2025年电动力学期末考试题及答案

2025年电动力学期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1.关于各向同性线性介质中的麦克斯韦方程组，以下表述正确的是（）A.电位移矢量D与电场强度E的关系为D=ε₀E+P，其中P为磁化强度B.磁感应强度B与磁场强度H的关系为B=μ₀(H+M)，其中M为极化强度C.时变电磁场中，电场的旋度仅由变化的磁场激发D.电荷守恒定律可由麦克斯韦方程组中的∇·J+∂ρ/∂t=0直接导出2.平面电磁波在等离子体中传播时，其色散关系为ω²=ωₚ²+c²k²（ωₚ为等离子体频率）。当入射波频率ω<ωₚ时，电磁波的行为为（）A.无衰减传播，相速大于光速B.指数衰减，穿透深度与(ωₚ²-ω²)⁻¹/₂成正比C.发生全反射，反射系数为1D.群速等于相速，能量传播速度为c3.狭义相对论中，电荷的四维电流密度矢量为Jᵘ=(cρ,Jₓ,Jᵧ,Jᶻ)，其在洛伦兹变换下的变换关系为（）A.J'ᵘ=ΛᵘᵥJᵛ（Λ为洛伦兹变换矩阵）B.J'ᵘ=ΛᵛᵘJᵛC.J'ᵘ=ηᵘᵛΛᵛλJλ（η为度规张量）D.J'ᵘ=Jᵘ（四维电流密度为洛伦兹标量）4.真空中一半径为a的导体球带电量Q，球外充满介电常数为ε的均匀电介质。则介质中的电场强度E与球表面的自由电荷面密度σ分别为（）A.E=Q/(4πεr²)eᵣ，σ=Q/(4πa²)B.E=Q/(4πε₀r²)eᵣ，σ=Q/(4πa²)C.E=Q/(4πεr²)eᵣ，σ=ε₀E|ᵣ=aD.E=Q/(4πε₀r²)eᵣ，σ=εE|ᵣ=a5.电偶极辐射中，远场区域（r>>λ）的平均能流密度与以下哪个量成正比（）A.(p₀ω⁴)/(r²c³)B.(p₀ω²)/(r²c)C.(p₀²ω⁴)/(r²c³)D.(p₀²ω²)/(r²c)二、填空题（每题4分，共20分）1.时谐电磁场（时间因子为e⁻ⁱωᵗ）中，麦克斯韦方程组的频域形式为∇×E=______，∇×H=______。2.无限大理想导体平面（z=0）上方存在时谐电磁波，其电场为E=E₀eⁱ(kˣˣ+kᶻᶻ⁻ωᵗ)eᵧ。根据导体表面边界条件，反射波电场的z分量应为______，磁场的切向分量满足______。3.静电力做功与路径无关的本质原因是______，其数学表述为______。4.相对论中，电磁场张量Fᵘᵛ的分量包含电场和磁场，其中F⁰¹=______，F¹²=______（用E、B的分量表示）。5.均匀平面波从空气（ε₁=ε₀，μ₁=μ₀）垂直入射到理想介质（ε₂=4ε₀，μ₂=μ₀）表面时，反射系数Γ=______，透射波平均能流密度与入射波之比为______。三、计算题（每题15分，共60分）1.真空中有一无限长直导线，通有稳恒电流I，距离导线r₀处放置一半径为a（a<<r₀）的小导体球（初始不带电）。求导体球表面的感应电荷分布及球外任意点的电势（忽略导线对球的电场畸变）。2.矩形波导的截面尺寸为a×b（a>b），填充介电常数为ε、磁导率为μ的均匀无耗介质。求TE₁₀模的截止频率f_c、波导波长λ_g及电场强度的表达式（设波沿z轴传播）。3.一个电荷量为q的点电荷以匀速v沿x轴运动，在t=0时刻位于坐标原点。利用相对论变换，求t时刻空间点(x,y,z)处的电场强度E和磁场强度H（要求用推迟势或洛伦兹变换两种方法之一求解）。4.时变电磁场中，已知某区域的电流密度J(r,t)=J₀e⁻ⁱωᵗδ(r-r₀)（J₀为常矢量，r₀为固定点），求该电流激发的矢势A(r,t)和标势φ(r,t)（设介质为真空，且满足洛伦兹规范）。四、证明题（每题10分，共20分）1.证明坡印廷定理的微分形式：∇·(E×H)=-J·E-∂(½ε₀E²+½μ₀⁻¹B²)/∂t。2.证明均匀各向同性介质中，时谐电磁场（时间因子e⁻ⁱωᵗ）满足亥姆霍兹方程：∇²E+k²E=0，∇²H+k²H=0（其中k=ω√(εμ)）。答案一、选择题1.C（A中P为极化强度；B中M为磁化强度；D中电荷守恒由∇·J+∂ρ/∂t=0导出，但该式是麦克斯韦修正安培定律的推论）2.B（ω<ωₚ时k为虚数，波衰减，穿透深度δ=1/|Im(k)|=c/√(ωₚ²-ω²)）3.A（四维矢量变换满足J'ᵘ=ΛᵘᵥJᵛ）4.A（介质中D=εE=Q/(4πr²)eᵣ，故E=Q/(4πεr²)eᵣ；导体表面自由电荷σ=D·eᵣ|ᵣ=a=Q/(4πa²)）5.C（电偶极辐射平均能流密度<S>=(μ₀p₀²ω⁴sin²θ)/(32π²c³r²)，与p₀²ω⁴/r²c³成正比）二、填空题1.iωμH；J+iωεE2.0（导体表面E切向为0）；H切向连续（理想导体表面H切向等于面电流密度）3.静电场无旋（保守场）；∇×E=0（或∮E·dl=0）4.-Eₓ/c；B_z（Fᵘᵛ=∂ᵘAᵛ-∂ᵛAᵘ，F⁰¹=∂₀A¹-∂₁A⁰=(-Eₓ/c)-0=-Eₓ/c；F¹²=∂₁A²-∂₂A¹=B_z）5.(√(ε₁/μ₁)-√(ε₂/μ₂))/(√(ε₁/μ₁)+√(ε₂/μ₂))=(1-2)/(1+2)=-1/3；|T|²=(4×1×2)/(1+2)²=8/9（T为透射系数，能流比为|T|²×√(ε₂/μ₂)/√(ε₁/μ₁)=(4Γ₀/(1+Γ₀))²×√(ε₂/ε₁)=(4×1×2/(1+2))²×2？需重新计算：垂直入射时，Γ=(η₂-η₁)/(η₂+η₁)，η₁=√(μ₀/ε₀)=η₀，η₂=√(μ₀/(4ε₀))=η₀/2，故Γ=(η₀/2η₀)/(η₀/2+η₀)=-1/3；透射系数T=2η₂/(η₁+η₂)=2×(η₀/2)/(η₀+η₀/2)=1/(3/2)=2/3；能流比为(T²)(η₁/η₂)=(4/9)(η₀/(η₀/2))=8/9）三、计算题1.解：无限长直导线的磁场为B=μ₀I/(2πr)e_φ，但其电场为0（稳恒电流无电场）。但导体球处于磁场中不会感应电荷，题目可能隐含导线带电荷？或应为“通有随时间变化的电流”？假设题目为稳恒电流，导线周围无电场，导体球无感应电荷。但可能题目存在表述问题，正确应为导线带线电荷密度λ，产生电场E=λ/(2πε₀r)eᵣ。此时导体球在均匀电场E₀=λ/(2πε₀r₀)eᵣ中，感应电荷分布为σ(θ)=3ε₀E₀cosθ（θ为球心到导线方向的极角），电势φ(r,θ)=-E₀rcosθ+(E₀a³/r²)cosθ（r≥a）。2.解：TEₘₙ模截止波数k_c=√[(mπ/a)²+(nπ/b)²]，TE₁₀模m=1,n=0，故k_c=π/a。截止频率f_c=k_c/(2π√(εμ))=1/(2a√(εμ))。波导波长λ_g=2π/√(k²-k_c²)，其中k=ω√(εμ)=2πf√(εμ)，当f>f_c时，λ_g=λ/√(1-(f_c/f)²)（λ为自由空间波长）。TE₁₀模电场只有E_y分量，表达式为E_y=E₀sin(πx/a)eⁱ(βz-ωᵗ)，其中β=√(k²-k_c²)=√((ω√(εμ))²-(π/a)²)。3.解：方法一（洛伦兹变换）：在电荷静止的参考系S'中，电场E'=q/(4πε₀r'³)r'，磁场H'=0。S系以速度-v相对S'运动，变换关系为：E_x=E'_x，E_y=γ(E'_y-vB'_z)=γE'_y（B'=0），E_z=γE'_z；H_x=0，H_y=γ(v×E')_y/c²=γ(vE'_z)/c²，H_z=-γ(vE'_x)/c²。利用洛伦兹坐标变换r'=γ(r-vt)（x'=γ(x-vt),y'=y,z'=z），r'=√(x'²+y'²+z'²)=γ√((x-vt)²+(y²+z²)/γ²)。最终E=(q(1-β²))/(4πε₀r³(1-β²sin²θ)³/₂)r（β=v/c，θ为r与v的夹角），H=(v×E)/c²。4.解：洛伦兹规范下，矢势A满足∇²A-μ₀ε₀∂²A/∂t²=-μ₀J，标势φ满足∇²φ-μ₀ε₀∂²φ/∂t²=-ρ/ε₀。由于J=J₀e⁻ⁱωᵗδ(r-r₀)，电荷守恒∇·J+∂ρ/∂t=0得ρ=-(∇·J)/(iω)=-(∇·J₀)e⁻ⁱωᵗδ(r-r₀)/(iω)=0（J₀为常矢量，∇·J₀=0）。故φ=0。A的解为推迟势A(r,t)=(μ₀/4π)∫J(r',t-|r-r'|/c)/|r-r'|dV'=(μ₀J₀e⁻ⁱωᵗ/4π)eⁱk|r-r₀|/|r-r₀|（k=ω/c）。四、证明题1.证明：由麦克斯韦方程∇×H=J+∂D/∂t，∇×E=-∂B/∂t。计算E·(∇×H)-H·(∇×E)=E·J+E·∂D/∂t+H·∂B/∂t。左边利用矢量恒等式∇·(E×H)=H·(∇×E)-E·(∇×H)，故-∇·(E×H)=E·J+E·∂D/∂t+H·∂B/∂t。对各向同性线性介质，D=εE，B=μH，故E·∂D/∂t=½∂(εE²)/∂t，H·∂B/∂t=½∂(μH²)/∂t。代入得∇·(E×H)=-J·E-½∂(εE²+μH²)/∂t，真空下ε=ε₀，μ=μ₀，即得证。2.证明：时谐场E(r,t)=E(r)e⁻ⁱωᵗ，H(r,t)=H(r