2025-2026学年下学期河北衡水高三数学3月一模试卷（含解析）

高三数学注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知两个单位向量a,b互相垂直，则A.3B.2C.5D.32.设集合A={y∣yA.[22,+∞)B.[23.若z2=−3+4iA.13C.124.在正四面体ABCD中,E为棱BC的中点,CF=3FD,A.27B.514C.35.某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取1000户居民，统计其月用水量(单位:吨)，并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用水量的临界值(精确到0.1)，使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的0.0临界值为A.26.8吨B.27.7吨C.28.3吨D.29.2吨6.若3sinα2+cosα2A.−1,78B.77.函数fx=A.1B.2C.3D.48.若非负数x,y满足y2−2xA.42B.42C.210二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若函数fx=−1−sinωxω>0在0,π内存在唯一的xA.12C.5210.已知函数fx的定义域为R,且对任意实数x,A.f1=1B.xfxC.f2<4D.fx的图象关于点11.已知正方形ABCD的边长为2,PA⊥平面ABCD,QB⊥平面ABCD,P,QA.点Q在四棱锥P−ABCDB.四棱锥Q−ABCD内切球的表面积为C.四棱锥P−ABCD与四棱锥Q−ABCDD.四棱锥Q−ABCD的四个侧面所在平面将空间分成三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设x表示不超过x的最大整数，则不等式1≤213.已知P是椭圆C:x29+y25=1上一点,点A−2,0,B2,0,若PA=2PB,过点A14.来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下:①每个环节至少安排1名选手，每人只参加1个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2人，且至少有1名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有_____▲_____种.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分别为棱BB1，AA1，CC(1)证明:B1G//平面(2)若G为线段EF的中点，且AB=4,AA1=2216.(15分)某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9,若设备故障,检测结果为“故障”的概率为0.9,已知每日的检测结果相互独立.(1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.(2)若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率.(3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费(检修后无损失)，若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统?说明你的理由.17.(15分)已知集合x∈Z∣an(1)若an=−n，bn=(2)若an，bn均为等差数列且an<bn，a(3)若an=2n−2n,bn+1=2bn+18.(17分)已知函数fx(1)证明:存在m∈R.使得曲线y=fx(2)当a>0时，讨论f(3)当fx的零点个数最多时，证明:fx19.(17分)设抛物线Ω的顶点为坐标原点O,焦点为F,且线段OF的中点为p4(1)当p=87时,求(2)点A为Ω上一动点，过A作Ω的准线l的垂线，垂足为H，设过A,F,H三点可作双曲线C,且C的两个焦点均在(i)若C过点O，求C的方程；(ii)求C的离心率的取值范围.高三数学参考答案题序1234567891011121314答案AADBCABCBCABDACD[151122【评分细则】【1】第1~8题,凡与答案不符的均不得分.【2】第9题,全部选对的得6分,有选错的不得分,每选对一个得3分;第10,11题,全部选对的得6分,有选错的不得分,每选对一个得2分.【3】第12题的答案还可以写为{x【4】第13题答对第一空得3分，答对第二空得2分.【5】第14题,其余答案均不得分.1.A本题考查平面向量的模,考查数学运算的核心素养.依题意得a−2b2=2.A本题考查函数的值域与交集,考查数学运算的核心素养.因为A=R,B=3.D本题考查复数的概念与运算,考查数学运算的核心素养.设z=a+bia,b∈R,则z2=a2−b2+2abi=−34.B本题考查立体几何与余弦定理的综合,考查直观想象与数学运算的核心素养.连接GF,设正四面体ABCD的棱长为4,则CE=∠则△CFG为正三角形,所以FG=CF=3,由余弦定理得EF5.C本题考查频率分布直方图和百分位数,考查应用意识与数据处理能力.由频率分布直方图可知,前五组的频率之和为5×0.01+0.02+0.03+0.05+0.03=0.7,前六组的频率之和为5×0.03+0.7=0.85,设该市月用水量的临界值为6.A本题考查三角恒等变换,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.因为3sinα2+cosα所以cosα又cosα−5π3∈−1,17.B本题考查函数的极值点与导数的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.由f′x=32x4−24x3+2x=当x∈−∞,−14时,f′x>0,fx单调递增;当x∈−14,0时,f′x<0,所以fx在x=−14处取得极大值,在x=08.C本题考查圆的方程,考查直观想象的核心素养及化归与转化的数学思想.令x=a≥0,y2−x因为y2−2x=则a−12+b−32=10a≥0,b≥0,则点a,b的轨迹为圆(a− 1)2+b−32=10不在第二、四象限的部分,则a9.BC本题考查三角函数的图象及其性质,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.由fx0=−2,得−1−sinωx0=−2,即sinωx0=1在0,π10.ABD本题考查抽象函数,考查数学抽象、数学运算及逻辑推理的核心素养.令y=0,得2fx+f−x+f1=3x−5,以−x替代再令x=1,得4f1=4,即f1=1,所以3fx=9x−6,即fx=3x−2,则f1=1,f2=4,A正确,C错误.xfx=3x2−11.ACD本题考查立体几何初步,考查数学运算、直观想象的核心素养及空间想象能力.将四棱锥P−ABCD补成一个正方体(图略),则四棱锥P−ABCD的外接球为该正方体的外接球,因为点Q是该正方体的一个顶点,所以点Q在四棱锥P−ABCD四棱锥Q−ABCD的体积V=13×22×2=83,侧面积S1=S△QAB连接PQ,易证PQ//AB//CD,PQ=AB=CD,则四边形CDPQ和四边形ABQP均为平行四边形,设PB∩AQ=E,PC∩DQ= F,则E,F分别为PB,PC的中点,设AD,BC的中点分别为G,H,连接EF,GH三个过同一点的平面将空间分成8个部分,一个过该点的且不与这三个平面重合的平面将穿过其中的6个部分,则四棱锥Q-ABCD(图中黑色的四条粗线所在直线可以视为这个四棱锥的四条侧棱所在直线)的四个侧面所在平面将空间分成8+6=1412.[0,因为1≤2x≤4,所以013.15;74因为A−2,0,B2,0分别为C的左、右焦点,所以PA+PB=2a=6,又设点H在x轴上的射影为G,O为坐标原点,则BG=BHcos∠ABH=1×14=114.1122本题考查排列组合的实际应用,考查逻辑推理的核心素养与分类讨论的数学思想.环节一的人数大于环节二的人数，环节一的人数大于或等于环节四的人数，故环节一至少有2个人，环节一、环节二和环节四至少共有4个人，因此环节三最多有3个人.当环节三有3个人时,则有可能是3个女生,或者2个女生和1个男生,或者1个女生和2个男生,则安排好环节三有C33+C32C41+C31C42=31种方案.当环节三只有2个人时，则有可能是2个女生，或者1个女生和1个男生，则安排好环节三有C32+C31C41=15种方案.剩余5个人,当环节一有2个人时,环节四有2个人,环节二有1个人,此时有C52C32=30种方案;当环节一有综上,满足条件的安排方案共有372+75015.本题考查立体几何与空间向量,考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.(1)证明:连接B1E，B因为AE//CF,AE=CF,所以四边形ACFE又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF//同理可得B1F//平面因为B1F∩EF=F,所以平面B又B1G⊂平面B1EF，所以B1(2)解:取AC的中点O，连接OB，OG，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，OB⊥AC，以O为坐标原点,OC,OB,OG所在直线分别为x,y,z所以AC=4,0,0,AD=2,23,令y=1,得n由cos⟨AG,得AG与平面ACD所成角的正弦值为147.13【评分细则】【1】第(1)问中，未写“B1G⊂平面B1【2】第(2)问中，平面ACD的法向量不唯一，建立空间直角坐标系的坐标原点也可以是AB的中点或BC的中点,阅卷请根据步骤给分.另外第(2)问还可以这样解答:连接DG,取AC的中点O,连接OD,OG易知OG//BD,OG=BD,则四边形OBDG因为O为AC的中点,所以BO⊥AC.因为BD⊥平面ABC,所以又BD∩BO=B,所以AC⊥过G作OD的垂线,垂足为H,因为GH⊂平面OBDG,所以AC10分又AC∩OD=O,所以GH⊥平面ACD在矩形OBDG中,OG=BD=2,DG连接AH,则AG与平面ACD所成的角为∠GAH,则sin∠GAH16.本题考查全概率公式及随机变量的期望,考查逻辑推理的核心素养与应用意识.解:(1)设某日检测结果与设备实际状态不符为事件A，则由全概率公式可得PA=故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1.3分(2)设恰有2天检测结果与实际不符为事件B，则PB故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486.7分(3)应该引进该自动化检测系统，理由如下:8分设使用自动化检测系统时每日总支出(即总损失)为X元.设备故障且被判为故障的概率为0.2×0.9设备正常却被判为故障的概率为1−0.2设备故障却被判为正常的概率为0.2×1则EX=因为244<280,所以应该引进该系统.【评分细则】【1】第(1)问中，直接写“所求概率为0.8×0.1+0.2【2】第(3)问的理由还可以这样写:设使用自动化检测系统时每日总支出(即总损失)为X元,则PX=PX=PX=则EX=因为244<280,所以应该引进该系统.17.本题考查数列的新定义与数列的综合,考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.(1)解:若an=−n，bn=3n，则则满足−2<x<9共有10个,故c2=(2)证明:因为an,bn∈Z所以cn+因为an,bn则bn+1−bn−a(3)解:由bn+1=2bn+2，得bn+1+2=2bn则bn+2=12⋅当n=1时,当n=2时,a当n≥3时,0当n=2时,5×2当n≥2时,S=9+又5×21+1−【评分细则】【1】第(1)问中，直接写“集合{x∈Z∣−2<x<9}【2】第(2)问中，在得到“cn+1−cn=bn+1−bn−an+1−an”后，如果写【3】第(3)问中，未写“cn=当n≥3时，Sn=9+又5×21+1−18.本题考查函数的零点与导数的应用,考查数学运算、逻辑推理及直观想象的核心素养.(1)证明:f′x=−3ax2+2ex则存在m=0，使得曲线y=fx在点(2)解:当a>0时，由fx=x−ax2+设函数gx=2ex令g′x<0,得0<x<2,则gx在0,2上单调递减,令g′x>0,得x<0或x当x>0时,gxmin=g2=e22,若x→0当x<0时,gx>0,若x→−∞,则gx→0当0<a<e22时,方程a=2当a=e22时,方程a=2ex当a>e22时,方程a=2ex(3)证明:由(2)知，当a>e22时，fx的零点个数最多，且0且2ex1=设函数hx=x−2lnx,则hx1=hx因为gx在−∞,0上单调递增,且g−1=2要证x1+x2+x3+0>3,只需证x1+x2>4,即证x2>4−x1,因为则F′x所以Fx在0,2上单调递减,则Fx>F2=0故当fx的零点个数最多时,fx的零点之和大于【评分细则】【1】第(1)问还可以这样解答:因为f′x所以f′0则存在m=0，使得曲线y=fx在点【2】第(2)问还可以这样解答:当a>0时,由fx=x−ax2+设函数φx=x2e则φx在−∞,0,2,+∞上单调递减,在当x→−∞时,φx→+∞,φ0=0,φ且∀x∈当2a>4e2,即0<a<e22时,方程2a=x2ex只有一个非零实数解,则fx有两个零点;⋯8分当2a=4e2,即a=e22时,方程19.本题考查抛物线与双曲线的综合,考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.解:(1)当p=87时，依题意得F的坐标为47,0，1分所以Ω(2)(1)因为C的两个焦点均在x轴上，且C经过A，H，F，O，所以由对称性可知，C的中心为线段OF的中点，即O′p4,0设C的方程为x−pH的横坐标为−p2,A,H均在C上,则A的横坐标为