2025-2026学年下学期湖北随州高三数学3月二模试卷（含解析）

高三数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={x∈N∣A.{0,1,3,2.在复平面内,向量AB对应的复数为-1+4i,向量AC对应的复数为−3+i,则向量BCA.-4-5iB.−4+3.一批零件共有10个，其中有4个不合格.随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是()A.C42C61C4.已知等差数列an前n项和为Sn，若a7a3A.135B.513C.15.在2−x252x+1A.280B.300C.320D.3606.已知函数fx=x−ax−b2,其中a>b,3为fx的极大值点.A.3,92B.4,7.已知抛物线C:y2=4x，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α=60A.43B.127C.128D.428.某个圆锥容器的轴截面是边长为6的等边三角形，一个表面积为43πA.20πB.16πC.12πD.8π二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知向量c1,c2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点.对于α内任意一点P，若OP=xc1+yc2x,y∈R,则称有序实数对xA.点M1,2关于点OB.A,B两点间的距离为C.若向量OA平行于向量OB，则x1y2D.若C为线段AB上靠近点A的三等分点，则点C的广义坐标为x10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABCA.sinB.bC.a2bcD.cb+bc11.P为椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0上一点，A.Γ的离心率为1B.若△PF1F2为直角三角形，则这样的C.延长PF1交Γ于点Q，若PF1=2F1QD.△PF1F2的内心为I，直线PI与x轴相交于点三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知sinα−β=−113.已知圆O:x2+y2=25，直线l:4x+3y−12=0，点A−3,0，点P在圆O14.定义集合An=a1,a2,…,an∣a1,a2,…,an∈A，例如:若A={1,2}，则a1∈A,四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)2024年中央一号文件提出“发展乡村特色产业，拓宽农民增收致富渠道”。某山区县依托生态资源，大力发展高山云雾茶种植。该县农业农村局统计了2025年1月至12月某品牌高山茶的月销售量(单位:吨)，数据如下:月份x(月)123456789101112月销售y(吨)4.05.26.57.89.010.311.512.813.012.511.09.5(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r判断y与x是否具有较强的线性相关关系(结果精确到0.1)(若r>0.75，则认为y与x(2)求y关于x的线性回归方程y=bx参考数据:x=i参考公式:r=i16.(15分)已知a,(1)当b=1时，讨论f(2)设hx=fx+2ex−ax，若①求b的取值范围；②证明:hx17.(15分)在三棱锥S−ABC中,SA=SC,AB=CB，D为CA中点，点E在(1)若二面角S−AC−B的余弦值为12,2SD=BD=(2)若SA⊥SC，SB⊥平面SAC.设点B到SE的距离为a，到平面SAE的距离为b，求18.(17分)中心在原点,焦点在x轴上的等轴双曲线C的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1.过x轴正半轴上一点M且斜率存在的直线l交双曲线C的右支于P,Q(1)求双曲线C的标准方程；(2)若M为双曲线C的右焦点,且PM=λQM,且λ∈32(3)直线l分别和双曲线的两条渐近线交于A,B两点，且A,Q,P,B在直线l上从上到下顺次排列.设O为坐标原点,若19.(17分)已知数列an和θn,Sn为数列an的前n项和,a(1)求a2,(2)求数列an(3)求证:Sn高三数学参考答案1-8.BCBCADCB9.AC10.ABD11.ACD1.【答案】BU={0,2.【答案】C因为向量AB对应的复数为−1+4i，向量AC对应的复数为所以BC所以向量BC对应的复数为−2−33.【答案】B由组合数和古典概率可得,选B.4.【答案】CS13S55.【答案】A含x6的项为C206.【答案】Df′x=3x−bx−故x=b是fx的极大值点,故b=3,若fx在b+1,a内有最小值,只需b+17.【答案】Cy=3x同理:y=−338.【答案】B设小球的半径为r,所以小球的表面积为S=4πr2=4π因为小球的半径r=所以AE=AF又△AFE,△AGD都是等边三角形,所以圆台的上、下底面圆的半径分别为EF2母线长FG=所以圆台的侧面积为π×在圆锥底面,小球接触到的区域是一个圆,其半径为JK2=BC−2BJ综上,圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为4π+9.【答案】AC对于A,OM=e1+2e2,设M1则OM′=−OM=−e1−2e对于B,因为AB=所以AB=当向量e1,e2是相互垂直的单位向量时,A,B两点间的距离为x1−对于C,当OA或OB是0时,结论成立;当OA与OB都不为0时,设OA=λOB λ即x1=λx2y对于D,OC所以线段AB中点C的广义坐标为2x1故选:AC.10.【答案】ABD∵S=12bc由正弦定理可得sinBsinCsinA=sin2A∵sinA即sinB由正弦定理可得bsinC+csinB∵bcsinA=a2,a2bc=sin但是由sinBsinC=sinA=1由余弦定理得a2∴cb+bc=c2+b2bc=bcsinA+2bc11.【答案】ACD在△PF1F2中，由正弦定理得PF1+PF对于B:当P为上下顶点时,∠FP1F2最大,为π3,故这样的点P有4个,使得对于C:由题意可得,ΔPF1F2与△QF1对于D:由角平分线性质定理IMF1MF1故选:ACD12.【答案】−已知sinα−β=−1因为tanα=4tanβ代入上式可得4cosαsinβ−cosα则sinα13.【答案】49设Qx,y,Px0,y所以x=x0−3y=y0⇒x0=即x+32+y2=25,所以点Q由圆心−3,0到直线l:4x所以点Q到直线l:4x+3y−(或者圆的参数方程,结合辅角公式)14.【答案】56A6p中的元素满足a1+a将问题转化为将9个相同的小球放入6个不同的盒子中,每个盒子中球的个数分别是a1,a2,⋯,a故答案为:56.15.(1)判断线性相关关系:计算r=96.5143×99.8≈96.5119.5≈0.8,5分因为r≈0.8(2)b=ia=y故线性回归方程为:y=0.7x16.(1)由题意知fx的定义域为0,+∞当b=1时，f′x当a≤0时，f′x<0，则fx当a>0时,由f′x>0,解得x>1a;即fx在0,1a上单调递减,在综上所述，当a≤0时，fx在当a>0时,fx在0,1a上单调递减,在(2)①由题意得hx=2ex−blnxhx在1,2上有极值点等价于h′x=2e令px=2ex−bx,即当b≤0时,显然px>0在当b>0时,p′x=2ex+bx2>0令p1=2e−b<②此时px在1,2上有唯一零点px在1,2上单调递增,故当x∈1,x0时,px<0,即h′x<0;当x∈x0,2时,px>故x=x0是hx方法一:由上分析,hx0<h1=2e−b15分方法二:因hx由h′x0=px0=0令tx=1x−lnx,显然t则tx<t1=1,即117.(1)∵SA=SC，D为AC的中点，∵AB=CB，∴BD⊥AC，即二面角S∴cos∠SDB=12∵2SD=BD=4∴由勾股定理SD2又SD∩BD=D,∴AC⊥平面SBD,又又AC∩SD=D,∴SB(2)设SA=2,SB=2λλ>0，以S则S0,SB=∴a整理得:a=2设平面SAE的法向量为n=则SA⋅n=0SE⋅n=0,即2x=023∵λ>0,∴2+18.(1)设等轴双曲线C的标准方程为x2a2−y2a2=1a>0,顶点为±故所求双曲线的标准方程为x22(2)设直线lPQ:x=ty+2,Px1,y1,Qx2,y2，又x=ty+2x2−y2=2,所以t2−1y2+4ty+2又直线l的斜率k=1t,则故k∈−(3)依题意作图如下:由∠AMO知OQ⊥QM.又OA=OP12分设直线lPQy=kx+mx即x1再将直线l与直线x−y=0及直线得xA=m1−因此线段AB,PQ有相同的中点,故PQ因为∠AOB=∠AQO=90所以tan∠OAQ于是直线l的斜率k=tan∠19.(1)由S1=12+32tanθ1=1由