数学第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质学习目标1.探索等边三角形的判定条件并证明，运用所学知识进行相关的证明和计算。2.探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。进行新课一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴进行交流。知识点1等边三角形的判定（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。ABC证明：∵∠A=∠B=∠C，∴∠A=∠B∴AC=BC（等角对等边）。∵∠B=∠C∴AC=AB

，∴AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形。（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。ABC证明：①若AB=AC，∠A=60°，则∠B=∠C

=(180°–∠A)÷2=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形。60°（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。ABC60°证明：②若AB＝AC，∠B=60°，∴∠C=∠B=60°。则∠A=180°–∠B–∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形。几何语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形定理三个角都相等的三角形是等边三角形。定理有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。几何语言：在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)∴△ABC是等边三角形等边三角形的判定证明等边三角形的思路：三角形等边三角形等腰三角形有一个角等于60°等腰三角形的判定思路1：三边相等思路2：三角相等【教材P20随堂练习

第1题】3.已知：如图，BD

//

AC，∠C=60°，DA平分∠BDC。求证：△ACD是等边三角形。证明：∵DA平分∠BDC，∴∠BDA=∠CDA。∵BD

//

AC，∴∠BDA=∠DAC，∴∠CDA=∠DAC，∴CD=CA，∵∠C=60°，∴△ACD是等边三角形。尝试·思考知识点2含30°角的直角三角形的性质（1）用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？（2）在上述拼接过程中，你发现了什么结论？发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。如何证明这个结论？ABC发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。已知：如图，△ABC

是直角三角形，∠C

=

90°，∠A

=

30°。求证：BC

=

AB。DABC证明：如图，延长

BC

至

D，使

CD

=

BC，连接

AD。∵∠ACB

=

90°，∴∠ACD

=

90°。∵AC

=

AC，∴△ABC

≌

△ADC（SAS）。∴AB

=

AD(全等三角形的对应边相等)。已知：如图，△ABC

是直角三角形，∠C

=

90°，∠A

=

30°。求证：BC

=

AB。在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)。∵∠BAC

=30°，∠ACB=90°，∴∠B=180°－30°－90°=60°。已知：如图，△ABC

是直角三角形，∠C

=

90°，∠A

=

30°。求证：BC

=

AB。∴△ABD

是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)。∴BC

=

BD

=

AB。DABC定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。几何语言：ABC30°含30°角的直角三角形的性质：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵∠A=30°，∴BC=AB例3

求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半。BADC已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高。求证：CD=

AB。BADC证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°，∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角)。∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)。∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°。∴CD=

AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)。∴CD=

AB。【教材P20随堂练习

第2题】4.如图，在△ABC

中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD

是△ABC

的高，且BD=1，求AD

的长。BCDA解：在△BCD

中，∠BDC=90°，∴∠BCD=30°，∴

BC=2BD=2。在△ABC

中，∠ACB=90°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=4，∴AD=AB–BD=4–1=3。练一练如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，则BC的长为______cm。12AB=AC，∠C=30°∠B=30°AB⊥AD∠BAD=90°∠DAC=30°BD=2AD=8cmCD=AD=4cmBC=BD+CD=12cm随堂练习1.下列说法不正确的是（）A.三边相等的三角形是等边三角形B.三个角相等的三角形是等边三角形C.有一个角是60°的三角形是等边三角形D.有两