27.3 位似第 1 课时 位似图形及画法 教学设计（2024-2025学年人教版数学九年级下册）

27.3位似第1课时位似图形及画法教学设计（2024—2025学年人教版数学九年级下册）教材分析本节课选自人教版数学九年级下册，隶属于“图形的变化”这一核心知识板块，是相似图形知识的延伸与拓展，也是对图形放大与缩小的精准数学刻画。此前学生已掌握相似图形的定义、性质及判定方法，对位似图形的学习，既能完善图形变化的知识体系，又能为后续利用位似解决实际问题（如测量、图形设计）奠定基础，同时衔接平面直角坐标系中位似变换的学习，是连接几何图形理论与实际应用的关键纽带。结合新课标要求，本节课立足“教-学-评”一体化理念，注重培养学生的几何直观、推理能力和应用意识，引导学生通过观察、探究、实践，理解位似的本质，掌握位似图形的画法，契合九年级学生从具象思维向抽象思维过渡的认知特点，落实“三会”数学核心素养的培养要求。教学目标学习理解能够准确阐述位似图形的定义，明确位似图形与相似图形的区别与联系；掌握位似图形的两个核心性质，即对应点连线经过同一点（位似中心）、对应边互相平行（或在同一直线上）且对应边的比等于位似比；能准确识别生活中的位似图形，判断两个图形是否为位似图形。应用实践能根据位似图形的定义和性质，准确找出位似图形的位似中心、对应点和位似比；掌握画位似图形的基本步骤，能在给定位似中心、位似比的条件下，画出已知图形的位似图形（包括内位似和外位似）；能利用位似图形的性质解决简单的线段比例问题。迁移创新能结合位似图形的知识与相似图形的判定、性质，解决图形放大缩小中的综合问题；能运用位似的思想设计简单的几何图案，体会位似在生活中的实际应用价值；能通过探究位似图形的变化规律，类比迁移到其他图形变换中，培养几何推理与创新思维。重点难点教学重点位似图形的定义、核心性质；位似图形的规范画法；能准确识别位似图形并运用其性质解决简单问题。教学难点理解位似图形与相似图形的区别与联系，明确“位似是特殊的相似，相似不一定是位似”；掌握画位似图形时，对应点位置的确定以及位似比与图形大小的关系；运用位似知识解决综合型几何问题，实现知识的迁移应用。课堂导入（教：展示生活中常见的图形放大缩小实例，无需借助多媒体也可直观描述，引导学生观察思考；学：学生结合实例自主观察，对比图形变化特点；评：观察学生参与度，判断学生对图形放大缩小的认知基础）导入话术：同学们，我们在生活中经常会遇到这样的情况——把一张照片放大做成海报，海报上的人物、景物和原照片一模一样，只是大小变了；绘制地图时，我们会把实际的地域按一定比例缩小，地图上的道路、建筑与实际地域的形状完全相同。大家思考一下，这些放大缩小后的图形，和原来的图形之间，除了相似之外，还有什么特殊的关系呢？它们的对应点之间，有没有什么规律可循？今天我们就来学习一种特殊的相似图形——位似图形，一起探究它的特点和画法。探究新知本环节围绕三个核心知识点展开，落实“教-学-评”一体化，拆分探究任务，贴合学生认知规律，逐步引导学生自主探究、合作交流，突破知识点难点。知识点一：位似图形的定义（教：呈现两组图形，一组是位似图形（如两个相似的正三角形，对应顶点连线交于一点），一组是相似但非位似的图形（如两个相似的平行四边形，对应顶点连线不相交于同一点），引导学生对比观察，提出问题：这两组图形都是相似图形，它们的区别在哪里？；学：学生分组观察、对比，小组内交流讨论，尝试总结两组图形的不同特点，发言分享自己的发现；评：点评学生的观察角度和总结能力，纠正偏差，引导学生聚焦“对应点连线”的特点）追问引导：大家观察第一组图形，连接它们的对应顶点，这些线段有什么特点？再观察第二组图形，连接对应顶点后，线段又有什么不同？如果我们把对应顶点连线相交的那一点叫做一个定点，那么这个定点与两个相似图形之间，有什么关联？自主总结：学生结合追问，再次交流讨论，尝试概括位似图形的定义，教师结合学生的总结，补充完善，得出精准定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。补充说明：强调位似图形的两个必备条件——一是两个图形相似，二是对应顶点连线交于同一点（位似中心）、对应边互相平行（或在同一直线上），二者缺一不可；位似中心可以在图形内部、图形外部，也可以在图形的顶点上；位似比是相似比的特殊形式，反映了两个位似图形的大小关系。即时评价：给出3个图形实例，让学生快速判断是否为位似图形，并说明理由，评价学生对定义的掌握程度，及时纠正“只看相似，忽略对应顶点连线特点”的错误。知识点二：位似图形的性质（教：结合前面给出的位似图形实例，引导学生进一步探究，提出问题：结合位似图形的定义，我们可以推出位似图形有哪些特殊性质？；学：学生自主观察位似图形，结合相似图形的性质，尝试推导位似图形的专属性质，小组内交流验证自己的猜想；评：关注学生的推导过程，鼓励学生大胆猜想，对合理的推导思路给予肯定，对存在的漏洞进行引导补充）分层探究：1.对应边的关系：结合位似图形的定义，相似图形的对应边成比例，位似图形作为特殊的相似图形，对应边依然成比例，且比例等于位似比；同时，定义中明确对应边互相平行（或在同一直线上），引导学生验证这一特点（如观察位似的两个矩形，对应边是否平行）。2.对应点的关系：引导学生测量位似图形中，位似中心到两个对应顶点的距离，观察这两条距离的比与位似比的关系，得出结论：位似图形中，位似中心到任意一组对应顶点的距离的比等于位似比。3.对应角的关系：结合相似图形的性质，位似图形的对应角相等，这一性质与相似图形一致，引导学生明确“位似图形具备相似图形的所有性质，同时拥有自身专属性质”。性质总结：学生自主梳理，教师引导完善，明确位似图形的三大核心性质：一是对应角相等；二是对应边互相平行（或在同一直线上），且对应边的比等于位似比；三是位似中心到任意一组对应顶点的距离的比等于位似比。即时评价：给出一个位似图形，已知位似比和一组对应边的长度，让学生求出另一组对应边的长度；已知位似中心到一个顶点的距离，求出到对应顶点的距离，评价学生对性质的应用能力。知识点三：位似图形的画法（教：结合位似图形的定义和性质，以“已知三角形，画它的位似图形”为例，分步演示画法，强调关键步骤和注意事项；学：学生跟随教师的演示，动手操作，小组内互相检查，纠正画法中的错误；评：巡视学生的画图过程，重点关注关键步骤的落实，对画图规范的学生给予表扬，对存在错误的学生进行个别指导）分步教学（以“画已知△ABC，以点O为位似中心，位似比为2的位似图形”为例）：1.确定位似中心：在图形外（或内、顶点上）标出位似中心O，明确位似中心的位置（此处以图形外为例）。2.连接对应顶点与位似中心：连接OA、OB、OC，分别延长OA、OB、OC（若位似中心在图形内，则反向延长），使延长线的长度等于OA、OB、OC的2倍（位似比为2）。3.确定对应顶点：在延长线上取点A'、B'、C'，使OA'=2OA、OB'=2OB、OC'=2OC，A'、B'、C'分别为A、B、C的对应顶点。4.连接对应顶点，得到位似图形：顺次连接A'、B'、C'，△A'B'C'即为△ABC以O为位似中心、位似比为2的位似图形。注意事项：引导学生明确，画位似图形时，位似比决定了对应顶点到位似中心的距离比；若位似比大于1，图形放大；若位似比小于1（大于0），图形缩小；位似图形有两个，分别在位似中心的两侧（除位似中心在图形顶点上的情况），可引导学生尝试画出另一侧的位似图形。变式练习：改变位似中心的位置（如在△ABC的顶点A上），改变位似比（如1/2），让学生动手画位似图形，巩固画法，体会位似中心和位似比对图形的影响。即时评价：收集学生的画图作品，展示规范作品，指出常见错误（如对应顶点到位似中心的距离比不等于位似比、对应边不平行），评价学生的动手操作能力和对画法的掌握程度。课堂练习遵循“分层设计、贴合知识点、落实教-学-评”的原则，设计基础题、提升题，兼顾不同层次学生的需求，及时检测课堂学习效果，反馈学生知识点掌握情况，针对性查漏补缺。基础题（侧重知识点巩固，全员必做）1.判断下列图形是否为位似图形，若为位似图形，指出位似中心和位似比；若不是，说明理由。（1）两个全等的正方形，对应顶点连线交于一点；（2）两个相似的菱形，对应顶点连线不相交于同一点；（3）两个相似的三角形，对应边平行，对应顶点连线交于三角形内部一点。2.已知两个位似图形的位似比为3:2，其中一个图形的一条边长为6cm，求另一个图形对应边的长度。3.已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O，OA=4cm，OA'=6cm，求这两个图形的位似比。提升题（侧重知识点应用，选做+小组讨论）1.画△ABC以点O为位似中心，位似比为1/2的位似图形，要求画出两个不同位置的位似图形（在位似中心两侧）。2.已知两个位似图形，位似中心为点O，对应边的比为2:1，若其中一个图形的面积为12cm²，求另一个图形的面积。3.如图（可简单描述：△ABC与△DEF是位似图形，AB∥DE，BC∥EF，对应顶点连线交于点O，OA=2OD，AB=5cm，求DE的长度），结合位似图形的性质，求出线段DE的长度。练习评价：基础题由学生自主完成，同桌互查，教师随机抽查，针对共性错误（如判断位似图形忽略两个必备条件、求位似比时混淆OA与OA'的比例）进行集中讲解；提升题由学生自主尝试，小组内交流讨论，教师巡视指导，邀请小组发言分享解题思路和画图过程，点评学生的应用能力和合作交流能力，补充解题技巧。课堂总结（教：引导学生自主回顾本节课的学习内容，梳理知识点之间的逻辑关系，提出总结方向；学：学生自主发言，分享本节课的收获，尝试梳理知识点，形成知识体系；评：评价学生的总结能力，补充完善知识体系，强化重点难点，检测学生对本节课核心内容的掌握程度）总结话术：同学们，今天我们一起学习了位似图形的相关知识，大家回忆一下，我们今天重点探究了哪些内容？首先，我们认识了位似图形，知道了它是一种特殊的相似图形，必须满足两个条件；然后，我们探究了位似图形的三大性质，这些性质是我们解决问题和画图的关键；最后，我们学会了如何画位似图形，掌握了画图的关键步骤和注意事项。自主梳理：请同学们结合自己的学习，试着说一说：位似图形与相似图形有什么区别和联系？位似图形的定义和性质有什么关联？画位似图形时，需要注意哪些关键点？教师补充：梳理本节课知识脉络，强调核心要点——一个定义（位似图形的定义）、三大性质（对应角相等、对应边平行且成比例、位似中心到对应顶点距离比等于位似比）、一种画法（位似图形的规范画法），明确位似知识与相似知识的衔接，为后续学习奠定基础。课后任务遵循“分层布置、贴合课堂、兼顾巩固与提升”的原则，设计基础任务、提升任务和拓展任务，落实“教-学-评”一体化的延伸，让不同层次的学生都能得到锻炼，同时衔接后续学习。基础任务（全员必做，巩固课堂知识点）1.完成教材对应课后习题，重点完成与位似图形定义、性质、基础画法相关的习题，确保掌握核心知识点。2.画出一个自己熟悉的简单图形（如正方形、三角形），分别以不同位置的点为位似中心，画两个位似图形（位似比分别为2和1/2），标注位似中心、位似比和对应顶点。提升任务（选做，强化知识点应用）1.已知两个位似图形，位似比为3:4，其中一个图形的周长为24cm，求另一个图形的周长；若其中一个图形的面积为48cm²，求另一个图形的面积。2.结合生活实际，寻找3个位似图形的实例，分别说明它们的位似中心、位似比（可大致估算），并简要阐述位似在其中的作用。拓展任务（选做，培养迁移创新能力）1.探究：位似图形的对应线段所在直线与位似中心有什么关系？尝试结合具体实例，总结规律，写出简短的探究报告（100字左右）。2.运用位似图形的画法，设计一个简单的几何图案（如由多个位似三角形、正方形组成），标注出位似中心和位似比。任务评价：课后收取学生的作业，重点检查基础任务的完成情况，确保学生掌握核心知识点；对提升任务和拓展任务进行点评，表扬有创新思路的学生，针对存在的问题，在下次课堂上进行集中讲解或个别辅导；鼓励学生主动分享自己的探究成果和设计的图案，培养学生的表达能力和创新意识。板书设计板书设计遵循“简洁明了、重点突出、逻辑清晰”的原则，贴合课堂教学流程，突出核心知识点，便于学生回顾和记忆，无数字编号，采用分层排版。位似图形及画法（第一课时）一、位似图形的定义两个条件：1.相似；2.对应顶点连线交于同一点（位似中心），对应边平行（或共线）位似比：即相似比二、位似图形的性质1.对应角相等2.对应边平行（或共线），比等于位似比3.位似中心到对应顶点距离比=位似比三、位似图形的画法（以△ABC为例）1.定位似中心O2.连OA、OB、OC（延长/反向延长）3.取对应顶点（距离比=位似比）4.顺次连接，得位似图形四、核心总结位似是特殊的相似，相似不一定是位似关键：位似中心、位似比教学反思本节课立足新课标要求，以“教-学-评”一体化理念为核心，围绕位似图形的定义、性质、画法三个核心知识点，拆分教学任务，贴合九年级学生的认知规律，引导学生自主探究、合作交流，力求实现“学习理解—应用实践—迁移创新”的层层递进，落实数学核心素养的培养。结合课堂实际教学效果，反思如下，明确亮点与不足，为后续教学改进提供方向。教学亮点1.课堂导入贴合生活实际，通过学生熟悉的图形放大缩小实例，快速吸引学生的注意力，激发学生的探究兴趣，自然引出本节课的核心内容，同时衔接学生已有的相似图形知识，为探究新知做好铺垫。2.探究新知环节结构化设计合理，知识点拆分细致，每个知识点都遵循“教-学-评”一体化理念，通过“展示实例—提出问题—自主探究—合作交流—总结归纳—即时评价”的流程，引导学生主动参与，避免教师单向灌输，充分体现学生的主体地位，同时强化学生对知识点的理解和掌握。3.课堂练习和课后任务分层设计，兼顾不同层次学生的需求，基础题注重知识点巩固，提升题侧重知识点应用，拓展题培养学生的迁移创新能力，既确保了基础薄弱的学生掌握核心知识点，也为学有余力的学生提供了提升空间，落实了“因材施教”的教学理念。4.板书设计简洁明了，重点突出，逻辑清晰，贴合课堂教学流程，便于学生回顾本节课的核心知识点，同时标注了关键易错点，有助于学生梳理知识体系，强化记忆。教学不足1.探究新知环节，部分学生对位似图形与相似图形的区别与联系理解不够透彻，尤其是在判断“相似但非位似”的图形时，容易忽略“对应顶点连线交于同一点”这一关键条件，虽然进行了即时评价和纠正，但个别学生仍存在模糊认知，后续需增加针对性的辨析练习。2.位似图形的画法教学中，部分学生在确定对应顶点的位置时，容易出现“对应顶点到位似中心的距离比不等于位似比”的错误，尤其是在位似中心在图形内部或顶点上时，反向延长线的操作不够规范，动手画图的速度和准确性有待提升，后续需增加个别指导的时间，强化画图规范。3.课堂互动的广度和深度仍有提升空间，部分性格内向的学生参与度不高，发言不够积极，小组讨论时，部分小组存在“少数人主导、多数