清远市重点中学新高考数学二模试卷及答案解析

清远市重点中学新高考数学二模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在（1一%）'+（1-幻6+（1-1）7+（1-幻"的展开式中，含V的项的系数是（）

A.74B.121C.-74D.-121

2.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想己经被数学家证明，如“费马

大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果

它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2;如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”

的一个程序框图.若输入〃的值为10,则输出i的值为（）

3.己知命题〃：“加二1”是“直线x—〃少=0和直线x町，=0互相垂直”的充要条件；命题q：对任意

都有零点；则下列命题为真命题的是（）

A.B.p八DC.PyqD.PM

4.在直三棱柱ABC-4与G中，己知A8_LBC,AB=BC=2,CC]=272,则异面直线与4片所成的角

为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.过抛物线。V=4x的焦点户，且斜率为6的直线交C于点在x轴的上方），/为。的准线，点N在/上且

MNJJ,则M到直线NF的距离为（）

A.亚B.2垃C.26D.3石

6.片+6?=1是asinO+bcosew1恒成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数/（x）=sin（x+；g,要得到函数g（x）=cosx的图象，只需将＞=/（%）的图象（）

A.向左平移专个单位长度B.向右平移5个单位长度

STT

C.向左平移J个单位长度D.向右平移方517r个单位长度

1212

8.关于x的不等式如＞0的解集是（1,十⑼，则关于x的不等式（奴+与。-3）＞。的解集是（)

A.J(3,-Foo)B.(-1,3)

C.(1,3)D.y』）

9.设xwR,则“|x—l|v2”是。2＜一的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必条件

10.已知双曲线二,-三=：二|＞。二＞份，其右焦点1,'的坐标为二,£,点二是第一象限内双曲线渐近线上的一点，二

为坐标原点，满足二二=三，线段二二交双曲线于点二若二为二二的中点，则双曲线的离心率为（）

A.十D.

11.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里,

我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:则按照

以上规律，若10具有“穿墙术"，贝”-)

A.48B.63C.99D.120

12.如医所示，网格纸上小正方形的边长为L粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几

何体的体积为

A.72B.64C.48D.32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.过直线4%+3），-10=0上一点尸作圆f+9=1的两条切线，切点分别为A,B,则。人./坐的最小值是•

14.将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则

点数之和是6的的概率是

15.己知函数函数g（x）=/0）+/（_x）,则不等式g（x）W2的解集为一.

16.过动点M作圆：（x—2）2+（y—2）2=l的切线MV,其中N为切点，若|MN|=|M0（。为坐标原点），贝”MN|

的最小值是__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆C:5+y2=i的左、右焦点分别为£，K，直线1垂直于式轴，垂足为丁，与抛物线尸=4人交于

不同的两点P,Q,且4P-6Q=—5,过鸟的直线〃2与椭圆。交于AB两点，设月A=4片3.且/.

（1）求点7的坐标；

（2）求的取值范围.

18.（12分）如图，在直三棱柱A3C-A4G中，AB=BC=AAy=\,AC=g,点。，E分别为4c和4G的中点.

（I）棱AA上是否存在点?使得平面平面小？若存在，写出A4的长并证明你的结论；若不存在，请说

尸(片.%)0.0500.0250.0100.005().001

*03.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)已知函数F(幻=一213+2〃，G(x)=a\nxf设f(x)=F'(x)-G(x).

6

(1)当。=一3时，求函数/(力的单调区间；

(2)设方程/'(x)=c(其中c为常数)的两根分别为-夕(avQ),证明：铲］＜0.

(注：广(X)是/'(X)的导函数)

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据(1-4+(17)6+(17)7+(17)8,利用通项公式得到含炉的项为：0+*+优+或)(T)1进而得到

其系数，

【详解】

因为在(1—X)5+(1—x)6+(1—x)7+(I—X)8,

所以含./的项为：(禽+屐+r+或)(-X『，

所以含y的项的系数是的系数是-0+*+/+奥)，

=-(10+20+35+56)=-121,

故选：I)

【点睛】

本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，

2、B

【解析】

根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.

【详解】

输入〃=10,〃=1不成立，〃是偶数成立，则〃=—=5,/=0+1=1；

2

〃=1不成立，〃是偶数不成立，贝〃=3x5+1=16,/=1+1=2；

16

n=1不成立，〃是偶数成立，则〃=77=8，Z=2+l=3；

8

/?=1不成立，〃是偶数成立，则〃=一=4,/=3+1=4；

2

4

n=\不成立，〃是偶数成立，则〃=一=2,/=4+1=5；

2

2

〃=1不成立，〃是偶数成立，则〃=一=1,j=5+1=6；

2

〃=1成立.跳出循环.输出i的值为6.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.

3、A

【解析】

先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.

【详解】

当m=1时，直线x-町y=()和直线x+〃少=0,即直线为x-y=0和直线x+y=0互相垂直,

所以“m=1”是直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充分条件，

当直线不一my=0和直线x+〃?=0互相垂直时，加2=],解得〃7=±i.

所以“m=1”是直线x—根〉=0和直线x+my=0互相垂直”的不必要条件.

〃：二1”是直线工一6〉=0和直线x+"7)，=0互相垂直”的充分不必要条件，故〃是假命题.

当。=1时，/*)=d+i没有零点，

所以命题，是假命题.

所以D八(f/)是真命题，〃八(F)是假命题，是假命题，〃八"是假命题.

故选：

【点睛】

本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象，考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4、C

【解析】

由条件可看出ABN4M，则/BAG为异面直线AG与4蜴所成的角，可证得三角形34cl中，解得

tanZBAC,,从而得出异面直线AC,与所成的角.

【详解】

连接AG，BG，如图：

又ABIIA向,则ABAC.为异面直线AG与AM所成的角.

因为ABX.且三棱柱为直三棱柱，，AB面

8C,±CCPA48_1BCC.B,,

:.AB1BC、,

又AB=3C=2,CC、=20,:.阳=,(2可+22=26，

・•・tanNB4c=百，解得=60°.

故选C

【点睛】

考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

5、C

【解析】

联立方程解得M(3,26)，根据MNJJ得|MN|=|MF|=4,得到△MV户是边长为4的等边三角形，计算距离得到答

案.

【详解】

依题意得尸(1,0),则直线尸M的方程是尸石(Ll).由卜["'7得x=!或x=3.

[y2=4x3

由M在i轴的上方得M(3,26)，由MMU得|MN|=|MP|=3+1=4

又NNMb等于直线五M的倾斜角，即/NM尸=60。，因此△MN户是边长为4的等边三角形

点M到直线NF的距离为4x且=

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

6、A

【解析】

a=cosa八八八八八

设｛=>asin3-vbcos3=s'\n0cosa+cos0sina=sin(6/+a)<1成立；反之，a=/?=()满足

b=sina

asin0+灰1,但/+〃声1,故选A.

7、A

【解析】

根据函数图像平移原则，即可容易求得结果.

【详解】

J乃).(乃)

因为/x+—=sinx+—=cosx,

<12JV2)

故要得到g(“，只需将“司向左平移专个单位长度.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.

8、A

【解析】

由◎-/?>()的解集，可知4>0及，=1,进而可求出方程(ar+b)(x—3)=0的解，从而可求出(ar+Z?)(x-3)>0

的解集.

【详解】

由办一人>0的解集为(1,+?),可知〃>0且2=1,

令(or+))(x-3)=0,解得x2=3,

因为〃>0,所以(or+〃)(x-3)>0的解集为(-a),-l)U(3,4w),

故选:A.

【点睛】

本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.

9、B

【解析】

解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.

【详解】

由|不一1|<2,得・lvxv3,又由WO<x<l,

因为集合{工|0<%<1}<={』|一1<%<3},

所以“|X-1|<2"是，“2<X”的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】

本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.

10、C

【解析】

计算得到二二三二二三，代入双曲线化简得到答案.

【详解】

双曲线的一条渐近线方程为二二|二二是第一象限内双曲线渐近线上的一点，二二1二1

故.多，二二%故三代入双曲线化简得到：W二，故二=草

故选：二

【点睛】

本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

11、C

【解析】

观察规律得根号内分母为分子的平方减1,从而求出n.

【详解】

解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1

所以刀TO2—1=99

故选：C.

【点睛】

本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.

12、B

【解析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱

锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】

由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,

高为3的正四棱锥，

所以几何体的体积为V=%—%=4x4x5—gx4x4x3=64,故选B。

【点睛】

本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间

几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面

积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

【解析】

由切线的性质，可知网二卜可，切由直角三角形RiO,PRO,即可设网=x,/A0O=a,进而表示cosa,由图

像观察可知夕。进而求出工的范围，再用元仪的式子表示整理后利用换元法与双勾函数求出最小值.

【详解】

由题可知，|尸4卜|夕川，设卜=由切线的性质可知00=疗]],则

X2丁

cosa=.,cosa=———

x/771r+i

显然PO>do_{=-3、~=2,则+]=或(舍去)

x2-\

因为尸AP8=|PA^COSZAPO=x2cos2a=/•(2cos2a-\)=x2

x2+1

2=工2

x.fl--J]=f=f_2卜+1)―22+42=(X+1)+-^—―3

Ix2+l)x-+lx2+\x2+l17x2+\

9

令，=f+1/N4,则PA-P8=f+亍-3,由双勾函数单调性可知其在区间［4,+8）上单调递增，所以

【点睛】

本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函

数单调性或基本不等式求得最值，属于较难题.

5

14、——

36

【解析】

先求出基本事件总数6x6=36,再由列举法求出“点数之和等于6”包含的基本事件的个数，由此能求出“点数之和等于

6”的概率.

【详解】

基本事件总数6x6=36,点数之和是6包括（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）共5种情况，则所求概率是当.

36

故答案为总

【点睛】

本题考查古典概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.

15、[-2,2]

【解析】

3+x,x<-13-x,x>1

1+A：,-1<X<1,

(X-1)2,X>1(X+1)2,X<-1

x2+3x+4,x<-l

所以=

x2-3x+4,x>1

所以g(x)<2的解集为［-2,2］。

点睛：本题考查绝对值不等式。本题先对绝对值函数进行分段处理，再得到/(一X)的解析式，求得g(R)的分段函数

解析式，再解不等式g(x)W2即可。绝对值函数一般都去绝对值转化为分段函数处理。

【解析】

解答：由圆的方程可得圆心。的坐标为(2,2),半径等于1.

22222

由贝!I\MNf=(a-2)+(b-2)-l=a+b-4a-4b+7f

\MOf=a2+b2.

由|MN|二|MO|,得/+乂-4〃-4b+7="+比

整理得：4a+4b-7=0.

:・a,b满足的关系为：4〃+4力-7=0.

求的最小值，就是求附。|的最小值.

在直线加+4力-7=0上取一点到原点距离最小，

由“垂线段最短”得，直线0M垂直直线4〃+4。-7=0,

由点到直线的距离公式得：的最小值为:

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)7(2,0)；(2)

【解析】

(1)设出RQ的坐标，代入£P-6Q=—5,结合RQ在抛物线.9=4x上，求得RQ两点的横坐标，进而求得7

点的坐标.

(2)设出直线〃7的方程，联立直线〃?的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合4A=求得|力4+7B『的表达

式，结合二次函数的性质求得|力4+7冏的取值范围.

【详解】

(1)可知的(-1,0),周(1,0),

设尸(如％)，。(%-%)

则耳户•鸟。=-5=(%+1,%>(X0—1，一%)=/2—1一%2,

2

又y=4xt

所以一5=—1一4七)

解得为=2,

所以7(2,0).

(2)据题意，直线，〃的斜率必不为()，

所以设利：x=D'十1，将直线m方程代入椭圆C的方程中，

整理得(5+2)丁+2?-1=0,

设4(%2)，3(/,%)，

E2t

贝!1凹+必=-西5①

②

因为44=44氏

所以，=4%，且x<Q

将①式平方除以②式得&+匹+2=-二；

%y/+2

所以几十■!■十2二

A产+2

o

%£卜2,-1],又解得06产$亍

又9+7^=(玉+占一4,,+%)，工1+”4:心+必)_2=”；1)

288

所以忸+研=&+”4)2+(y+必『=16+2

^2(r+2)

令〃=F_T7,

r+2

,「7I

贝lj〃£—,—

162

7丫

174169

所以乙4+加=8〃2—28〃+16=8n——G4,―

4J~232

uirinr913x/2

TA+TBG

，~1-

【点睛】

本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的

坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.

311

18、（I）存在点。满足题意，且抬=:，证明详见解析；（II）—.

419

【解析】

（I）可考虑采用补形法，取AG的中点为尸，连接EE”,DF,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证

平面ACG，即3O_LA尸，若能证明则可得证，可通过相△MDsR/AAOF我们反推出点。对

应位置应在必=1处，进而得证；

4

（II）采用建系法，以Q为坐标原点，以DB,DC,OF分别为EV，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应

法向量，再结合向量夹角公式即可求解；

【详解】

3

（I）存在点P满足题意，且期二：

4

证明如下：

取AG的中点为F，连接EF,AF,DF.

则E尸〃所以Abu平面

因为A8=8C,。是AC的中点，所以8。JL4c.

在直二棱柱A6C—44G中，平面A5C_L平面ACG，且交线为4C,

所以BZ)_L平面ACG，所以凡

在平面4CG内，丝=丝=且，ZB4D=ZAPF=90o,

ADDF2

所以肋△PAZMAAOF,从而可得A£JLP£>.

又因为PDcBD=D,所以A77J_平面尸瓦).

因为A尸U平面抽£,所以平面28。_1_平面

(H)如图所示，以。为坐标原点，以08,DC,分别为HAz轴建立空间直角坐标系.

易知0（0,0,o）,8（；,o,o）,A（（）4,O,心生

所以哈-拜，。，爪界,0,08=(舁0

设平面AAE的法向量为m=。,)，,z),则有

।Fy

tn-BE=——x+—y+z=0,

44取y=2,得机=(—262—百).

tn•AB=—x+y=0.

22

同理可求得平面BDE的法向量为n=(0,4,->/3).

mn8+311

则cosm.n=I,,,=/:~------=一.

网"J12+4+3-J16+319

由图可知二面角A—的一。为锐角，所以其余弦值为技.

【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题

19、(1)三+二=1(2)证明见解析；定点坐标为(1,0)

43

【解析】

(1)由条件直接算出即可

y=kx-\-m,

-8toW-12

(2)由y2得(3+4尸)Y+8k7ir+4〃，-12=0,%+&=由^AM=&A£可

彳记‘中2二

6y,6%1111

得力=",同理y不然后由一+—二一+—推出机=一女即可

y为月以

【详解】

c1

(1)由题有〃-2,e=—=—.,\c-l,/.b1=a2-c2=3.

a2

，椭圆方程为《十二=1・

43

y=kx+m,

(2)由江+广7得(3+4公)x2+8knr+4/??2-12=0

43

△=64Ar2/??24(3卜4用(4疗12)>0=>/九？<4k2卜3

一8k〃？4/n2-12_,,

%+w二不F，52=不耳1•又原

y一0二为一06yl

玉+24+2

同理）’4=；76告y2

JC）十Z

1111

又一+—=——+—

X%%>4

,y+为_%+2,%+2_芯%+天,+2(y+必)

")1)‘26y6为6y}y2

・・・4(%+%)3%+工2,

:.4(Ax(+m+kx2+m)=x}(kx2+m)+x2(kxx+m)

，(4k一⑼(X+x2)-2kx]x2+Sin=0

-8km(W-12)24(%+/〃)

，（4攵-m）2k+8"?=0=>

3+4公3+4-3+4公

Am=—k»此时满足〃Fv442+3

/.y=kx+m=k{x-1)

・•・直线MN恒过定点(1,0)

【点睛】

涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.

20、A

【解析】

JT7T7T

由正弦定理化简得sin(A-B)=sin3,解得A=28〈不，进而得到C二万一38£(二,不)，利用正切的倍角公式求得

242

l>tan^>-l+V2,根据三角形的面积公式，求得=进而化简

4sinC

Qc

(c+a-b)(c+=------(1-cosC)=8tan—,即可求解.

sinC2

【详解】

由题意，在锐角AABC中，满足acosB=Z?(lIcos?!),

由正弦定理可得sinAcosB=sin8+sinBcosA,即sinAcosB-sin5cosA=sin5,

可得sin(A-8)=sin8,所以A—8=8,即A=2Bv2，

2

所以Bt(0,生)，所以A+B=3Bc(£,网)，则。二万一38€(工,巳)，

42442

C

2tan—「

所以tanC=--------可得+

1-tan2—2

2

14

又由A48c的面积S=-absinC=2,所以〃/?=-----,

2sinC

则(c+。一b)(c+b-a)=c2-a2-b~+lab=-2«Z?cosC+2ab=2ab(\-cosC)

r

o1-(1-2sin~彳)「

=------(1-cosC)=8x---------------好=8tan—e(8V2-8,8).

sinCCC2

2sin—cos一

22

故选：4

【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式和正切的倍角公式的综合应用，着重考查了推理

与运算能力，属于中档试题.

21、(1)填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过906〃〃!与性别有关(2)详见解析

【解析】

(1)根据题目所给数据填写2x2列联表，计算出K?的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均半速超过90初Z//?

与性别有关.

(2)利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.

【详解】

(1)

平均车速超过90k"平均车速不超过

合计

的人数90初。的人数