2025-2026学年下学期福建高三数学3月大联考试卷（含解析）

高三数学注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a=t+1,−2,bA.-3B.232.设集合A={x∣x<2A.2B.3C.4D.53.设复数z在复平面内对应的点为−3,2A.6B.26C.4D.24.已知等比数列an与等差数列bn满足a1aA.12B.−12C.5.已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点,A.23B.53C.266.某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积分(单位:分).为筛选“核心探索者”(享受专属虚拟道具与后续活动优先资格)，平台将所有参与者积分的第80百分位数定为核心资格门槛线.活动结束后，平台从10万参与者中随机抽取100人的积分数据,将所得数据按照[40,50),[50,60),[A.84分B.85分C.86分D.82分7.已知函数fx是定义域为R的偶函数,当x≥0时,fx=logA.3,+∞B.C.−3,8.在高为5的正三棱台ABC−A1B1C1中,AB=2A1B1=43,D,E,F分别为侧棱AA1,BB1A.323B.283C.31二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是A.x+15xB.“a>6”是“aC.“∀x∈R,xD.函数fx=x−1ax−10.已知函数fx=sinA.当fα−π20B.fx在3π40,11πC.gx的单调递减区间为D.将fx的图象向左平移π4个单位长度,可得g11.若mn−mA.当m>0时,m=lnnB.当0C.当m>0时,n三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若tanα+β=513.已知圆C的半径为5,且圆心C与抛物线Ω:x2=16y的焦点关于Ω的准线对称,直线3x+ 4y+28=0与14.如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选一个方位,并记下该方位圆内的数字,要求所得5个数字来自不同的方位(例如第1个圆选了左方位上的数字,后面4个圆均不能在左方位上选数字),且这5个数字之积为0,然后将这5个数字排成一个5位数，则共有_____▲_____种情况(在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆也视为不同的情况).四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a(1)求cosA(2)若a=c=516.(15分)如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥AC,PA=PC=25,AB=AC=4,PB=6,M,N分别是AP,(1)证明:M,N(2)证明:平面PAC⊥平面ABC(3)求平面AEF与平面ABC夹角的余弦值.17.(15分)学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战,且两段代码均调试成功才算一次挑战成功.已知成员M在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为13.若第一段代码调试成功,成员M信心提升,则调试第二段代码成功的概率为23;若第一段代码调试未成功,成员M会更谨慎,则调试第二段代码成功的概率为(1)求成员M在一次挑战中调试第二段代码成功的概率.(2)该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获100元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获50元奖励.若成员M进行2次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立,设成员M获得的奖励总金额为随机变量X,求X的数学期望EX18.(17分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0(1)求C的标准方程.(2)过点T−3,0的直线l交C于异于顶点的Ax1,y1,Bx2,y2两点,且x1>0,x(i)证明:点H在定直线上.(ii)证明:∠HTE19.(17分)已知函数fx=tax(1)当a=e,t=1时,求曲线y=f(2)当a=67,t=1时，记bn=fn+n2+ln1+(3)当a=e,t=e−k时，函数gx=f高三数学参考答案1.C由题意知a⋅b=4t+2.B因为A={x∣0≤x<4},所以3.B根据题意可得z=−3+2i,则z14.A由a2a4a6=64,得a43=64,解得a4=4.由5.B根据题意可得F1F2=102+56.A0.010+0.015+0.020+0.025×10=0.7<0.8<0.010+0.015+0.020+0.025×7.D因为函数y=log2x+1与y=x2+4x在[0,+∞)上单调递增,fx是偶函数,所以fx在8.C如图,设AF∩CD=P,BF∩CE=H,连接PH,AH,BP,DF,易知AH∩BP=O.由AB=2A1B1=43,得DF=33,所以FP34×12×34×48=353,三棱锥O−ABC的体积为19.ACDx+15x≥2x⋅15x=215,当且仅当x=15x,即x=15时,等号成立,A正确.由a2>6,得a>6或a<−6,所以“a>610.BDfα−π20=sin2α=13,则cos4α=1−2sin22α=1−29=79, A错误.由11.CD当0<n<1时,m=0符合题意,B错误.当n=1,m>0时,m≠lnn, A错误.设函数fx=ex−1x,则f′x=x−1ex+1x2,设函数gx=x−由g′x=xex<0,得x<0,则gx在−∞,0上单调递减,所以当x<0时,gx> g0=0,则f′x>0,所以fx在−∞,0上单调递增.设函数φx=ex−1−x,则φ′x=ex−1.当x<0时,φ′x<0,φx单调递减,当x>0时,φ′x>0,φx单调递增,所以φx≥φ0=e0−1−0=0.所以ex−1≥x,当且仅当x=0时,等号成立.当x>0时,ex−1x>1,当x<0时,ex−1x<1,所以当m>0且n≠1时,由题意可得em−1m=elnn−1lnn,因为12.1813.6Ω的焦点为F0,4，准线方程为y=−4，根据题意可得圆心C0,−12，圆心C到直线3x+14.2304因为这5个数字之积为0并排成一个5位数，所以第4个圆的上方位被选，左方位有C41种选择,同理右方位有C31种选择,下方位有C21种选择,正中间有C11种选择,且0不能在万位上,先排万位有C4115.解:(1)由正弦定理得sinAcos即sinA+因为sinA+B=sinC因为sinC≠0,所以(2)由余弦定理a2=b2+c2−即b2−3b=0,解得b=3或16.(1)证明:因为M，N分别是AP,AC的中点，所以MN因为E为BP上靠近点B的四等分点,F为BC上靠近点B的四等分点,所以EF//PC所以MN//EF,所以M,N(2)证明:因为PA=25,AB=4,PB=因为AB⊥AC,PA∩AC=A,所以因为AB⊂平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC(3)解:连接PN.因为PA=PC,所以PN⊥AC,则由(2)得平面PAC⊥平面ABC,所以PN⊥平面ABC.以A为坐标原点,以AB,AC所在直线分别为x,y轴,以过点A且平行于PN的直线为设平面AEF的法向量为n=则n令y=6,则n易得m=0,0,1为平面设平面ABC与平面AEF的夹角为θ,则cosθ=cos⟨m,n⟩=m⋅nmn=17.解:(1)设成员M在一次挑战中调试第一段代码成功为事件A，调试第二段代码成功为事件B.由题意得PB=(2)成员M一次“代码调试挑战”挑战成功的概率为13×23只调试成功两段代码中的一段的概率为13×两段代码均未调试成功的概率为23×由题意得,随机变量X的所有可能取值为0,50,100,150,200.9分PX=PX=PX=PX=PX=所以EX=18.(1)解:依题意可得a=2由OP=8+t2=将点P的坐标代入C的方程,得84−5b2=故C的标准方程为x24(2)证明:(i)根据题意可设直线l的方程为x=my由x=my−3,xΔ=900m2−1005因为y1+y2y1直线AD的方程为y=y1x1+2x+所以x+2则x=−43,即H在定直线x=−(ii)由(i)知H−4则kAT=tan∠BTE=y1x1+3=1m,13即tan∠BTE=tan2∠HTE，所以∠BTE19.(1)解:依题意，fx=ex所以f0=所以曲线y=fx在x=0(2)证明:由题意可知a=67,t=1时，bn=67=8分(3)证明:当a=e,t=e−k时，得e1x−k+lnx−k=0令函数