三道有关近似值计算习题及答案详解二

三道有关近似值计算习题及答案详解二1.eq\r(289.97)的近似值计算2.线法计算x^3+1.7x^2+8.5x-1.2=0的实数近似解误差不超过0.001。3.sin27.1°的近似计算1.eq\r(289.97)的近似值计算主要内容：通过线性穿插法、无穷小代换法，介绍计算eq\r(289.97)近似值的主要步骤。线性穿插法：设eq\r(289.97)=x，列三组数如下：eq\r(289)=17eq\r(289.97)=xeq\r(324)=18，eq\f(289.97-289,324-289.97)=eq\f(x-17,18-x),(289.97-289)(18-x)=(x-17)(324-289.97)0.97(18-x)=34.03(x-17)34.03x+0.97x=0.97*18+17*34.0335x=595.97x≈17.0277。无穷小代换法eq\r(289.97)=eq\r(289+0.97),=eq\r(289(1+eq\f(0.97,m))),=eq\r(289)*eq\r(1+eq\f(0.97,289)),≈17*(1+eq\f(0.97,578)),≈17.0285，即：eq\r(289.97)≈17.0285。用到的公式为：eq\r(1+x)≈1+eq\f(x,2)（x为无穷小）。2.线法计算x^3+1.7x^2+8.5x-1.2=0的实数近似解误差不超过0.001。主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算x^3+1.7x^2+8.5x-1.2=0的实数近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=x^3+1.7x^2+8.5x-1.2，对x求导有：f'(x)=3x^2+3.40x+8.5，f''(x)=6x+3.40。当x=0时，f(x)=f(0)=-1.2<0，当x=1时，f(x)=f(1)=1+1.7+8.5-1.2=10>0，可知在区间[0,1]上必有实数根，下面讨论根的唯一性：在区间[0,1]上，对于f'(x)=3x^2+3.40x+8.5，其对应方程3x^2+3.40x+8.5=0的判别式为：△=(3.40)^2-4*3*8.5=4*(1.7^2-3*8.5)=-4*22.61<0，则f'(x)=3x^2+3.40x+8.5＞0，所以函数f(x)为增函数，故方程x^3+1.7x^2+8.5x-1.2=0在[0,1]上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=x0-f(x0)/f'(x0)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=1-f(1)/f'(1)=1-10.0000/14.9000=0.329;x2=0.329-f(0.329)/f'(0.329)=0.329-1.8161/9.9433=0.146;x3=0.146-f(0.146)/f'(0.146)=0.146-0.0803/9.0603=0.137;x4=0.137-f(0.137)/f'(0.137)=0.137--0.0010/9.0221=0.137。至此，可知f(0.137)≈-0.0010>0，f(0.136)≈-0.0100＜0，所以此时可以以x=0.137或者x=0.136为方程根的近似值，其误差不超过0.001。3.sin27.1°的近似计算主要内容：详细介绍通过微分法、泰勒展开法计算sin27.1°近似值的主要思路和步骤。主要公式：sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,y=sinx，则y´=cosx，即dy=cosxdx。方法一：微分法计算∵(sinx)´=cosx∴dsinx=cosxdx.则有△y≈cosx△x，此时有：sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。对于本题有：x=27.1°=30°+△x,△x=-0.051。则：sin27.1°≈sin30°+cos30°*(-0.051)，≈sin30°+cos30°*(-0.051)，≈0.456。注意：本题中取x0为30°，当27.1°越接近30°时，近似值精确度越高。方法二：泰勒公式计算(1)sinx，cosx在x=0处泰勒展开根据泰勒幂级数展开，有：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!,cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+...+(-1)^n*x^2n/2n!。其中：n≥0，x为任意实数，即弧度制形式。(2)sinx在x=π/6处泰勒展开sinx=sin(x-π/6+π/6)=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)^n*(x-π/6)^(2n+1)/(2n+1)!+(1/2)∑<n=0,∞>(-1)^n*(x-π/6)^(2n)/(2n)!=(1/2)[1+√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5!-...]=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5!-...]。(3)当n=1时的近似表达式sinx≈1/2+(√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)^3/3!]-(x-π/6)^2/4≈1/2+(x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π/6)^2-(x-π/6)/4]≈1/2+(1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)^2-3(x-π/6)]≈1/2+(√3/12)(