元”转化为一元一次方程求解，体现“化复杂为简单”的转化思想。2.消元途径：主要有代入消元法和加减消元法，可根据方程组特点选择合适方法。【即学即练】1．（24-25七年级下·河北邢台·期末）用消元法解方程组x-嘉嘉解法：由①-②，得淇淇解法：由②得3x+把①代入③，得3x(1)直接判断上述两位同学的消元过程是否有误．(2)请选择一种你喜欢的方法，解方程组．【答案】(1)嘉嘉的消元过程有误，淇淇的消元过程没有错误；(2)x【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．（1）由加减消元法和代入消元法的步骤判断即可；（2）由加减消元法和代入消元法的步骤分别求解即可．【详解】（1）解：嘉嘉解法：由①-②，得∴嘉嘉的消元过程有误，淇淇的消元过程没有错误；（2）解：嘉嘉解法：x由①-②，得-3把x=-1代入①，得-1-3y所以原方程组的解是x=-1淇淇解法：x由②得3x+把①代入③，得3x解得：x=-1把x=-1代入①，得-1-3y所以原方程组的解是x=-1知识点02：代入消元法1.定义：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程消去该未知数，转化为一元一次方程求解。2.步骤：①变形（选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个）；②代入（代入未变形的方程，消去一个未知数）；③求值（解一元一次方程）；④回代（求另一个未知数的值）；⑤写解（用大括号联立结果）。3.适用场景：某未知数系数为1或-1，或常数项为0的方程组。【即学即练】1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组：(1)x(2)x【答案】(1)x(2)x【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组，掌握代入法的步骤，即从一个方程中用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程消元求解是解题的关键．（1）先化简第二个方程，再从第一个方程中用x表示y，代入化简后的方程，消元求解．（2）从第一个方程中用y表示x，代入第二个方程，消去x，解出y后再求x．【详解】（1）解：x化简方程②：73由方程①得：y=8-代入方程③：335x将x=3代入y=8-方程组的解为x=3（2）解：x由方程①得：x=3-代入方程②：8(3-24-通分计算：24--y将y=125代入x=3-方程组的解为x=-47知识点03：加减消元法1.定义：通过将两个方程两边相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。2.步骤：①变形（用适当的数乘方程两边，使某一未知数系数相等或互为相反数）；②加减（系数相等相减，互为相反数相加，消去一个未知数）；③求值（解一元一次方程）；④回代（求另一个未知数的值）；⑤写解（用大括号联立结果）。3.适用场景：某一未知数系数相同、互为相反数或成倍数关系的方程组。【即学即练】1．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）解方程组：x【答案】x【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．方程组利用加减消元法求解即可．【详解】解：x①+②解得x将x=3代入①得：解得y=1∴方程组的解为：x=3知识点04：方程组的特殊解法1.整体代入法：将方程组中重复出现的代数式视为整体，代入化简求解，简化运算。2.换元法：设复杂代数式为新未知数，将原方程组转化为简单方程组求解，如含x+y、x-y的方程组。3.设参数法：对于含比例式（如xa=yb）的方程组，设比例系数为参数4.叠加叠减法：对于系数轮换型方程组（如ax+by=c【即学即练】1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现：解方程组：x将①整体代入②得7×4+y解得y=-14把y=-14代入①，x故原方程组的解为x=18这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答．(1)实践运用：请用“整体代入法”解方程组2x(2)拓展提升：请你仿照上面的解法解方程组，2025x+2024y【答案】(1)x(2)x【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键．（1）利用整体代入法解方程组即可；（2）利用整体代入法解方程组即可．【详解】（1）解：2x由①得2x将③代入②得2+57解得y=4将y=4代入③得2解得x=7∴原方程组的解为x=7（2）解：2025x①-②得即x+将②变形为2022将③代入④得2022×1+x解得x=-1将x=-1代入③得-解得y=2∴原方程组的解为x=-1知识点05：特殊方程组的处理1.同解方程组：两个方程组解相同，先解不含参数的方程组，将解代入含参数的方程求参数。2.错解复原问题：看错某参数的解仍满足未看错的方程，联立方程求原参数。3.含参数方程组：根据参数取值判断解的情况（唯一解、无数解、无解）。【即学即练】1．（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于x,y的方程组2x-【答案】1【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键．由原方程组无解，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．【详解】解：2x②×2-①可得∵关于x,y的方程组∴2k-解得：k=1∴k的值为1故答案为：1．题型01用代入消元法解二元一次方程组方法技巧：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个；代入未变形的方程消元，解一元一次方程；将结果回代变形方程，求出另一个未知数，联立得解。【典例1】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）解方程组：x=2y+1A．将①代入②，消去x B．将①代入②，消去yC．①+②，消去x D．①【答案】A【分析】本题考查解二元一次方程组．通过代入法，将方程①代入方程②，可以消去变量x，得到关于y的一元一次方程．【详解】解：∵方程①为x=2方程②为x-将①代入②，得2y化简得y+2=0∴消去了x，选项A正确，选项B错误；①+②得2x-y+1=2y+1化，化简得故选：A．【变式1】.（25-26八年级上·河南开封·月考）用代入消元法解方程组2x-y=53A．y=2x+5 B．y=2x-5 C【答案】B【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式是解题的关键．根据代入消元法的要求，将第一个方程变形为用x表示y的形式，从而消去y．【详解】解：∵2x∴-y∴y故选：B．【变式2】.（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解方程组2x（1）由①，得y=4-2x（2）将③代入②，得3x（3）去括号，得3x（4）解得x=7．将x=7代入③，得y以上解题过程中，开始出错的一步是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【答案】C【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键．根据代入消元法的运算法则进行判断即可．【详解】解：∵由①得y=4-2x将③代入②得3x去括号时，-2(4-2x)=-8+4x∴开始出错的一步是（3）故选：C．【变式3】.（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）用代入消元法解二元一次方程组2x+3yA．由①，得x=13-3y2 BC．由①，得y=13-2x3 D【答案】B【分析】本题考查了等式的性质，准确的计算是解决本题的关键．根据二元一次方程组的解法—代入消元法，可把方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，一般通过移项，系数化1，变形即可．【详解】解：A、由2x+3yB、由3x-yC、由2x+3yD、由3x-y故选：B．题型02用加减消元法解二元一次方程组方法技巧：变形方程使某未知数系数相等或互为相反数；系数相等相减、互为相反数相加消元；解一元一次方程后回代，联立得解，注意符号变化。【典例2】.（25-26八年级上·河北保定·月考）用加减消元法解方程组x+3y=5①xA．-2y=4 B．2y=6 C【答案】C【分析】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组．通过将方程①减去方程②，消去变量x，得到关于y的方程．【详解】解：①-②得∴x+3即2y故选：C．【变式1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组x【答案】x【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减法解方程组即可，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．【详解】解：x+①-②，得3y把y=2代入①，得x+2=10，解得∴方程组的解为x=8【变式2】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）解方程组：4x【答案】x【分析】本题考查解二元一次方程组．熟悉解二元一次方程组的一般方法：代入消元法，加减消元法，是解题的关键．本题利用加减消元法将两式相加消去y，得到x=5，并代入①，得到y【详解】解：①+②，得6x解得：x=5把x=5代入①，得：20-3移项，得：3y解得：y=2∴方程组的解为x=5【变式3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组x+2y=42xA．3 B．-1 C．0 D．【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的整体代入解法，解题关键是观察方程的结构特征，利用整体相加的方法直接得到x+通过将两个方程直接相加，整体求出x+【详解】解：∵方程组为：{①+②：(3x+∴x+y的值为故选：A．题型03用整体代入法解方程组方法技巧：识别方程组中重复出现的代数式（如x+y），将其视为整体，代入另一个方程简化运算，无需单独求未知数。【典例3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法化繁为简．解方程组x解：把②代入①，得x+2×1=3，解得x把x=1代入②，得y=0请用此方法解方程组3【答案】a【分析】本题考查整体代入法解二元一次方程组，掌握观察方程组的结构，将已知的代数式整体代入另一个方程以简化计算是解题的关键．观察方程组，发现方程②直接给出了a-b的值，因此可以将a-b=2整体代入方程①，先求出a【详解】解：3把②代入①，得3×2+4=2a，解得a把a=5代入②，得b∴方程组的解为a【变式1】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务：整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组5x解：把x+y=1看作整体代入①，得5×1-x=3，解得x=2．将x=2这种把x+y=1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“请你利用“整体代入消元法”解方程组6x【答案】x【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解．【详解】解：整理方程组得：2(3由②得3x-将③整体代入，得2×105-2将x=-2代入③，得3×(-2)-4解得y=-4所以原方程组的解为x=-2【变式2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料：解方程组：x解：由①，得x-y把③代入②，得4×1-y=5，解得把y=-1代入③，得x--1这种方法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组：2【答案】x【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题关键是通过观察方程的结构，将一个方程变形后得到的整体表达式代入另一个方程，从而实现消元，简化求解过程．先从方程①中整理出2x-y【详解】解：由①，得2x-观察方程②，可以将分子变形为32把③代入②，得3×2+45+2y把y=5代入③，得2x-∴这个方程组的解为x【变式3】.（25-26八年级上·全国·假期作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组2x+5y=3①解：将方程②变形4x+10y+y=5，即22x解得y=-1，把y=-1代入①得x请你运用以上方法解决下列问题：(1)模仿小红的方法解方程组{(2)已知x，y满足方程组6x2-【答案】(1)x(2)25【分析】本题考查了整体代换法解方程组，解题的关键是读懂题意，明确整体思想．（1）仿照小红的方法把②变形得：2x+6y+y=6，把（2）由①得：2x2+y2=25+2xy3③，再把②【详解】（1）解：把②变形得：2x2x+3把①代入③得：4+y解得：y=2把y=2代入①得：x解得：x=-4所以原方程组的解x=-4（2）由①得：2x2由②得：22x把③代入④得：2×25+2解得：xy=-把xy=-2072=25题型04用换元法解方程组方法技巧：设复杂代数式（如x+y=a、x-y=b）为新未知数，将原方程组转化为简单方程组，求解后回代求原未知数。【典例4】.（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组5x+y-3x-y=22x+【答案】x【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．令x+y=A，x-y=【详解】解：方程组3x+假设x+原方程组变形为3A解得A=12∴x+y=12故方程组的解为x=6【变式1】.（2025八年级上·山东青岛·专题练习）对于方程组x+y2+x-y3=13x+y3【答案】u=18v=12【分析】此题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解本题的关键．根据设出的u与v，将方程组变形，求出解确定出u与v的值，进而求出x与y的值．【详解】解：∵设x+y=∴x+y2将各个式子去分母化简为：3u由由①×3+②×2得：339u17uu=18将u=18代入①中得：3×18+2v=78∴综上u=18∵将u=18v=12代入x整理得x+由③+④得：x+2xx=15将x=15代入③中得：15+y=18∴综上x=15【变式2】.（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组：x+【答案】x【分析】本题考查解二元一次方程组，设x+y=a,【详解】解：设x+则原方程组可化为3a解得a=2所以x+解得x=4所以原方程组的解是x=4【变式3】.（24-25七年级下·贵州毕节·月考）解方程组：3m【答案】m【分析】此题考查了解二元一次方程组，先设m+5=a，【详解】解：设m+5=a，3a①+②得，解得a=1将a=1代入①得，3×1-2解得b=2∴m+5=1解得m=-4∴原方程组的解为m=-4题型05利用同构方程求解方法技巧：同构方程的核心是方程组的系数和常数项完全相同，仅未知数的表达式形式不同。先识别新方程组与已知解的方程组在系数、常数项上的一致性，再将新方程组中重复出现的整式（即“未知数替代式”）与已知方程组的未知数对应，用已知解直接等于替代式，求解原未知数。【典例5】.（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若方程组2a-3b=133aA．{x=8.3y=1.2 B．{x=10.3【答案】C【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设m=x+2，n=y-1【详解】解：设m=∴关于x、y的二元一次方程组2x+2-3y-1∵方程组2a-3∴方程组2m-3∴x+2=8.3∴{x故选：C．【变式1】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知二元一次方程组ax+2b=y3ax+【答案】x【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法．通过变量代换，将原方程组化为与已知方程组相同的形式，利用已知解直接求解即可．【详解】解：设t=2x-整理得：at+2令z=y-∵该方程组与已知方程组ax+2b=∴t=1,所以2x-1=1y-1=3，解得故原方程组的解为x=1故答案为：x=1【变式2】.（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）若方程组a1x+b1y=【答案】x【分析】本题考查了用换元法求二元一次方程组的解，把方程组a1x+4b1y=c1【详解】解：将方程组a1可得：a1∵方程组a1x+∴方程组a1x+整理可得：x=3故答案为：x=3【变式3】.（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目．解方程组：4x观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的4x+3y设4x+3y解关于m，n的方程组，得所以4解方程组，得x=3(1)材料中运用的数学思想是___________；A．数形结合思想

B．整体思想

C．分类讨论思想

D．类比思想(2)运用上述方法，解方程组3a(3)已知关于x，y的方程组a1x+b1y=(4)对于有理数x，y，定义新运算：x*y=ax+【答案】(1)B(2)a(3)m(4)-【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可．（1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想，（2）仿照材料中的解题思路，设3a-1=m，b-2=n，则方程组可化为m+2n（3）首先把方程组a1m+2-3b1n=c1a2（4）根据新定义，列出关于a,b,c的方程组，得出【详解】（1）解：∵材料中把方程组中的4x+3y看成一个整体，把6x-∴材料中运用的数学思想是整体思想，故选：B；（2）解：设3a-1=则原方程组可化为m+2解得：m=2∴3解得：a=1（3）解：整理方程组a1可得：a1可得方程组的解为m+2=3解得：m=1（4）解：∵3∴3∴b∴1题型06同解方程组问题方法技巧：将两个方程组中不含参数的方程联立，解出公共解，代入含参数的方程，列一元一次方程求参数。【典例6】.（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）已知关于x、y的方程组x-y=2【答案】-【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组x-y=2得出这两个方程组的解也是方程组x-y=2x+2y=5的解，然后解方程组，得出x=3y【详解】解：因为方程组x-y=2所以这两个方程组的解也是方程组x-解x-y=2将x=3y=1代入方程组ax解得a=-2所以3a【变式1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组ax+2y=62x-3【答案】4【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由题意，方程组的解与方程3x+5y=1的一个解相同，因此先解方程组{2x-3y【详解】解：解方程组{2①×5，得10x-②×3，得9x+15③+④得19x=38，解得将x=2代入②，得3×2+5y=1解得y=-1所以方程组的解为{x将{x=2y=-1代入即2a解得a=4故答案为：4．【变式2】.（25-26八年级上·全国·假期作业）方程组2x+3y=-5ax【答案】4【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程组成新的方程组，求解后，代入两个含参方程组成的方程组中，进行求解即可．【详解】解：∵方程组2x+3y∴方程组2x+3y解2x+3y把x=2y=-3代入ax故2a【变式3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组2x+5y=-6ax【答案】-【分析】本题考查了同解方程组的解法，掌握先求解公共未知数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求解参数是解题的关键．由于两个方程组的解相同，先联立两个方程组中只含x、y的方程，解出公共解x、y；再将公共解代入含a、b的方程，得到关于【详解】解：∵两个方程组的解相同，根据题意得2解得x∴解得a∴2题型07方程组的错解复原问题方法技巧：正确解代入所有方程，错解代入未看错的方程，联立得到关于参数的方程组，求解参数复原原方程组。【典例7】.（2025七年级上·全国·专题练习）小多和小晓一起解方程组ax+b2y=15-4ax-by=-2（aA．x=10 B．x=-4 C．x=2【答案】A【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题、解一元一次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得x=-3y=-1是方程-4ax-by=-2的解，【详解】解：由题意得：x=-3y=-1是方程-4ax∴12a解得：a=-1∴一元一次方程-ax-b解得：x=10故选：A．【变式1】.（24-25七年级下·甘肃武威·期末）甲、乙两人同解方程组ax-4y=-6①5x=by+10②时，甲看错了方程①(1)求正确的a，b的值；(2)求原方程组的正确解．【答案】(1)a=-2，b(2)x=【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．（1）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程②，乙求得的方程组的解满足方程①，据此可得关于a、（2）根据（1）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案．【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的a，解得x=3y=1，乙看错了方程②中的b∴甲求得的方程组的解x=3y=1，满足方程②，乙求得的方程组的解x∴5×3=b+10，∴a=-2，b（2）解：由（1）得，a=-2，b∴原方程组为-2由②得，x=把③代入①得-2y+2把y=13代入③∴方程组的解为：x=【变式2】.（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组ax+y=5①2x-by=13②时，甲看错了方程①中的a，解得x=【答案】a=4，【分析】本题考查了二元一次方程组的错解复原问题，掌握方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键．利用看错某方程系数时，所得解仍满足未看错的方程，分别将甲、乙的解代入对应未看错的方程，即可求解a、b．【详解】解：∵甲看错了方程①中的a，∴甲所得的解符合方程②，把x=722×72-∵乙看错了方程②中的b，∴乙所得的解符合方程①，把x=3y=-73a-7=5∴a=4，b【变式3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）甲、乙二人同解一个方程组：3x+     y=13①     x-3y=9②【答案】x【分析】利用“甲仅看错方程①中y的系数，乙仅看错方程②中x的系数”这一条件，可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①．通过这两个解分别求出方程①中y的系数和方程②中x的系数，再解出正确的方程组．【详解】解：设原方程组为3x甲仅看错了方程①中y的系数，∴他的解x=6y=766解得：b=5乙仅看错了方程②中x的系数，∴他的解x=1y=53×1+53+5解得：a=2将a=2，b=5①×3：9②×2：10③+④：19解得：x=3将x=3代入3×3+2解得：y=2∴方程组正确的解为：x=3【点睛】本题考查了二元一次方程组的解与加减消元法，解题关键是抓住“看错一个方程的系数，解仍满足另一个方程”这一关键信息，先确定方程中未知的系数，再求解完整的方程组．题型08含参数方程组的解的情况判断方法技巧：将方程组化为a1x+b1y=c1【典例8】.（23-24七年级下·江苏泰州·月考）若方程组x+y=12x+ayA．a≠2，b为任意实数 B．a=2C．a=2，b≠2 D．a，【答案】A【分析】此题考查的是解二元一次方程组；根据加减消元的思想，消掉x，然后再根据方程组有唯一解，可得a-【详解】解：x①×2得2x+2③-②∴a-2≠0∴a≠2，b故选：A．【变式1】.（25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于x,y的方程组ax+2y=a+1【答案】a【分析】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先根据方程组中的第一个方程可得2y=-ax+a+1，代入第二个方程可得【详解】解：ax+2由①得：2y=-将③代入②得：2x+b∵这个方程组有无穷多组解，∴2-ab=0，由2-ab=0得：将ab=2代入3-ab-b=0将b=1代入ab=2得：∴a=2,【变式2】.（22-23七年级下·山西吕梁·月考）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．二元一次方程组解的情况的讨论我们知道，二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+解：①×a2（1）当b1a2-b2a（2）当b1a2①若c1a2-c②若c1a2-c任务：(1)上面小论文中的分析过程中，主要体现的数学思想是（填选项）．A．整体思想；B．分类讨论思想；C．数形结合思想(2)请参照小论文提供的方法直接写出下列方程组解的情况：①x-5y=14x-(3)运用小论文提供的公式，解方程组2x【答案】(1)B(2)①有无穷多个解；②有唯一解；③无解(3)x【分析】（1）根据对分类讨论思想进行解答；（2）根据小论文中的判断方法进行方程组解的判断；（3）根据当b1a2-b2a【详解】（1）解：分不同情况讨论得出结果，故为分类讨论思想．故选B．（2）由题意得①x-5y②3x-y③x+y=-3（3）∵a1=2，b1=-1，c1=5，∴x=5×3-6×-∴方程组的解为x=3【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂例题中对不同方程组的解的情况分类．【变式3】.（23-24七年级下·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶二元一次方程组a1x+b1y=(1)判断二元一次方程组x+y=22x+2y(2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“10=8”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下．解方程组：2解：由①得y=5-2x，代入②得4【答案】(1)有无数个解；有唯一解(2)见解析【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义；（1）根据二元一次方程组的解与系数的关系求解即可；（2）根据（1）的结论可知，原方程组无解，所以出现错误．【详解】（1）解：对于第一个二元一次方程组x+ya1a2=12，所以该方程组有无数个解；对于第二个二元一次方程组2xa1a2=24=所以该方程组有唯一解．（2）解：∵2∴二元一次方程组2x题型09二元一次方程组的实际应用方法技巧：审清题意，找出两个独立等量关系，设两个未知数，列方程组求解，检验解是否符合实际意义（如正整数）。【典例9】.（25-26七年级下·全国·课后作业）一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需513秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是，动车组的速度是【答案】90千米/时180千米/时【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，掌握追及问题和相遇问题的公式，以及根据路程=速度×时间建立方程组的方法是解题的关键．同向而行时，相对速度为两车速度之差，路程为两车长度之和；相向而行时，相对速度为两车速度之和，路程同样为两车长度之和．根据这两个等量关系建立二元一次方程组，求解两车速度．【详解】解：设普通列车速度为x米/秒，动车组速度为y米/秒，两车总长度为：180+220=400米，相对速度为y-x，时间16秒：时间为513​秒=163秒，相对速度为即y​解得：x因此：普通列车速度：25米/秒，动车组速度：50米/秒．25米/秒=90千米/小时，50米/秒=180千米/小时，故答案为：90千米/时；180千米/时．【变式1】.（25-26八年级上·河南开封·月考）某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工120个零件，那么在规定时间内只能完成任务的90%；如果每天加工150个零件，那么可提前1天完成任务，且多加工50【答案】规定的时间为12天，这批零件的总数为1600个【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为t天，这批零件的总数为m个，根据“如果每天加工120个零件，那么在规定时间内只能完成任务的90%；如果每天加工150个零件，那么可提前1天完成任务，且多加工50个零件”【详解】解：设规定的时间为t天，这批零件的总数为m个，依题意，得：120解得：t=12答：规定的时间为12天，这批零件的总数为1600个．【变式2】.（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段19.2km长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工24m．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米．【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键．假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成19.2km可得方程120×x+y=19200，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程60【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米，原计划120天合作施工19.2km故可得方程120×x实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天x+24m施工剩余的乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天y+16m施工剩余的由此可得方程60x可得方程组120×x化简得x+解得x=96故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米．【变式3】.（23-24七年级下·浙江温州·期中）探究学校校服订购的方案．素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录．年份/年衣服数量/件裤子数量/件总价/元20221008073002023120607500素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版．【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价．【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的14，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有【答案】任务1：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元；任务2：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件；任务3：11【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元，根据题意列方程组求解即可；任务2：设购买衣服m件，裤子n件，则45m+35n=4900，得到n=140-97m，根据m任务3：由题意可知一件新版衣服55元，一件新版裤子45元，设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的

1414，可得a=14(a+b+c+【详解】任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元，由题意，得100x解得x答：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元；任务2：设购买衣服m件，裤子n件，由题意，得45m化简，得n=140-∵m≤80，n≤50且m，∴m=70n答：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件；任务3：∵每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元，∴一件新版衣服55元，一件新版裤子45元，设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的

1414，可得a=14(a+b+由题意，得55a将c+m55a化简得b=19∵a<50，且a，b∴a=49，b故答案为：11．题型10新定义下的二元一次方程（组）求解方法技巧：先精准理解新定义规则（如运算、特殊数、关联值等），将新定义表述转化为二元一次方程或方程组，结合定义中的限制条件（如数字不为零、互不相同等），按常规解法求解，最后验证结果是否符合定义要求。【典例10】.（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数x，y，定义新运算：x*y=ax+by，x⊗y=ax-by，其中a，回答下列问题：(1)a=________，b=(2)若x*2y(3)若关于x，y的方程组x*y=8+mx【答案】(1)1，-(2)x(3)m【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．（1）用加减消元法解方程组即可；（2）由a=1b=-2，得到x*y（3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x-【详解】（1）解：3①+②×2∴a=1把a=1代入②，得2-∴b=-2解得：a=1故答案为：1，-2（2）∵a∴x*2∵x∴x解得x-（3）依题意得x-解得：x=3∵x∴3m解得∶m=1.5【变式1】.（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数x，y，定义新运算：x*y=ax+by，x⊗y=已知3*2=-1，2⊗1=4，则根据定义可以得到：(1)a=________，b=(2)若x*y+(3)若关于x，y的方程组x*y=2m-(4)若关于x，y的方程组a1x*b1y=c1a2【答案】(1)1,-2(2)x(3)m(4)x【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．（1）用加减消元法解方程组即可；（2）由a=1b=-2，得到x（3）根据题意得出关于x,y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程（4）把所求方程组写成a1【详解】（1）解：3a①+②×2∴a把a=1代入②，得2-∴b解得：a=1故答案为：1,-2；（2）解：∵a=1∴x*y=∴x∵x*∴x解得x+（3）解：∵x*∴x-解得：x=5∵x∴5m解得：m=2（4）解：由方程组3a12x∵a1x*∴6解得：x=【变式2】.（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：对任意一个两位数a，若a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为fa例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和与11的商为33÷11=3，所以f(1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________；(2)如果“相异数”b满足fb=4，直接写出所有“相异数”b的值(3)如果m，n都是“相异数”，且m+n=100【答案】(1)52(2)13，31(3)是常数为9，见解析【分析】本题考查了新定义，解答本题的关键是明确题意，理解“相异数”．（1）根据题目中“相异数”的定义即可判断；（2）根据题目中“相异数”的定义，即可得到所有“相异数”b的值；（3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出f(m)+【详解】（1）解：由“相异数”的定义可得，两位数：20，52，44中，“相异数”为52；（2）解：设“相异数”b的十位数字是x，个位数字是y，∵“相异数”b满足f∴(10x∴11x即x+∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零∴当x=1时，y=3，此时b的值为当x=3时，y=1，此时b的值为∴所有“相异数”b的值为13，31；（3）解：是常数，理由如下：∵m、n都是“相异数”，且m+设m=10x+∴f(=10=11=x=19，∴fm【变式3】.（25-26七年级上·北京·月考）对于二元一次方程x-2y=2的任意一个解x=my=n，给出如下定义：若m≥n，则称m为方程x-2y=2(1)当x=0时，直接写出方程x-2y=2的“(2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________；(3)直接写出方程x-2y=2的最小“关联值【答案】(1)1(2)x=4y=1(3)2【分析】此题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系．（1）把x=0代入方程求出y的值，再根据“关联值”（2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可；（3）根据题意分两种情况求解.【详解】（1）解：当x=0时，即0-2解得y=-1∵0∴此时方程的“关联值”为1．（2）解：∵“关联值”为4，∴①当x=4时，即4-2y=2∴方程的解为x=4②当x=-4时，即-4-2y∴方程的解为x=-4③当y=-4时，即x-2×∵-6∴不符合题意，应舍去；④当y=4时，即x-2×4=2∵10>∴不符合题意，应舍去；综上所述，所有满足条件的方程的解有x=4y=1（3）解：∵x-∴x=2当x<y时，即2y此时y为方程x-2y=2的∵-2<∴不存在最小关联值；当x≥y，即2y+2≥∴x≤-2或x此时x为方程x-2y=2的“关联值”，∴方程x-2y=2的最小“一、单选题1．方程组6x+2y=3①A．①×3+②×2 B．①×3-②×2 C．①-②×2 D．①+②×2【答案】C【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．根据加减消元法进行求解即可．【详解】解：A、①×3+②×2，得24x变形后不能消去未知数x，故不符合题意；B、①×3-②×2，得12x变形后不能消去未知数x，故不符合题意；C、①-②×2，得8y变形后能消去未知数x，故符合题意．D、①+②×2，得12x变形后不能消去未知数x，故不符合题意；故选：C．2．方程组2x+y=-3m2y+xA．-5 B．-4 C．-3【答案】A【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程左右两边分别相加得到．3x+3y=m+5，根据方程组的解满足【详解】解：2①+②得∵方程组2x+y=-3m∴x+∴3x∴m+5=0∴m=-5故选：A．3．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．设火车的速度为xms，火车的长度为A．x=1000+y40C．x=1000+y0.4【答案】B【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据火车过桥问题，从开始上桥到完全过桥，火车行驶距离为桥长加车长；完全在桥上时，火车行驶距离为桥长减车长.利用速度、时间和距离关系列方程．【详解】解：设火车的速度为xm/s∵从开始上桥到完全过桥用时60s，行驶距离为1000+∴60x∵完全在桥上用时40s，行驶距离为1000-∴40x因此，方程组为60x故选：B．4．若x-2y+12+xA．-1，0 B．3，2 C．1，4 D．2，【答案】B【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解．本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键．【详解】解：∵(x-2y又∵(x∴x-解得x故选：B．5．若方程组3x-y=4k-5A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与代数式求值，解题的关键是将方程组中的两个方程相加，结合x+y=2024将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含x+y与k的等式，再代入x+【详解】解：已知方程组3x将两方程相加，得：(3x整理得：5x两边同时除以5，得：x+又因为x+y=2024解得k=2025故选：B．二、填空题6．已知二元一次方程组x+3y=13x【答案】2【分析】本题考查了二元一次方程组的整体加减消元法，解题关键是观察方程系数的特征，通过两式直接相减构造出x-通过观察两个方程的系数特点，可直接将两式相减，整体求出x-【详解】解：方程组{②-①：(32∴x-故答案为：2．7．已知二元一次方程3x+2y=1，用含x的代数式表示y，则【答案】1-3【分析】本题考查了用含一个未知数的代数式表示另一个未知数．将x视为已知数，通过解方程求出y的表达式【详解】解：解方程3x移项得2y两边同时除以2得y=故答案为：1-3x8．若关于x，y的方程组x+2y=3m-1x【答案】5【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．解法一：联立方程2x+3y=19和x+y=5解出x解法二：两个方程相加，再建立关于m的一元一次方程，求解即可．【详解】解法一：联立方程组2x解得x=-4将x=-4，y=9代入得-4+2×9=3解得m=5解法二：x①+2x∵2x∴3m解得：m=5故答案为：5