数学归纳法 专家点评

数学归纳法教学新设计专家点评【点评1】（罗碎海华南师范大学附属中学高级教师）我们今天听了程浣老师的一堂数学模拟课，时间仅仅20分钟，讲课内容是“数学归纳法”第一节。课前有一个演讲，程老师演讲用时3分多钟，讲数学归纳法用时14分多钟。虽然时间很短，但老师的安排很紧凑、内容很丰富、思想很深刻。每个环节，耐人寻味，让我们一起来回顾吧。1．学习数学史的意义程老师课前演讲抽到的题目是“学习数学史的意义”。对于人类社会的历史意义，我们知道下面经典的语句：公元643年，魏征病死，李世民十分悲痛，说：“以铜为镜，可以正衣冠，以史为镜，可以知兴替，以人为镜，可以明是非。魏征一死，我失去了一面镜子。”数学史的意义与人类社会的历史意义有所不同，程老师说了三点，我觉得她对此问题很有体会、很有概括能力，说得很到位。具体三点为：（1）学习数学史有利于培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的动机动机是激励人、推动人去行动的一种力量，从心理学的观点讲，动机可分为两个部分；人的好奇心、求知欲、兴趣、爱好构成了有利于创造的内部动机；社会责任感构成了有利于创造的外部动机。兴趣是最好的动机。在数学教育中适当结合数学史有利于培养学生对数学的兴趣，克服动机因素的消极倾向。（2）学习数学史有利于增强数学过程教学，培养学生正确的数学思维方式现行的数学教材一般都是经过了反复推敲的，语言十分精练简洁。为了保持了知识的系统性，把教学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排，缺乏自然的思维方式，对数学知识的内涵，以及相应知识的创造过程介绍也偏少。虽利于学生接受知识，但很容易使学生产生数学知识就是先有定义，接着总结出性质、定理，然后用来解决问题的错误观点。所以，在教学与学习的过程中存在着这样一个矛盾：一方面，教育者为了让学生能够更快更好的掌握数学知识，将知识系统化；另一方面，系统化的知识无法让学生了解到知识大都是经过问题、猜想、论证、检验、完善，一步一步成熟起来的过程。影响了学生正确数学思维方式的形成。在数学史中，我们可以看到，一个问题是怎样提出来的？一个问题是怎样解决的？一个概念是怎样形成与发展的？从而形成正确的数学思维方式，形成科学的思维方法。（3）学习数学史有利于培养学生的创新能力、培养创新型人才我们的教育一方面要培养具有一定技能的普通劳动者，另一方面要培养有创造能力的时代的开拓者。学习数学史能形成正确的数学思维方式，形成科学的思维方法。沿着这种思维、模仿数学家的道路，不断探究实践，这就是创新性人才的成长之路。如果在这三点基础上需要补充的话，可以补充三点：（1）学习数学史会弄清楚数学是一门怎样的学科？如何发展？在科学中的地位如何？与其它学科有什么联系？（2）学习数学史为德育教育提供了舞台，培养学生实事求是、锲而不舍、精益求精的良好品质。（3）学习数学史可以提高学生的美学修养，数学公式、数学图形给人带来美感，许多时候数学家在追求美的过程中，推动数学、发展（e的发现等）。2．怎样教数学？我们知道：数学以三种面目出现在我们面前，一是历史上的数学（数学史），二是数学自身发展的数学，三是咱们教学的数学。这三种数学的联系是必然的，但彼此是有差异的。就是我们的教学应按照那种路径教数学。首先教学不能按照数学历史发展的次序进行，因为历史上人们用到的数学符号、算法、形式处于黑暗中的摸索，当初的符号、算法未必能体现数学的本质，走了许多弯路，有些就没有前途了。其次就是按照数学自身发展进行教学行不？更不行。自身发展进行教学可以培养出数学家，学生不可能都成为数学家。我们要教给学生有用的数学，有用有两方面：一是对生活、工作有用，另一是对以后学习有用。教科书就是改造后的数学，就是教育数学。那么教学就要以教科书为主进行，我个人的观点是：教科书+数学自身发展，两者结合。由于教科书是普及性的、大众化的要求，我们要根据实际情况进行再加工。程老师的授课虽然内容与实验都来自课本，但她是将自己的理解、感悟恰到好处的赋予这些内容，将课本这种骨头架式的知识变成有血有肉有情感的生物。3．程老师授课过程分析首先以问题引入，数列{an},a1=1,an+1=EQ\F(an,1+an),通过归纳a1,a2,a3,a4,猜想an=EQ\F(1,n),提出猜想需要证明，如何证明？引出主题。这是比较自然的课堂引入，这也就是我们教育的数学。程老师简明扼要，自然贴切。下来程老师就说明对于无限是验证不完的，人生苦短。即使长生不老也没必要成天去验证吧。如何处理此问题，举了线面垂直的判定，将无限的问题简化为两个的问题。我觉得在此用这个例子不很好，没有递推，少了本堂课的灵魂。下来是多米诺骨牌实验，程老师的实验做了三次，三次足矣！原理当且仅当三次，恰到好处，她是经过认真思考的。第一次实验第一块倒下，全部倒下。第二次实验第一块不倒下。第三次实验间隔不恰当，第一块倒下，前面一部分倒下，后面不能倒下。这三次不多不少，正好说明数学归纳法的基本原理。下来就是由骨牌实验抽象提炼出数学归纳法原理，只需两步：奠基与递推就可以证明与自然数有关的命题。整个过程，一气呵成，使数学的原理自然天成。4．课后反思问题上课是一门遗憾的艺术，任何一堂精彩的课，不可能最完美，只可能更完美。反思使人进步，本节课有以下几点可以再思考（1）问题抛出后让学生提出解决方案：如：课前引入的猜想如何证明？我们知道，除了数学归纳法之外还可以推导。可以留下课后探究题，让学生尝试推导结论。（2）线面垂直判定，虽然老师想说明的是无限的问题可以转化为有限的两步解决，但此问题却是无限转化为两个，而数学归纳法不是验证两个，数学归纳法的核心是递推，是两步，线面垂直中无递推。这个类比从数学归纳法的原理形成有些不恰当。（3）由多米诺骨牌到数学归纳法原理这是本节课的核心，也是学生思维飞跃的关键。我觉得在此老师可以再细一些，先把多米诺骨牌实验看成数学问题，抽象成关于自然数1、2、3….的命题，再把这种原理抽象为对第一个数n0成立，递推变为对nk成立推出对nk+1成立。（4）“递推”是重中之重，也是区别以前知识的新知识，老师在此要多下功夫，可以从n=1，n=2,迁移到n=k到n=k+1，反过来从n=1要会用递推推得到n=2的结果。（5）课堂得出数学归纳法的原理后，还应说明证题过程应是三步，除1、2步外，还要有总结的一步：“由以上两步可知……”。当然课堂只有15分钟，不可能将所有东西讲到，但仅这15分钟我们已感到程老师的精彩。【点评2】（何小亚华南师范大学数学科学学院教授）1．设计的背景数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法。我国著名数学家华罗庚（1964）指出：“数学归纳法这个方法很重要，对学好高等数学有帮助，对认识数学的性质也有裨益，同时可以帮助我们深思。”[1]数学归纳法有许多形式，比如第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒推数学归纳法，等等。在基础教育阶段，只要求学生学习第一数学归纳法。一直以来，世界各国的课程都将数学归纳法列为重要的学习内容。2003年，我国高中数学课程标准要求学生:“了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。”[2]1989年，全美数学教师协会（NCTM）要求学生更加关注数学归纳法，因为它是离散数学中很重要的一种证明方法。[3]2000年，NCTM在其修订的标准中，要求学生学习应用数学归纳法原理去证明一些特定类型的题目，因为反复演算和递推方法的应用很广泛。[4]2009年，日本高等学校学习指导要领要求学生理解数学归纳法，用其来证明简单的命题，并活用于事物现象的考察。[5]我国2003年的高中数学课程标准将数学归纳法被安排在数学选修2-2中，但这一模块要学习导数及其应用（24学时）、推理与证明（8学时）、数系的扩充与复数的引入（4学时）。数学归纳法放在推理与证明中，由于只要求达到了解数学归纳法的原理，加上高考主要以导数及其应用为重头戏，许多省份很少考数学归纳法（广东省除外），导致许多学校不讲数学归纳法的内容，造成进入大学学习的这些考生的基础缺失。我认为，学习数学归纳法，最有价值、最精彩的就是要学习一种思维方式，也就是说，要先从个别样例中的观察、思考中去探索规律，再从一般性上来进行逻辑证明，实现由简到繁，由有限到无穷的突破。但我国的高中课程标准把数学归纳法的学习要求仅仅列为“了解”层次，造成了舍本求末的现状。建议在修订的高中数学课程标准中将其调整为“理解”层次。因此，研究数学归纳法的认知困难，解决数学归纳法的理解这一世界性的教学难题显得十分必要。2．设计的理念教学设计成果是设计者教育思想的结晶，反映着一定的教育价值取向。“数学归纳法的教学新设计”体现了追求理解的数学教育价值取向，其设计理念为：“既要教操作步骤，更要教原理的理解；既要提供“公理”的背景，更要借助日常情境模型把重点放在对蕴含关系p→q的理解上。”3．设计的理论优秀的教学设计必须以科学的理论作为基础，数学归纳法教学新设计主要运用了以下理论：HansFreudenthal的“现实数学”、“数学化”和“再创造”理论[6]①Freudenthal认为，每个人都有自己的一套“数学现实”即“每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、规则和有关的数学知识结构”，其中，既含有客观世界的现实情况，也包含个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。数学教学必须从学生的数学现实开始,现实在不断地扩展,教师的任务就在于,确定各类学生在不同阶段所必须达到的“数学现实”,并随着学生们所接触的客观世界越来越广泛,了解并掌握学生所实际拥有的“数学现实”,从而据此采取相应的方法,予以丰富,予以扩展,以逐步提高学生所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。②Freudenthal认为，一方面数学教学不能停留在让学生的头脑成为形形色色公理系统的仓库,更重要的任务是教会学生能运用自己的数学思维,对一个领域进行加工、整理，从而独立地建立起一个公理体系来；另一方面，数学教学不能为形式而形式，只让学生死记硬背那些形式符号与逻辑体系，只作机械的而无内涵、无意义的运算操练,必须使学生学会用正确的数学语言来组织并表达数学的现实内容及内在联系,从而构成严谨的体系。也就是说，“与其让学生学习公理体系，不如让学生学习公理化；与其让学生学习形式体系，不如让学生学习形式化。一句话，与其让学生学习数学，不如让学生学习数学化。”数学化分两种：水平数学化：从背景中识别数学——图式化——形式化——寻找关系和规律——识别本质——对应到已知的数学模型(现实的,经验的)，水平数学化过程就是从“生活世界”到“符号世界”的转化过程。垂直数学化：是水平数学化后的数学化，是从低层数学到高层数学的数学化，是在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用。③Freudenthal认为，学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”,也就是由学生自己去把要学的东西创造或发现出来,教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作,而不是生吞活剥的把现成的知识灌溉给学生。他认为这是一种最自然、最有效的学习方法。RichardSkemp的二元理解理论[7]Skemp将理解划分为“工具性理解”和“关系性理解”。工具性理解，是一种语义性理解（符号A所指代的事物是什么）或者一种程序性理解（一个规则R所指定的每一步骤是什么，如何操作），而关系性理解，则还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据。我认为，工具性理解是知其然但不知其所以然.会做，但不知道为什么可以这么做，倾向于重结果轻过程；而关系性理解是知其然且知其所以然，十分注重过程教学.G.Polya的发生教学法G.Polya指出，“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断。”[8]他主张借鉴数学知识自然发生过程的这一历史面目来学习数学。重蹈数学的历史但不完全是历史的重演，是发生教学法的核心。发生教学法反对公理演绎式的教学方式，Freudenthal称之为“教学法的颠倒”。4．数学归纳法难在何处数学归纳法的教学是一个世界性的难题，中外的研究[9]、[10]、[11]表明，学生理解数学归纳法的困难主要表现在以下几个方面：分不清数学归纳法与归纳法；难以认同把无限步的三段论推理转化为有限步的验证；不理解“假设结论成立，然后再去证明结论成立”；不理解两个步骤的必要性；“奠基”的初值与归纳假设要求的初值脱节；递推关系证明的数学困难。5．理解困难的原因（1）过去的演绎证明思维方式，对数学归纳法这一全新的演绎证明方式产生了负迁移；（2）教材的呈现太突然，学生不知道为什么要学习数学归纳法，他们缺少递推的过程性经验；（3）数学归纳法诞生的历史发展过程是先水平数学化，然后再垂直数学化，但教师们的教学却跳过了水平数学化，直奔垂直数学化，而且教师的教学采取了公理演绎式的教学方式，这恰恰是Freudenthal所反对的“教学法的颠倒”。6．该设计的创新之处（1）数学归纳法的认知难点之一是“把无限步的验证转化为对有限步的验证”，这一设计通过类比立体几何中线面垂直的定义中的无限性与判定定理的有限性之间的转化，克服了这一难点。（2）数学归纳法的认知难点之二是“理解两步骤的必要性”，本设计通过实验一、二、三的对比操作分析，较好地化解了这一难点。（3）数学归纳法的认知难点之三是“不是作为被证的事实，而是作为假设；对蕴含关系的不理解”，本设计通过实验三找到了理解的脚手架：“若第块倒下，则第块也倒下”，这一关系与第块倒没倒下没有关系。参考文献[1]华罗庚.数学归纳法[M].上海：上海教育出版社，1964:16.[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003:59.[3]NCTM