2025-2026学年下学期安徽合肥高三数学3月质量检测试卷（含解析）

高三3月(二)数学注意事项:1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合AA.xx<−3或x≥1|B.C.xx<−2或x≥1∣2.已知z⋅1+i在复平面内对应的点为2,A.1+iB.−1+iC.3.某次高三数学测试成绩X服从正态分布N105,σ2,且PX≥120=0.18A.0.78B.0.64C.0.36D.0.224.已知递增的等比数列an的前n项和为Sn,若a2,a4是方程A.126B.63C.62D.315.在平面直角坐标系xOy中,已知点A1,4,B−2,3,C4,−1,DA.23B.13C.5D.6.已知函数fx=tan2x−π6的图象关于点Px0A.1B.-1C.33D.7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l与C交于A，B两点，M为线段AB的中点，过M作C的准线的垂线，垂足为N，若△FMN为等腰三角形，则直线A.22B.2C.1D.8.已知函数fx=2x,x≤0,log2x,xA.1,+∞B.C.32,+∞二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在一个不透明的盒子中,放有标号分别为1,2,3,4的四个大小相同的小球,现从这个盒子中有放回地先后取两个小球,取到球的标号分别为x,y,记ξA.事件“ξ=3”与“x=4且y=1”是相等事件B.当ξ=2C.Pξ=10.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的短轴长为A.E的方程为xB.若过点F1且垂直于x轴的直线交E于A,BC.若M,N是E上两点,且MN的中点为Q1,1,则直线D.若过点F1且互相垂直的两条直线与E分别交于点C,G和点D,11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，A.三棱锥A1−B.正方体的外接球球心到平面DA1C1C.存在点P,使得CD.点P到直线A1D的距离的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数fx=aex+x2−x,若fx13.已知圆C经过点A0,4，B2,6，且圆心C在直线y=2x上，若直线l:kx14.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,记掷出点数1为事件A,抛掷n次后事件A发生奇数次的概率为Pn,则Pn=_____(用四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a(1)求cosC(2)若a=b，且△ABC的外接圆的面积为9π5，求16.(15分)某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长(单位:时)，得到如下的频率分布表:每周课外阅读时长[[[4,6)[6,8)[8,10]频率0.10.20.30.250.15同时,对这200名学生进行写作水平测试,根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类,得到如下的2×2写作水平良好写作水平一般合计每周课外阅读时长不低于6小时50每周课外阅读时长低于6小时80合计200(1)根据已知条件补全2×2列联表,并依据小概率值α(2)从每周课外阅读时长在0,2和8,10的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设X表示抽取的2人中每周课外阅读时长在8,10附:χ2P0.050.010.001k3.8416.63510.82817.(15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，∠ADC=90∘，AD=2BC=2CD=2，PD⊥(1)求证:BE⊥AD(2)F为棱PD上一点，且直线PA与平面BCF所成的角为30∘，求平面BCF与平面PAD18.(17分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>(1)求C的方程.(2)动直线l过C的右焦点F且与C交于A,B两点,证明:OA(3)C上是否存在互不重合的三点P,Q,M，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在，求出直线19.(17分)已知函数fx(1)当a=1时,求fx在区间(2)讨论fx(3)若函数gx=aexx+ax2−xfx+1高三3月(二)数学・答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.答案B命题透析本题考查集合的交与补运算.因为A={x∣−3≤x<1},所以CRA={x∣x<−3或x≥1},由x2+x−22.答案C命题透析本题考查复数的几何意义和复数的运算.由题意得z=3.答案B命题透析本题考查正态分布.由已知得90与120关于均值105对称,故P904.答案A命题透析本题考查等比数列基本量的计算.由x2−20x+64=0解得x=4或x5.答案D命题透析本题考查平面向量的坐标运算.因为B−2,3,C4,−1,D为BC的中点,所以D1,1.设Ex,y,则AE=x−1,y−46.答案A命题透析本题考查正切函数的图象和性质.令2x−π6=kπ2k∈Z,得x=kπ4+π12k∈Z,即fx图象的对称中心为kπ4+7.答案C命题透析本题考查直线与抛物线的位置关系.抛物线C:y2=4x的焦点为F1,0,准线方程为x=−1.因为直线l的斜率存在且不为0,直线l过焦点F1,0,所以可设直线l的方程为x=ty+1t≠0,联立得x=ty+1,y2=4x,消去x,得y2−4ty−4=0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1+y2=4t,x1+x2=ty1+y2+2=4t2+2.设AB8.答案D命题透析本题考查分段函数及函数的单调性.当x≤0时,令gx=fx+fx−1=2x+2x−1,易知函数gx在(−∞,0]上单调递增,所以gx≤ g0=32;当0<x≤1时,令hx=fx+fx−1=log2x+2x−1,易知hx二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.答案BD命题透析本题考查互斥事件的概念、古典概型的概率及条件概率的计算.对于A,事件“ξ=3”包含“x=4且y=1”和“x=1且对于B,当ξ=2时,x,y的取值组合情况为1,3,2对于C,从盒子中有放回地先后取两个小球,基本事件总数为n=4×4=16,当ξ=x−y=1时,有1,2对于D,​ux≥y”包含的基本事件有1,1,2,1,2,2,3,1,3,2,3,3,4,1,4,2,4,3,10.答案ACD命题透析本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系.对于A,依题意得b=3,PF1⋅PF2≤P对于B,由上面的分析知F1−1,0,把x=−1代入方程x24+y23=1,得对于C,设Mx3,y3,Nx4,y4,则x324+y323=1①,x424+y423=1②,①-②,得x3−x4x3+x44+ y3对于D,当直线CG,DH中有一条的斜率不存在时,不妨设直线CG垂直于x轴,此时CG=3,DH=4,则1CG+1DH=13+14=712;当直线CG,DH的斜率都存在时,设直线CG的斜率为kk≠0,Cx5,y5,Gx6,y6,其方程为y=k11.答案ABD命题透析本题考查两直线垂直的判断,点到直线、平面的距离的求解.对于A,因为AC//A1C1,AC⊄平面DA1C1,A1C1⊂平面DA1C1,所以AC//平面DA1C1,所以对于B,连接AB1,CB1,记正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球球心为O,易知O是正方体体对角线BD1的中点,因为平面DA1C1//平面B1AC,且平面DA1C1和平面B1AC对于C,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D0,0,0,A2,0,0,C0,2,0,A12,0,2,B12,对于D,A1P=A1A+AP=0,0,−2+−2λ,2λ,0=−2λ,2λ,−2,三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.答案2命题透析本题考查导数的几何意义.由fx=aex+x2−x,得f′x=aex+2x−1,则f′0=ae13.答案0命题透析本题考查直线过定点、直线与圆的位置关系.由圆心C在直线y=2x上,可设Ca,2a,圆C的半径为r,因为圆C经过点A0,4,B2,6,所以AC= BC圆心为C2,4,半径r=2.依题意,圆心C2,4到直线l:kx−y+2k+2=0的距离14.答案1命题透析本题考查二项式定理的实际应用.记抛掷n次后,事件A发生偶数次的概率为Qn,则Pn=Cn116156n−1+Cn316356n−四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.命题透析本题考查利用正、余弦定理解三角形.(1)由3a−结合正弦定理,得3sinA即3sinA因为sinA≠0,所以3cosC=(2)由(1)知cosC=23，则设△ABC的外接圆的半径为R,由πR2=9π由正弦定理,得c=2R在△ABC中,由余弦定理得c代入c=2,cosC=所以a=b故△ABC的周长L=16.命题透析本题考查独立性检验和超几何分布的分布列和数学期望.(1)每周课外阅读时长不低于6小时的人数为200×补充完整的2×2写作水平良好写作水平一般合计每周课外阅读时长不低于6小时503080每周课外阅读时长低于6小时4080120合计90110200(3分)零假设为H0:根据上表中的数据可得χ2=依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0(2)按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，从0,2中抽取0.10.1+0.15×5=2人，从X表示抽取的2人中每周课外阅读时长在8,10的人数,则X的所有可能取值为0,1,2.(10分)所以X的分布列为X012P133(13分)EX=17.命题透析本题考查线线垂直的证明及利用空间向量解决线面、面面夹角问题.(1)如图,过点E作EH⊥DA交DA于点H,连接因为PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以又EH⊥AD,所以PD//EH,因为E为PA的中点,所以H为AD因为AD=2BC=2CD又AD//BC,且∠ADC=90∘,所以四边形BCDH又BH⊂平面BEH,EH⊂平面BEH,且EH∩BH=H,所以AD⊥平面BEH,又BE⊂(2)如图，以D为坐标原点，以DC,DA,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A0,2,0则BC=0设平面BCF的法向量为m=x,y,z,则令z=1,得y=0,x又PA=0,2,−解得t=1或t=−1(舍去),此时易知平面PAD的一个法向量为n=1设平面BCF与平面PAD的夹角为α,则cosα=m⋅n所以平面BCF与平面PAD的夹角为45∘.(1518.命题透析本题考查双曲线的方程,直线与双曲线的位置关系.(1)设双曲线的半焦距为cc>0,由离心率e=ca又c2=a2+b2,即由C过点3,2,得32a2解得a2所以C的方程为x22(2)易知C的右焦点为F6当l的斜率不为0时,设其方程为x=联立得x=ty+6,x22−则2t且y1所以x1x因为OA=所以OA=t2当l的斜率为0时,不妨设A−则OA=−2,0综上,OA⋅OB为定值(3)假设存在这样的三个点，使得四边形OPMQ为平行四边形，即OM=若直线PQ的斜率不存在,设其方程为x=m,代入双曲线方程可得m2不妨设Pm则OP=因为点M在C上,所以2m22−02此时2m2−4=2×1若直线PQ的斜率存在,设其方程为y=联立得y=kx+n,x22−则k2≠2,Δ2由x3+x4=2kn因为OM=OP+OQ,所以Mx又点M在C上，所以2kn2−k222由①②可得n2<0综上，不存在互不重合的三点P,Q,M，使得四边形OPMQ19.命