(2025年)函数的应用试题试卷(附答案)

(2025年)函数的应用试题试卷(附答案)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.2025年某智能家电品牌推出节能模式，设备运行时的耗电量W（瓦时）与运行时间t（小时）满足一次函数关系。已知运行2小时耗电150瓦时，运行5小时耗电300瓦时，则运行8小时的耗电量为（）A.400瓦时B.450瓦时C.500瓦时D.550瓦时2.某城市2025年第一季度的PM2.5浓度y（μg/m³）与月份x（x=1,2,3）的关系近似为二次函数y=-2x²+bx+c。已知1月浓度为50μg/m³，2月浓度为42μg/m³，则3月浓度为（）A.30μg/m³B.32μg/m³C.34μg/m³D.36μg/m³3.某新能源汽车电池的剩余电量Q（%）随行驶时间t（小时）的衰减模型为Q=100-15t（t≤6）。若电池电量低于20%时需充电，则该汽车最多可连续行驶（）A.4小时B.4.5小时C.5小时D.5.5小时4.2025年某电商平台“618”促销活动中，某商品的销量x（千件）与销售单价p（元）满足p=120-0.5x（x≤200）。若成本函数为C(x)=10x²+200x+5000（单位：千元），则当销量为多少时，单件利润最大？（单件利润=总利润/销量）A.40千件B.50千件C.60千件D.70千件5.某气象站监测到2025年夏季某地区的温度T（℃）随时间t（小时，t∈[0,24]）的变化近似为正弦函数T(t)=25+5sin(πt/12π/6)。则一天中温度超过30℃的时长约为（）A.4小时B.6小时C.8小时D.10小时6.某制药厂研发的新药在人体内的浓度c（mg/L）随时间t（小时）的变化满足c(t)=200e^(-0.1t)（t≥0）。若浓度低于50mg/L时需再次服药，则两次服药的间隔时间至少为（）（参考数据：ln4≈1.386）A.10小时B.12小时C.14小时D.16小时7.2025年某城市地铁客流量y（万人次）与票价x（元）的关系为y=-2x²+24x+100（x∈[2,10]）。为使地铁运营收入最大，票价应定为（）A.5元B.6元C.7元D.8元8.某数据中心的服务器冷却能耗E（千瓦）与服务器数量n（台）的关系为E(n)=0.5n+log₂(n+1)（n≥0）。当服务器数量从1台增加到7台时，能耗增加了（）A.3千瓦B.4千瓦C.5千瓦D.6千瓦二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）9.某快递公司2025年的运输成本C（万元）与运输距离s（百公里）的关系为C(s)=0.2s²+5s+80。当运输距离为______百公里时，平均成本（总成本/距离）最低。10.已知某型号无人机的飞行高度h（米）与水平飞行距离x（米）满足二次函数h(x)=-0.002x²+kx+100。若无人机在水平飞行600米时达到最大高度，则k=______。11.2025年某地区人口增长模型为P(t)=P₀e^(0.015t)（t为年数）。若2020年人口为500万，则2030年人口约为______万（结果保留整数，e^0.15≈1.1618）。12.某信号塔发射的电磁波强度I（微瓦/平方厘米）与距离d（公里）的关系为I(d)=1000/d²。当距离从2公里增加到4公里时，强度衰减了______%（衰减率=（初始强度-最终强度）/初始强度×100%）。13.某水库的水位h（米）随时间t（月）的变化满足h(t)=4sin(πt/6)+18（t=1,2,…,12）。则一年中水位低于16米的月份有______个。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）14.（14分）2025年某新能源汽车厂生产纯电动车，其生产成本C（万元）与月产量x（辆）的关系为C(x)=0.01x²+10x+5000，销售单价p（万元/辆）与月产量x的关系为p=-0.02x+200（x≤5000）。（1）求月利润L(x)的表达式；（2）当月产量为多少时，月利润最大？最大利润是多少？15.（16分）某城市2025年的太阳能发电量G（百万千瓦时）与月份t（t=1,2,…,12）的关系近似为G(t)=Acos(πt/6)+B，已知1月（t=1）发电量为40百万千瓦时，7月（t=7）发电量为100百万千瓦时。（1）求A和B的值；（2）若该城市月用电量需求为80百万千瓦时，求一年中太阳能发电量满足需求的月份数量（参考数据：cos(π/3)=0.5，cos(π/6)≈0.866）。16.（16分）某制药公司研发的疫苗在储存时，有效成分含量y（mg）随储存时间t（天）的衰减模型为y=y₀e^(-kt)。已知储存30天后有效成分剩余80%，储存60天后剩余64%。（1）求衰减常数k；（2）若有效成分低于50%时疫苗失效，求该疫苗的最长储存时间（参考数据：ln2≈0.693，ln0.5≈-0.693）。17.（17分）2025年某跨海大桥的主拱结构为抛物线形，跨度为200米，拱顶距桥面10米。（1）以桥面为x轴，跨度中点为原点，建立平面直角坐标系，求主拱的抛物线方程；（2）若桥面上方5米处需设置限高标志，求该位置的水平宽度（即限高标志的左右边界距离原点的水平距离）。18.（17分）某智能农场的温室温度控制模型为T(t)=22+3sin(πt/12)+2cos(πt/12)（t为小时，t∈[0,24]）。（1）将T(t)化简为单一正弦函数形式；（2）求一天中温室温度的最大值和最小值；（3）若温度需控制在[20,25]℃之间，求满足条件的时间范围（结果保留两位小数）。答案一、选择题1.B2.A3.C4.A5.C6.D7.B8.C二、填空题9.2010.2.411.58112.7513.4三、解答题14.（1）利润L(x)=收入-成本=pxC(x)=x(-0.02x+200)-(0.01x²+10x+5000)=-0.03x²+190x-5000；（2）L(x)为开口向下的二次函数，顶点x=-b/(2a)=-190/(2×(-0.03))≈3166.67（辆），因x≤5000，故取x=3167辆时，最大利润L(3167)=-0.03×(3167)²+190×3167-5000≈295.83万元。15.（1）由G(1)=40=Acos(π/6)+B，G(7)=100=Acos(7π/6)+B=-Acos(π/6)+B，联立解得A=-30/0.866≈-34.64，B=70；（2）G(t)≥80即-34.64cos(πt/6)+70≥80→cos(πt/6)≤-10/34.64≈-0.2887，解得t∈[2.5,9.5]，共7个月（3-9月）。16.（1）由y(30)=0.8y₀=y₀e^(-30k)→k=-ln0.8/30≈0.0074；（2）令y(t)=0.5y₀=e^(-kt)→t=-ln0.5/k≈0.693/0.0074≈93.6天，即最长储存约94天。17.（1）设抛物线方程为y=ax²+10，跨度200米，故x=±100时y=0，代入得0=a×100²+10→a=-0.001，方程为y=-0.001x²+10；（2）y=5时，5=-0.001x²+10→x²=5000→x=±50√2≈±70.71米，水平宽度为2×70.71≈141.42米。18.（1）T(t)=22+√(3²+2²)sin(πt/12+φ)=22