数学建模视角下的概率与数列相结合问题课件-2025届高三数学二轮复习

数学模型

数学建模及其应用视角下的概率与数列相结合问题——2026/3/15

数学家华罗庚说过“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，无处不用到数学。”

中科院数学院士吴文俊也说“数学，尤其是数学模型，存在于万事万物之中，可以说‘万物皆模型’。”1.情境导入，链接高考2026/3/15

方程是一种数学模型

研究宏观世界的相对论2026/3/15

方程是一种数学模型

研究微观世界的量子力学2026/3/15

不等式是一种数学模型示例1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？(1)某路段限速40km/h.(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

(节选自必修第一册37页)解：对于(1)，设在该路段行驶的汽车得速度为Vkm/h，“限度40km/h”就是V的大小不能超过40，于是0＜V≤40.对于(2)，由题意，得2026/3/15

函数是一种数学模型示例2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？(节选自必修第一册113页)解：设生物死亡年数为

，死亡生物体内碳14含量为

，则2026/3/15

概率也是一种数学模型示例3：甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，且均为相互独立的投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率均为0.5．第n次投篮的人是甲的概率记做Pn，请你尝试寻找与Pn相关的递推关系.(节选自2023年新高考全国I卷第21题，有改动、删减.)2026/3/15什么是数学模型？什么是数学建模？

简单来说，数学模型就是变量之间的关系式.

数学建模，就是建立数学模型的过程.2026/3/152.剖析习题，经典再现.

例1：

篮球比赛中，为了训练队员之间的团队合作意识，经常会进行三人传球练习.现已知A、B、C三人之间相互做传球训练，且均为相互独立的进行传球，第1次由A将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求经过n次传球后球在A手中的概率Pn.(结果用n表示)

(选自选择性必修三91页第10题，稍作改编.)2026/3/15

建模步骤1：在解决数学问题时，我们可以先计算一些特殊情况，获取一些具体的数据，为下一步分析数据做准备.

01-算一算问题1：请大家动手采用列举法计算P1、P2、P3、P42026/3/15

02-找一找问题2：你能在问题1的基础上，找到P2与P1，P3与P2，

P4与P3之间关系满足的共同规律吗？

这里可以类比在学习数列时寻找前后项规律的一些方法.

初步进行数学抽象，从具体的数据中抽象出一些具体的规律.2026/3/15

03-推一推追问1：你能在问题2的基础上，推广到一般情况吗？

第n次球回到A手中等价于前一次不在A手中，且下一次回到A手中.建模步骤2：设计变量，寻找变量之间的数学关系式(关系式即模型).

追问3：现在你能说一说这个数学表达式

背后的逻辑推理过程吗？

追问2：这里的1-Pn-1在概率上代表什么？

在这个问题中的实际意义是什么？2026/3/15第1次传球第2次传球第n-1次传球第n次传球状态流程图在A手中在B或C手中

下一次可以传回A手中

下一次不可能传回A手中全概率公式模型的实际应用2026/3/15

04-写一写问题3：现在你能在前面分析的基础上，自己将这个问题改写成一道

数列题吗？

这就是转化与化归的数学思想，将未知的问题变为我们熟知的问题.2026/3/15

建模步骤3：模型求解，解决问题.典型构造，共同回顾.待定系数，拆分构造2026/3/15数学建模的一般步骤

理解问题、获取数据转化问题、求解模型设计变量优化模型、反馈结果建立模型

建模的核心是数学抽象

逻辑推理

分析数据、寻找关系2026/3/1505-练一练

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，且均为相互独立的投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率均为0.5．

第n次投篮的人是甲的概率记作Pn，请你尝试寻找与Pn相关的递推关系.

(节选自2023年新高考全国I卷第21题，有改动、删减.)

现在请大家按照刚才我们研究问题的思路，让我们小组合作共同完成这个问题，先进行问题转化，画出流程图，再抽象出数学模型.2026/3/15第1次投篮第n-1次投篮第n次投篮状态流程图乙投篮甲投篮

甲投中，下一次继续甲投篮

乙未投中，下一次换甲投篮自然语言数学语言逻辑对应第2次投篮2026/3/15

逻辑推理

数学抽象，建立模型

模型求解2026/3/153.教材背景，改编重组.

抛骰子实验是我们学习概率的重要媒介，下面让我们继续沿着数学建模的视角再来看老师对课本上抛骰子问题的改编.

例2：甲同学投掷一颗质地均匀的骰子，每次出现朝上点数小于3点得1分，否则得2分，反复投掷这颗骰子且每次投掷都是相互独立的，将甲每次的得分累计记作n，你能计算出累计得分为n的概率Pn吗？(出题背景源自必修第二册和选择性必修第三册)2026/3/15数学建模报告

问题：甲同学投掷一颗质地均匀的骰子，每次出现朝上点数小于3点得1分，否则得2分，反复投掷这颗骰子且每次投掷都是相互独立的，将甲每次的得分累计记作n，你能计算出累计得分为n的概率Pn吗？建模的研究路径：

计算特例，获取数据

分析数据，设置变量

寻找关系，建立模型

转化问题，求解模型

模型优化，结果反馈2026/3/15一.建模前期准备问题1：每次投掷得1分和2分的概率分别是多少？P1，P2分别是多少？问题2：请你们画一画对应的流程图，看能否找到和Pn+1相关的递推关系式，说一说你找到的关系式背后的数学逻辑.关系式：

数学逻辑：问题3：你可以将这个问题改写成你所熟知的一个数学问题吗？累计得n+1分等价于在累计得n分基础上再得1分，或者是在累计得n-1分基础上再得2分.2026/3/15二.建模中期求解问题4：请你们仔细观察关系式中的系数，类比前面的拆分方法，从而构造出你们所熟知的数列，小组尝试看看吧.2026/3/15三.建模后期优化问题5：我们能不能换个视角，类比最开始的传球问题，从对立事件出发，得到一个新的数学关系式呢？说一说你的逻辑推理过程.关系式：

数学逻辑：我的收获：

累计得不到n+1分等价于在累计得n分基础上再得2分.2026/3/15

从自然走向理性，用数学丈量世界2026/3/154.课时小结，理清主线

同学们可以先说说在这节课上运用到了哪些知识以及数学思想方法，或者你自己还有什么困惑呢？2026/3/154.课时小结，理清主线

数学模型及应用知识线相互独立事件、对立事件全概率公式的应用求通项公式思想线方程思想化归思想寻找变量间的等式关系对问题进行转化素养线数学抽象数学运算数学建模根据具体情境抽象出数学表达式运用合理的运算手段处理问题方程模型、数列模型、概率模型等从教材到高考数列与概率2026/3/155.探究作业，延伸拓展

(一)书面作业

1.完成前面例2的后续解答过程.

2.对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，

表示“甲药的累计得分为

时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，请你说明关系式

的逻辑推理过程.(节选自2019年全国卷第21题，有改动、删减.)(二)探究作业

前面的三人传球问题，若改成4人传球呢？5人呢？若是k人传球呢？请你们小组合作尝试解决这个问题，并与大家分享你们发现的一些结论.可以是PPT汇报或是数学小论文.

(三)项目式作业(问题背景源自2021年新高考全国II卷第4题)

我国的北斗导航卫星系统由5颗地球静止同步卫星组成，请你们查询相关的资料，结合所学习过的物理、立体几何、函数知识，建立相关的模型，解决下面的问题.可查询的网址：(北斗官网)(全国大学生建模官网)推荐的书籍：《中学数学建模思维导学》《数学建模竞赛优秀论文评析》(1)地球静止同步卫星发出的信号覆盖地球表面积与哪些因素相关？哪些是主要因素，哪些是次要因素.(2)请你设计相关变量，画出几何图形后再建立函数关系，求出1颗地球静止同步卫星发出

的信号覆盖地球表面积的表达式.(3)2颗地球静止同步卫星发出的信号最多可以覆盖地球表面积多少？(4)3颗地球静止同步卫星发出的信号能否覆盖全球？说明理由.(5)要想实现全球定位导