人教版初中数学七年级下册《不等式及其解集》同步教案

人教版初中数学七年级下册《不等式及其解集》同步教案

一、教案首部

（一）基本信息

课题名称：不等式及其解集

授课年级：初中七年级

教材版本：人教版数学七年级下册

课时安排：2课时

课型：新授课

（二）指导思想与理论依据

本教案以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，立足于发展学生的数学核心素养。教学设计遵循“以生为本”的理念，强调知识的生成过程与结构性理解。理论层面，融合建构主义学习理论，注重创设真实情境，引导学生在观察、比较、分析、归纳等数学活动中，自主建构“不等式”及“解集”的概念体系。同时，渗透数学建模思想与数形结合思想，引导学生从现实世界中抽象出不等关系，并用数学符号与图形（数轴）予以精确表征，实现从算术思维到代数思维，再从代数思维到几何直观的跨越，培养学生的抽象能力、推理能力和几何直观。

（三）教材分析

“不等式”是人教版初中数学“方程与不等式”主题板块的重要组成部分，是学生继学习“方程”之后，接触到的又一类刻画现实世界数量关系的重要数学模型。本节内容“不等式及其解集”是不等式单元的起始课，起着承上启下的关键作用。“承上”在于，它需要学生调用已有的关于“等式”、“方程”的知识和经验，通过类比进行迁移学习；“启下”在于，它是不等式性质、一元一次不等式（组）解法及应用学习的根基。本节课的核心在于帮助学生建立“不等式”与“不等式的解集”两个核心概念，理解不等关系与相等关系的联系与区别，初步体会用数轴表示不等式解集的直观性与优越性，为后续系统研究不等式的性质和解法奠定坚实的认知基础。

（四）学情分析

从认知基础看，七年级学生已经熟练掌握了有理数的大小比较、数轴的三要素及画法，并系统学习了一元一次方程，具备了用字母表示数和寻找方程解的经验。这为类比学习不等式提供了良好的知识储备。从思维特点看，该阶段学生的抽象逻辑思维正在发展，但仍需具体形象材料的支撑。从“相等”关系到“不等”关系的认知转换，从“方程的解（确定的值）”到“不等式的解（解的集合）”的概念跨越，是学生认知上的两个关键难点。学生可能会在理解“解集”的“无限性”以及“解集”在数轴上的“边界表示”上存在困难。因此，教学设计需通过丰富的情境、层层递进的问题链和直观的数轴演示，帮助学生突破思维障碍，实现概念的深度理解。

（五）教学目标

基于以上分析，确定本节课的教学目标如下：

1.知识与技能：理解不等式的概念，能识别不等式；理解不等式的解与解集的意义，能判断一个数是否是不等式的解；掌握在数轴上表示不等式解集的方法，体会数形结合的思想。

2.过程与方法：经历从实际问题中抽象出不等关系、建立不等式模型的过程，发展模型观念；通过类比方程的学习路径探究不等式及其解集，体会类比和迁移的数学思想方法；在探索不等式解集的过程中，发展几何直观和抽象能力。

3.情感态度与价值观：感受不等式是刻画现实世界中不等关系的有效工具，体会数学的应用价值；在探究活动中获得成功的体验，增强学习数学的自信心，养成独立思考、合作交流的良好学习习惯。

（六）教学重难点

教学重点：不等式、不等式的解及解集的概念；在数轴上表示不等式的解集。

教学难点：理解不等式解集的无限性及含义；准确在数轴上表示不等式的解集，特别是对边界点的处理。

（七）教学准备

教师准备：多媒体课件（含动态演示数轴的工具，如GeoGebra）、实物道具（天平、不同重量的砝码）、学习任务单。

学生准备：复习数轴的相关知识，预习课本相关内容，准备直尺。

二、教学过程

第一课时：不等关系与不等式

（一）创设情境，感知不等（预计用时：8分钟）

师：同学们，生活中处处存在着“相等”与“不相等”的关系。我们已经学习了用方程来解决“相等”的问题。现在，请大家观察几个场景，思考它们描述的是怎样的数量关系？

情境一：多媒体展示高速公路限速标志牌，标志牌上显示“120”。

师：司机驾车在高速公路上行驶，车速v（千米/时）应满足怎样的关系？

生：v≤120。

情境二：演示天平称重。天平左盘放一个质量为a克的苹果，右盘放一个50克的砝码，此时天平的左盘下沉。

师：这个现象说明了苹果质量a与50克之间有怎样的关系？

生：a>50。

情境三：某日天气预报：今天最低气温t（℃）是零下2度。

师：如何用数学式子表示气温t的范围？

生：t≥-2。

师：非常好！像v≤120，a>50，t≥-2这样，用不等号（“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”）连接而成的式子，我们称之为不等式。它们清晰地刻画了现实世界中广泛存在的不等关系。今天，我们就一同走进“不等式”的世界。

【设计意图】从学生熟悉的交通、生活、气象情境入手，直观呈现不等关系，引导学生用数学语言进行描述，自然引出“不等式”的概念，让学生体会到数学源于生活，激发学习兴趣，初步建立模型观念。

（二）类比迁移，定义概念（预计用时：12分钟）

师：我们之前学习过“方程”，它是刻画相等关系的模型。现在我们来研究刻画不等关系的模型——不等式。请同学们类比方程的定义，尝试给不等式下一个定义。

生：用不等号连接表示不等关系的式子叫做不等式。

师：定义非常准确。这里的不等号包括大于（>）、小于（<）、大于或等于（≥）、小于或等于（≤）、不等于（≠）。请判断下列式子哪些是不等式？

①3>2；②x+1=5；③2x<8；④2m+n；⑤a≠0；⑥y≥-1。

生：①、③、⑤、⑥是不等式，②是方程，④是代数式。

师：不等式和方程、代数式有什么区别与联系？

生：方程是含有未知数的等式，强调“相等”；不等式是含有未知数的不等关系式，强调“不等”；代数式不含等号或不等号，只是一个式子。它们都是用字母表示数，都是数学语言。

师：总结得非常精辟！我们再深入一步。观察这些不等式，如“x+1=5”中，我们称x为未知数。那么在不等式“2x<8”中呢？

生：x也是未知数。

师：是的。像这样，含有未知数的不等式，是我们今后重点研究的对象。请大家再写出两个生活中不等关系的例子，并用不等式表示。

学生活动：独立思考后小组交流，派代表分享。例子可能包括：身高超过140厘米需购买全价票（h>140），书包重量不超过5千克（w≤5）等。

【设计意图】通过与方程的类比，引导学生自主建构不等式的定义，实现知识的正迁移。通过辨析练习，加深对不等式概念外延的理解，并厘清不等式与方程、代数式之间的联系与区别，促进知识网络的形成。

（三）探究引导，初识解集（预计用时：15分钟）

师：对于一个方程，比如x+1=5，我们关心的是使它成立的未知数的值，也就是方程的解x=4。那么，对于一个不等式，比如“2x<8”，我们是否也关心使它成立的未知数的值呢？

生：关心。

师：好，我们来进行一个探究活动。请尝试找出一些使不等式“2x<8”成立的x的值。

学生活动：在任务单上尝试计算并填写。

生：当x=3时，2×3=6<8，成立；x=2时，4<8成立；x=1，0，-1…都成立。x=4时，8=8，不成立；x=5时，10>8，不成立。

师：我们发现，能使命题成立的值不止一个，有很多个。在数学上，我们把“能使不等式成立的未知数的值”，叫做这个不等式的“解”。例如，x=3是不等式2x<8的一个解。那么，这个不等式有多少个解呢？

生：有无数个。

师：这无数个解有没有一个共同的特征或者范围呢？请同学们思考，满足2x<8的x，与数字4有怎样的关系？

生：x必须小于4。

师：也就是说，所有小于4的数，都是这个不等式的解。我们把“一个含有未知数的不等式的所有的解”，组成一个“集合”，叫做这个不等式的“解集”。所以，不等式2x<8的解集就是“x<4”。求不等式解集的过程，就叫做解不等式。

师：我们再来看一个不等式“x≥-2”。它的解集是什么？你能说出它的几个解吗？

生：解集是x大于或等于-2。解有-2，-1，0，1，100…无数个。

师：这里特别要注意，“≥”表示“大于或等于”，所以-2本身也是不等式的一个解，包含在解集中。

【设计意图】本环节是本节课的核心与难点。通过类比“方程的解”，引导学生探究“不等式的解”，发现其解通常不唯一，进而自然引出“解集”的概念。通过具体例子的剖析，让学生理解“解”与“解集”（个体与全体）的关系，以及解集的描述方法，为下一课时在数轴上表示解集做好铺垫。

（四）巩固新知，初步应用（预计用时：5分钟）

课堂练习：

1.用不等式表示下列数量关系：

(1)a是正数；(2)a与5的和小于7；(3)y的2倍与1的差是非负数。

2.下列数值中，哪些是不等式x+3>6的解？哪些不是？

-1，0，2.5，3，4.1，9。

3.直接说出下列不等式的解集：

(1)x+1>3；(2)2y≤8。

学生独立完成，教师巡视指导，针对共性问题进行点评。

【设计意图】设置层次分明的练习，及时巩固不等式、不等式的解及解集的概念，检验学生的学习效果，确保基础知识的落实。

第二课时：解集的数轴表示与应用

（一）温故知新，提出问题（预计用时：5分钟）

师：上节课我们学习了不等式及其解集。请回答：什么叫做不等式的解集？不等式x>3的解集是什么？

生：一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫做这个不等式的解集。x>3的解集是所有大于3的数。

师：描述得很准确。但“所有大于3的数”这种文字描述，不够直观。我们有没有一种更直观、更简洁的工具来表示这个“数的集合”呢？回想一下，我们学过什么工具可以表示“数”和“数的关系”？

生：数轴！

师：对！数轴上的点与实数是一一对应的。这节课，我们就来研究如何利用数轴，将不等式的解集直观地呈现出来，这就是“数形结合”的威力。

【设计意图】复习旧知，引出新问题——如何直观表示解集，激发学生探究欲望，明确本课时的学习目标，并点明数形结合的思想方法。

（二）合作探究，掌握表示方法（预计用时：20分钟）

探究活动一：在数轴上表示一个确定的数（如x=3）。

师：请在草稿纸上画一条数轴，标出表示“3”的点。

学生快速完成。

师：这个点（3）代表了不等式x>3的解吗？

生：不代。因为x=3不满足x>3。它只满足x=3或x≥3。

师：所以，在表示x>3的解集时，点“3”这个位置非常特殊，它是“大于3”和“不大于3”的分界点，我们称之为“边界点”。在数轴上表示解集，关键是处理好这个边界点。

探究活动二：尝试在数轴上表示x>3的解集。

师：请大家以小组为单位讨论：如何在数轴上表示“所有大于3的数”？边界点“3”应该怎样处理？大于3的数在数轴上位于点“3”的哪一侧？怎样表示这一侧“所有的点”？

学生小组合作，尝试画图。教师巡视，收集不同的画法（可能有点错成实心、方向画反、没有箭头等）。

小组展示与辩论：

组1：在表示3的点上画一个空心圆圈，表示不包含3；然后从圆圈向右画一条射线。

组2：我们画了向右的箭头。

师：为什么要用空心圆圈？箭头表示什么？

生：因为x=3不是解，所以点3不能被包含在内，用空心圆圈挖掉。箭头表示向右方无限延伸，代表所有大于3的数。

师：总结得非常到位！规范的画法是：首先，找到边界点3；其次，因为解集不包含3，所以在对应点3上画一个“空心圆”；最后，因为解集是大于3的数，即数轴上点3右边的所有部分，因此从空心圆出发，向右画一条“折线”或“射线”，通常用带有箭头的线表示无限延伸的方向。这个图形就直观地表示了x>3的解集。

探究活动三：类比探究，表示x≤-1的解集。

师：请同学们独立尝试在数轴上表示x≤-1的解集。思考：边界点是多少？包含吗？方向是哪边？

学生尝试。教师请一名学生板演。

生：边界点是-1。因为x可以等于-1，所以点-1要包含在解集内，应该画成“实心点”。小于-1的数在-1的左边，所以从实心点向左画一条带箭头的线。

师：板演正确。请大家对比x>3和x≤-1的两种表示方法，你能总结出在数轴上表示不等式解集的一般步骤和注意事项吗？

师生共同归纳：

1.定界：找到解集的边界值，并在数轴上标出对应的点。

2.定空实：判断边界值是否包含在解集内。若包含（即“≥”或“≤”），则画“实心点”；若不包含（即“>”或“<”），则画“空心圆”。

3.定方向：确定解集在边界点的哪一侧。“大于”或“大于等于”向数轴“右”方画线；“小于”或“小于等于”向数轴“左”方画线。用箭头表示无限延伸。

教师用GeoGebra动态演示不同不等式解集在数轴上的生成过程，强化认知。

【设计意图】这是突破教学难点的关键环节。通过“尝试——讨论——辨析——归纳”的探究路径，让学生在自主与合作中，深刻理解数轴表示解集的原理和规范步骤，特别是“空心”与“实心”的区别、“方向”的判断。动态演示工具的应用，增强了直观性，帮助学生内化方法。

（三）综合应用，深化理解（预计用时：12分钟）

师：现在我们已经掌握了不等式解集的两种表示方法：文字描述和数轴表示。它们之间可以相互转化。

练习1：将下列不等式的解集在数轴上表示出来。

(1)x<1.5；(2)x≥-2。

练习2：观察数轴上表示的解集，写出对应的不等式。

（教师在课件上出示两个数轴图形：一个是从空心点-3向左画线；一个是从实心点2向右画线。）

生：(1)x<-3；(2)x≥2。

练习3：情境应用——某隧道限高4.2米。一辆装载货物的卡车高度为h米，若要能安全通过，h应满足什么关系？请在数轴上表示出h可以取值的范围。

生：h≤4.2。在数轴上标出实心点4.2，向左画线。

师：若货物最高点离地恰好4.2米，能否通过？

生：可以，因为“≤”包含等于的情况。

练习4：拓展思考——不等式x≠2的解集是什么？如何在数轴上表示？

学生思考并讨论。这是一个易错点。

生：解集是所有不等于2的数。在数轴上，就是除去表示2的那个点之外的所有点。可以画一条数轴，在点2处画一个空心圆圈，然后分别向左、右两边画线。

师：很棒的思路！这告诉我们，数轴表示法可以灵活变通。

【设计意图】通过双向翻译（文字到图形、图形到文字）、实际情境应用和拓展思考，多层次、多角度地巩固数轴表示解集的方法，深化对不等式解集概念的理解，提升学生运用数学知识解决实际问题和灵活思考的能力。

（四）课堂小结，构建体系（预计用时：3分钟）

师：通过这两节课的学习，你收获了哪些知识？掌握了哪些方法？体会了什么思想？

引导学生从知识、方法、思想三个维度进行总结：

知识层面：理解了不等式、不等式的解、不等式的解集的概念。

方法层面：学会了类比方程学习不等式；掌握了在数轴上规范表示不等式解集的方法（定界、定空实、定方向）。

思想层面：体会了数学模型思想（从现实抽象出不等式）、类比思想、数形结合思想。

【设计意图】引导学生进行系统性的反思与总结，将零散的知识点串联成知识网络，提炼数学思想方法，提升元认知能力，实现课堂学习的升华。

三、板书设计

不等式及其解集

一、不等式的定义

用不等号连接表示不等关系的式子。

二、不等式的解

能使不等式成立的未知数的值。（一个）

三、不等式的解集

一个不等式所有的解组成的集合。（全体）

求解集的过程叫解不等式。

四、解集的数轴表示

步骤：1.定界；2.定空实；3.定方向。

示例：

x>3

——○—————>

3

x≤-1

<—————•—

-1

四、作业设计（分层）

（一）基础巩固题（必做）：

1.课本习题：用不等式表示，并在数轴上表示解集。

2.判断给定的数是否为指定不等式的解。

（二）