2025-2026学年下学期河南开封高三数学3月学情调研测试二试卷（含解析）

秘密★启用前学情调研(二)数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2i+i1−i，iA.−12B.12C.2.已知向量a=4,2A.14B.18C.22D.353.已知集合A={x∣2+a<xA.-1B.-2C.-3D.−4.已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>A.x29+y235.如图是函数fx=Asinωx+A.fB.fC.fD.f6.已知数列an的前n项和为Sn,aA.0B.7C.9D.207.已知函数fx=x3−3A.1B.2C.3D.48.已知a=logA.b>cC.c>a二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.某小组共有12人，其中男生4人，女生8人，在某项测试中男生得分的平均数x1为9，方差s12为8;女生得分的平均数x2为6,方差s22为12,记这次测试中该小组总体的平均数为xA.x2<C.s2>10.已知Ax1,y1,Bx2,y2是函数fx=lnx图象上的两个动点,过A,B两点的切线l1与l2相交于点A.x1xC.MN为定值D.存在A,B两点,使△PMN11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1=4,M为AA1的中点,N为AB上一点,点O1,O2A.球O1的表面积为B.OC.点O2在球O3D.过O2O3的平面截球O1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知函数fx是定义域为R的奇函数,当x>0时,fx=18.设双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,过14.已知x,y∈−π2四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)小明参加庆新年活动中的一项小游戏.游戏中有完全相同的甲、乙两个小袋,每袋中有形状、质地和大小完全相同的8个乒乓球,其中甲袋中有6个黄球和2个白球,乙袋中有3个黄球和5个白球.游戏规定:参加游戏者首先从这两个袋子中等可能地随机选择一个袋子，再从选中的袋子中等可能地随机摸出一个球.(1)求小明摸出的是黄球的概率;(2)已知小明摸出的球是白球,求他选中的袋子为甲袋的概率.16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b(1)求a；(2)已知点D在边BC上，且BD=2DC，求17.(15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA=PD=(1)证明:平面PDC⊥平面ABCD(2)求平面ABP与平面ADP夹角的余弦值.18.(17分)已知圆心在y轴上移动的圆经过点A0,−4，且与x轴、y轴分别交于点Bx,0，C0,y(1)求曲线E的方程；(2)已知O为坐标原点,直线y=kx+4(k为实数)与曲线E交于P,(3)已知曲线E上存在三个点M1,M2,M3，使19.(17分)已知数列an的前n项和为Sn,且4−3a(1)求an(2)求fx(3)证明:l=学情调研(二)数学参考答案1.Dz=2i+i1+i1−故选D.2.Aa+b故选A.3.C由2x−1≤1,解得x<1或x≥3,所以B= {x∣x<1故选C.4.B由2BF2=3F所以椭圆C的标准方程为x2故选B.5.A由图可知,T2=5π8−π8=π2=πω,所以当A<0时,2×π8+又f0=Asin−综上函数fx的解析式为f故选A.6.C由u1=.7,un+2−un=4,所以数列又a0=3,an+2−an=4所以S9故选C.7.C由题意,f′x=−令x2−6x+6=0,解得x=3±3,设x1令f′x<0,解得0<令f′x>0,解得x<所以fx在0,x1,x即fx的单调递减区间为0,3−3和3+3,+∞),单调递增区间为当x∈−∞,0时,因为f−1=1−4e2<0,f0当x∈0,x1时,fx1=f3−3<f当x∈xfx2=f3+3>f3=1>0,故当x>x2=3+3>3时,fx综上,函数fx的零点个数为故选C.8.Dc又a=log0.30.2=设fx=x2−x,当0所以lg23−lg3<lg22−lg综上,b>故选D.9.ACx=4x1+8x212=36+4812=7故选AC.10.ABC由题设f−lnx,0<x设直线l1,l2的斜率分别为k当1≤x1<x2时,k1k2=1x1x2,则均与l1⊥l2矛盾,所以若l则k1k2=−1,则−1x1由x:x2=1,所以lnx1x2=lnx1+lnxl1:y+lnx1=−1x1x则MN=2−lnx1−ln设点P的横坐标为xP因为0<x1<1,联立直线所以S△PMN=12×MN×xP−xP，故选ABC.11.ABD直三棱柱ABC−A直三棱柱ABC−A1B1C1存在表面积为设球O3的半径为r3,即则球O3的直径2设点T,R分别为CC1,BB1的中点,由直三棱柱ABC−A1B1C如图，球O3在平面MTR中的截面圆与边分别切于点D由r3=1,AB=4,所以所以AC=3,又AC⊥AB设球O1的半径为r由上知O1为矩形BCC1B1的中心，且球O1的直径为矩形BCC1B1的对角线，所以球O1的半径r1=C又O1和O3均在一棱柱ABC−A1B且O1为TR的中点，又RD−RE=3又O3D⊥RT.1+122由MN⊥NB1、又MA1⊥A1B1、所以A1所以球():也是下,棱针C1−又C:A1、MA1、B1A1两两垂直，故球所以点O2在球O，外，所以C由上知():为C1R的中点，所以O当O.到过O2O且O1O2=52,O1所以O1到O2O3的距离为3012,该距离为O1又r1=292过U:O2的平面根球O1的截面圆面积的最小值为πr2故选ABD.17.4山地点f5=log21612.​3让AF2=BF山以曲线定义，BAF1 2a，所以AF2∼在Δ2B所以42化简得c′a2=314.11216()sinx+由sin′所以1−又cos2所以1得22cosx+y当且仅当cosx=2cosysiny=15.解:设“选择甲农”为事件A1,”选择乙袋”为事件A2.“摸球结果为黄球”为事件B1,“摸球结果为白球”为事件(1)P所以拔出的是黄球的概率为916.(6(2)因为B1,B2是对立事件，所以P所以选中的袋子为中袋的概率为2716.解:(1)在△ABC中，ABsinC=c由正弦定理可得3sinA又sinC→0,故3sinA−cos又0∘<A<180∘由余弦定理得a2=b2+c(2)由(1)知BD=23a又AD=AB所以AD2=由余弦定理,得cos∠ADB=17.解:(1)证明:设AB=2AD=4过点P作CD延长线的垂线,垂足为O,连接AO,因为ABCD为平行四边形,故AB//DC;又AP⊥AB又CO⊥OP,且AP∩OP=P;AP,OP⊂平面又AO⊂平面APO,可得DO又∠DAB=45∘,所以∠ADO=所以OD=又PD=22，且PO⊥OD又OA=2,PA=所以PO⊥OA,又PO⊥OD,OA∩OD=O,OA,OD⊂平面AOD,所以PO⊥平面AOD(2)由(1)可知，PO,AO,CO两两垂直，如图以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴,建立如图所示的空问直角坐标系则P0,AP=设n=x1,y1则n⋅AP=0,n⋅AB=0设m=x2,y2则m⋅AP=0,m⋅AD=0∴cos<所以平面ABP与平面ADP夹角的余弦值为63.(1518.解:(1)设圆心为0,b,则半径得圆的方程为x2+y−b2=b+42,(1分)由圆过点Bx,0又圆过点C0,y,所以y−b2由b=所以y2−整理得4y2−x又y=−4时，C0,y与A0,−4重合，故舍去。所以曲线E(5分)(2)证明​1设P由y=kx+1,x2=x0=1/k,要证∠PAO=∠QAO,只要证tan∠PAO= 只要证xpxp64+4=yp即xp+又xp+xq=4k综上,∠PAO=∠(3)不妨设M1M设点M1x1,x124,M2x2则直线M2M3的斜率为因为M1M2=得x2−因为k1=x124−x22因为−1k1=x224−x将②，③代入①，得2x1+4则x2=2k故△M1M2M322k因为k12+1≥2k1，则k1故k12+13k12k1+119.解:(1)由S1=a1,得4−3由4−3an−当n≥2时,所以4故4na又4a1=1，所