2026年国际数学奥林匹克中国国家集训队测试二第二天试题+答案

2026年国际数学奥林匹克中国国家集训队测试二第二天试题题1．给定整数n>1．对正整数k，用dk表示1,n1/k中dk题2．设ABCD是凸四边形．△ABC的内切圆与AB,BC分别切于点S,T，△BCD的内切圆与BC,CD分别切于点U,V，△CDA的内切圆与CD,DA分别切于点X,Y，△DAB的内切圆与DA,AB分别切于点Z,W，△DAB的A-旁切圆与DA题3．设A是一个n元集合，ℱ是A的一个子集族，满足ℱ中所有集合的并为A．求证：存在ℱ的子集G，使得存在A的子集T，满足：（1）T≥（2）T包含于G中所有集合的并．（3）对G中任意两个不同的集合X,2026年国际数学奥林匹克中国国家集训队测试二第二天试题解答题1．给定整数n>1．对正整数k，用dk表示1,n1/k中dk证明：固定整数k≥2，记N=n1/k+1．由条件，dk+1是n的正约数中不超过N的个数，dd考虑n的正约数x，满足x≤n1/k=Nk+1/k．我们考虑两种情况：（a引理：如果x的所有素因子都不超过N，则x可以表示为x=uv，其中u,v均为N的正约数证明：设u是x的满足u≤N的最大的正约数，再令v=x如果v>N，则u=xv<Nk+1/kN=N1/k．对于v的任意素因子p，由u的最大性可知up>N，即p>Nu．如果v有两个素因子（可能相同由引理知，满足情况（a）的正约数x的个数不超过dk+1+12．再考虑情况（b）．设n的素因子中大于N的是p1,…,pr．如果r≥k+1，假设x有大于N的素因子，则它只能有一个（计重数）这样的素因子，否则导致x≥pipj>N2>Nk+1/k，矛盾．因此x可以表示为x=piy，其中i∈{1,…,综合两种情况，我们得到dk≤d题2．设ABCD是凸四边形．△ABC的内切圆与AB,BC分别切于点S,T，△BCD的内切圆与BC,CD分别切于点U,V，△CDA的内切圆与CD,DA分别切于点X,Y，△DAB的内切圆与DA,AB分别切于点Z,W，△DAB的A-旁切圆与DA证明．如图，设直线SY,TX,UW,YZ围成的四边形为KLMN，它是圆内接四边形，因此记a=AB,b=BC,c=CD,d=DA设∠YSA=α,∠UWB=β,∠TXC=γ,∠ZVD=δ．∠矛盾．类似地，如果a+c−b−d<0，以上不等式均反号，导致∠LKN+∠设四边形ABCD的内切圆圆心为I．因为△ABD的A-旁切圆与AB,AD延长线切于E,F，而AI为∠BAD的平分线，由旁切圆的切线长可知BF=q+d−a2,BG=q+c−b2，结合a+c=b+d可知BF题3．设A是一个n元集合，ℱ是A的一个子集族，满足ℱ中所有集合的并为A．求证：存在ℱ的子集G，使得存在A的子集T，满足：（1）T≥（2）T包含于G中所有集合的并．（3）对G中任意两个不同的集合X,证明：设Hn=1+12+⋯+1n．由于⋃X∈ℱ=A，故可取一个子集族ℋ⊆ℱ，满足ℋ≤n考虑ℋ中集合的均匀随机排列X1,…,Xm（即每种排列都有等概率1/m!取到），其中m=ℋ≤n．T根据定义，子集族G⊆ℱ和子集T⊆A总是满足条件（2）和（3）．只需证明随机产生的G和T有正概率满足条件（1固定a∈A，设a包含于ℋ中d≥1个集合．在随机排列X1,…,Xm下，这d个集合出现的位置