教学材料《概率论》-第一章

第一节样本空间、随机事件

一、随机试验人们是通过试验去研究随机现象的，为对随机现象加以研究所进行的观察或实验，称为试验.若一个试验具有下列三个特点:(１)可以在相同的条件下重复地进行；(２)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以明确试验所有可能出现的结果；(３)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.下一页返回第一节样本空间、随机事件

则称这一试验为随机试验，记为Ｅ.下面举一些随机试验的例子.Ｅ１:抛一枚硬币，观察正面Ｈ和反面Ｔ出现的情况.Ｅ２:掷两颗有区别的骰子，观察出现的点数.Ｅ３:在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命.Ｅ４:城市某一交通路口，指定某一小时内的汽车流量.Ｅ５:记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度.上一页下一页返回第一节样本空间、随机事件

二、样本空间与随机事件在一个试验中，不论可能的结果有多少，总可以从中找出一组基本结果，满足:(１)每进行一次试验，必然出现且只能出现其中的一个基本结果；(２)任何结果，都是由其中的一些基本结果所组成的.随机试验Ｅ的所有基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω.Ｅ的每个基本结果，称为样本点.下面写出前面提到的试验Ｅｋ(ｋ＝１，２，３，４，５)的样本空间Ωｋ:Ω１:{Ｈ，Ｔ}；Ω２:{(ｉ，ｊ)ｉ，ｊ＝１，２，３，４，５，６}；Ω３:{ｔｔ≥０}；Ω４:{０，１，２，…}；上一页下一页返回第一节样本空间、随机事件

Ω５:{(ｘ，ｙ)Ｔ０≤ｘ≤ｙ≤Ｔ１}，这里ｘ表示最低温度，ｙ表示最高温度，并设这一地区温度不会小于Ｔ０也不会大于Ｔ１.随机试验Ｅ的样本空间Ω的子集称为Ｅ的随机事件，简称事件，通常用大写字母Ａ，Ｂ，Ｃ，表示.在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.例如，在掷骰子的试验中，可以用Ａ表示“出现点数为偶数”这个事件，若试验结果是“出现６点”，就称事件Ａ发生.特别地，由一个样本点组成的事件称为基本事件.例如，试验Ｅ１有两个基本事件{Ｈ}、{Ｔ}；试验Ｅ２有３６个基本事件{(１，１)}，{(１，２)}，，{(６，６)}.每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件.样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，每次试验中都必然发生，故它就是一个必然事件.因而必然事件也用Ω表示.在每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，即它不包含任何样本点，因此不可能事件用⌀表示.上一页下一页返回第一节样本空间、随机事件

三、事件之间的关系及其运算由上述可知，事件之间的关系与事件的运算可以用集合之间的关系与集合的运算来处理.下面我们讨论事件之间的关系及运算.(１)如果事件Ａ发生必然导致事件Ｂ发生，则称事件Ａ包含于事件Ｂ(或称事件Ｂ包含事件Ａ)，记作Ａ⊂Ｂ.Ａ⊂Ｂ的一个等价说法是，如果事件Ｂ不发生，则事件Ａ必然不发生.若Ａ⊂Ｂ且Ｂ⊂Ａ，则称事件Ａ与事件Ｂ相等(或等价)，记作Ａ＝Ｂ.为了方便起见，规定对于任一事件Ａ，有⌀⊂Ａ.显然，对于任一事件Ａ，有Ａ⊂Ω.(２)“事件Ａ与Ｂ中至少有一个发生”的事件称为Ａ与Ｂ的并(和)事件，记作Ａ∪Ｂ.由事件并的定义，立即得到:对任一事件Ａ，有Ａ∪Ω＝Ω；Ａ∪⌀＝Ａ.上一页下一页返回第一节样本空间、随机事件

表示“Ａ１，Ａ２，，Ａｎ中至少有一个事件发生”这一事件.表示“可列无穷多个事件Ａｉ中至少有一个发生”这一事件.(３)“事件Ａ和事件Ｂ同时发生”的事件称为事件Ａ与事件Ｂ的交(积)事件，记作Ａ∩Ｂ(或ＡＢ).由事件交的定义，立即得到:对任一事件Ａ，有Ａ∩Ω＝Ａ；Ａ∩⌀＝⌀.上一页下一页返回第一节样本空间、随机事件

表示“Ｂ１，Ｂ２，，Ｂｎ同时发生”这一事件.表示“可列无穷多个事件Ｂｉ同时发生”这一事件.(４)“事件Ａ发生而事件Ｂ不发生”的事件称为事件Ａ与事件Ｂ的差，记作Ａ－Ｂ.由事件差的定义，立即得到:对任一事件Ａ，有Ａ－Ａ＝⌀；Ａ－⌀＝Ａ；Ａ－Ω＝⌀.(５)如果两个事件Ａ与Ｂ不可能同时发生，则称事件Ａ与Ｂ为互不相容事件(互斥事件)，记作ＡＢ＝⌀.(６)若Ａ∪Ｂ＝Ω且ＡＢ＝⌀，则称事件Ａ与事件Ｂ为互逆事件(对立事件).Ａ的对立事件记为Ａ，Ａ是由所有不属于Ａ的样本点组成的事件，它表示“Ａ不发生”这样一个事件.显然Ａ＝Ω－Ａ.对立事件必为互不相容事件，反之，互不相容事件未必为对立事件.上一页下一页返回第一节样本空间、随机事件

以上事件之间的关系及运算可以用维恩(Ｖｅｎｎ)图来直观地描述.若用平面上一个矩形表示样本空间Ω，矩形内的点表示样本点，圆Ａ与圆Ｂ分别表示事件Ａ与事件Ｂ，则事件Ａ与Ｂ的各种关系及运算如图１.１~图１.６所示.可以验证一般事件的运算满足如下运算律:(１)交换律.Ａ∪Ｂ＝Ｂ∪Ａ，ＡＢ＝ＢＡ.(２)结合律.(Ａ∪Ｂ)∪Ｃ＝Ａ∪(Ｂ∪Ｃ)，(ＡＢ)Ｃ＝Ａ(ＢＣ).(３)分配律.Ａ(Ｂ∪Ｃ)＝(ＡＢ)∪(ＡＣ)，Ａ∪(ＢＣ)＝(Ａ∪Ｂ)(Ａ∪Ｃ).分配律可以推广到有穷或可列无穷的情形，即上一页下一页返回第一节样本空间、随机事件

(５)对偶律.对有穷个或可列无穷个Ａｉ，恒有【例１－１】设Ａ，Ｂ，Ｃ为三个事件，用Ａ，Ｂ，Ｃ的运算式表示下列事件:(１)Ａ发生而Ｂ与Ｃ都不发生:(２)Ａ，Ｂ都发生而Ｃ不发生:(３)Ａ，Ｂ，Ｃ至少有一个事件发生:(４)Ａ，Ｂ，Ｃ至少有两个事件发生:(５)Ａ，Ｂ，Ｃ恰好有两个事件发生:上一页下一页返回第一节样本空间、随机事件

(６)Ａ，Ｂ，Ｃ恰好有一个事件发生:(７)Ａ，Ｂ至少有一个发生而Ｃ不发生:(８)Ａ，Ｂ，Ｃ都不发生:【例１－２】甲、乙、丙三人射击同一目标，令Ａ１表示事件“甲击中目标”，Ａ２表示事件“乙击中目标”，Ａ３

表示事件“丙击中目标”.用Ａ１，Ａ２，Ａ３的运算表示下列事件:(１)三人都击中目标；(２)只有甲击中目标；(３)只有一人击中目标；(４)至少有一人击中目标；(５)最多有一人击中目标.上一页下一页返回第一节样本空间、随机事件

解用Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ分别表示上述(１)~(５)中的事件.(１)三人都击中目标，即事件Ａ１，Ａ２，Ａ３同时发生，所以Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３.(２)只有甲击中目标，即事件Ａ１发生，而事件Ａ２和Ａ３都不发生，所以(３)只有一人击中目标，即事件Ａ１，Ａ２，Ａ３中有一个发生，而另外两个不发生，所以(４)至少有一人击中目标，即事件Ａ１，Ａ２，Ａ３中至少有一个发生，所以Ｄ＝Ａ１∪Ａ２∪Ａ３.上一页下一页返回第一节样本空间、随机事件

“至少有一人击中目标”也就是恰有一人击中目标，或者恰有两人击中目标，或者三人都击中目标，所以事件Ｄ也可以表示成(５)最多有一人击中目标，即事件Ａ１，Ａ２，Ａ３或者都不发生，或者只有一个发生，所以“最多有一人击中目标”也可以理解成“至少有两人没击中目标”，即事件Ａ１，Ａ２，Ａ３中至少有两个发生，所以上一页返回第二节概率、古典概型除必然事件与不可能事件外，任一随机事件在一次试验中都有可能发生，也有可能不发生.人们常常希望了解某些事件在一次试验中发生的可能性的大小.为此，我们首先引入频率的概念，它描述了事件发生的频繁程度，进而引出表示事件在一次试验中发生的可能性大小的数———概率.一、频率定义１.１设在相同的条件下进行了ｎ次试验，若随机事件Ａ在ｎ次试验中发生了ｋ次，则比值称为事件Ａ在这ｎ次试验中发生的频率，记为由定义１.１容易推知，频率具有以下性质:(１)对任一事件Ａ，有０≤ｆｎ

(Ａ)≤１；(２)对于必然事件Ω，有ｆｎ

(Ω)＝１；下一页返回第二节概率、古典概型(３)若事件Ａ，Ｂ互不相容，则ｆｎ

(Ａ∪Ｂ)＝ｆｎ

(Ａ)＋ｆｎ

(Ｂ).一般地，若事件Ａ１，Ａ２，，Ａｍ两两互不相容，则事件Ａ发生的频率ｆｎ

(Ａ)表示Ａ发生的频繁程度，频率大，事件Ａ发生的就频繁，在一次试验中，Ａ发生的可能性也就大.反之亦然.因而，直观的想法是用ｆｎ

(Ａ)表示Ａ在一次试验中发生可能性的大小.但是，由于试验的随机性，即使同样是进行ｎ次试验，ｆｎ

(Ａ)的值也不一定相同.但大量试验证实，随着重复试验次数ｎ的增加，频率ｆｎ

(Ａ)会逐渐稳定于某个常数附近，而偏离的可能性很小.频率具有“稳定性”这一事实，说明了刻画事件Ａ发生可能性大小的数———概率具有一定的客观存在性.(严格来说，这是一个理想的模型，因为实际上并不能绝对保证在每次试验时条件都保持完全一样，这只是一个理想的假设.)上一页下一页返回第二节概率、古典概型历史上有一些著名的试验，德摩根(ＤｅＭｏｒｇａｎ)、蒲丰(Ｂｕｆｆｏｎ)和皮尔逊(Ｐｅａｒ￣ｓｏｎ)都曾进行过大量掷硬币试验，所得结果如表１.１所示.可见出现正面的频率总在０.５附近摆动，随着试验次数的增加，它逐渐稳定于０.５.这个０.５就反映了正面出现的可能性的大小.每个事件都存在一个这样的常数与之对应，因而可将频率ｆｎ(Ａ)在ｎ无限增大时逐渐趋向稳定的这个常数定义为事件Ａ发生的概率.这就是概率的统计学定义.上一页下一页返回第二节概率、古典概型定义１.２设事件Ａ在ｎ次重复试验中发生的次数为ｋ，当ｎ很大时，频率ｋｎ在某一数值ｐ的附近摆动，而随着试验次数ｎ的增加，发生较大摆动的可能性越来越小，则称数ｐ为事件Ａ发生的概率，记为Ｐ(Ａ)＝ｐ.要注意的是，上述定义并没有提供确切的计算概率的方法，因为我们永远不可能依据它确切地定出任何一个事件的概率.在实际中，不可能对每一个事件都做大量的试验，而且不知道ｎ取多大才行；如果ｎ取很大，则不一定能保证每次试验的条件都完全相同.而且没有理由认为，取试验次数为ｎ＋１来计算频率，总会比取试验次数为ｎ来计算频率会更准确、更逼近所求的概率.为了理论研究的需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出概率的公理化定义.上一页下一页返回第二节概率、古典概型二、概率的公理化定义定义１.３设Ω为样本空间，Ａ为事件，对于每一个事件Ａ赋予一个实数，记作Ｐ(Ａ)，如果Ｐ(Ａ)满足以下条件:(１)非负性:Ｐ(Ａ)≥０；(２)规范性:Ｐ(Ω)＝１；(３)可列可加性:对于两两互不相容的可列无穷多个事件Ａ１，Ａ２，，Ａｎ，有则称实数Ｐ(Ａ)为事件Ａ发生的概率.在第五章中将证明，当ｎ→时，频率ｆｎ(Ａ)在一定意义下接近于概率Ｐ(Ａ).基于这一事实，我们就有理由用概率Ｐ(Ａ)来表示事件Ａ在一次试验中发生的可能性的大小.由概率公理化定义，可以推出概率的一些性质.上一页下一页返回第二节概率、古典概型性质１Ｐ(⌀)＝０证则由概率的可列可加性得而由Ｐ(⌀)≥０及上式知Ｐ(⌀)＝０.这个性质说明:不可能事件的概率为０.但逆命题不一定成立，我们将在第二章加以说明.性质２(有限可加性)若Ａ１，Ａ２，，Ａｎ为两两互不相容事件，则有上一页下一页返回第二节概率、古典概型证令Ａｉ＝⌀(ｉ＝ｎ＋１，ｎ＋２，)，则由可列可加性及性质１，得性质３设Ａ，Ｂ是两个事件，则Ｐ(Ｂ－Ａ)＝Ｐ(Ｂ)－Ｐ(ＡＢ).特别地，若Ａ⊂Ｂ，则有Ｐ(Ａ)≤Ｐ(Ｂ)，且Ｐ(Ｂ－Ａ)＝Ｐ(Ｂ)－Ｐ(Ａ).证因为Ａ⊂Ｂ，所以Ｂ＝Ａ∪(Ｂ－Ａ)，且Ａ(Ｂ－Ａ)＝⌀，由性质２，有Ｐ(Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ－Ａ).又Ｐ(Ｂ－Ａ)≥０，所以Ｐ(Ａ)≤Ｐ(Ｂ)，并且Ｐ(Ｂ－Ａ)＝Ｐ(Ｂ)－Ｐ(Ａ).对于任意两个事件Ａ与Ｂ，由于Ｂ－Ａ＝Ｂ－ＡＢ，且ＡＢ＝Ａ，Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)可得Ｐ(Ｂ－Ａ)＝Ｐ(Ｂ－ＡＢ)＝Ｐ(Ｂ)－Ｐ(ＡＢ).上式称为概率的减法公式.上一页下一页返回第二节概率、古典概型性质４对任一事件Ａ，有Ｐ(Ａ)≤１.证因为Ａ⊂Ω，由性质３和概率的规范性，可得Ｐ(Ａ)≤１.性质５对于任一事件Ａ，有证因为由概率的规范性和性质２，有于是上一页下一页返回第二节概率、古典概型性质６(加法公式)对于任意两个事件Ａ与Ｂ，有Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－Ｐ(ＡＢ).证因为Ａ∪Ｂ＝Ａ∪(Ｂ－ＡＢ)，且Ａ(Ｂ－ＡＢ)＝⌀，ＡＢ⊂Ｂ，由性质２和性质３，可得Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ－ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－Ｐ(ＡＢ).性质６还可推广到三个事件的情形.例如，设Ａ１，Ａ２，Ａ３为任意三个事件，则有Ｐ(Ａ１∪Ａ２∪Ａ３)＝Ｐ(Ａ１)＋Ｐ(Ａ２)＋Ｐ(Ａ３)－Ｐ(Ａ１Ａ２)－Ｐ(Ａ１Ａ３)－Ｐ(Ａ２Ａ３)＋Ｐ(Ａ１Ａ２Ａ３).一般地，设Ａ１，Ａ２，，Ａｎ为任意ｎ个事件，可由归纳法证得上一页下一页返回第二节概率、古典概型【例１－３】设Ａ，Ｂ为两事件，Ｐ(Ａ)＝０.５，Ｐ(Ｂ)＝０.３，Ｐ(ＡＢ)＝０.１，求:(１)Ａ发生但Ｂ不发生的概率；(２)Ａ不发生但Ｂ发生的概率；(３)至少有一个事件发生的概率；(４)Ａ，Ｂ都不发生的概率；(５)至少有一个事件不发生的概率.上一页下一页返回第二节概率、古典概型解【例１－４】解(１)由题意，所以Ｐ(ＡＢ)＝０.４－０.２＝０.２.上一页下一页返回第二节概率、古典概型(２)由于Ｐ(Ａ)＝１－０.５＝０.５，Ｐ(ＡＢ)＝０.２，所以Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－Ｐ(ＡＢ)＝０.５＋０.４－０.２＝０.７，再由对偶律，有三、古典概型定义１.４如果随机试验Ｅ满足下列两个条件:(１)有限性.试验Ｅ的基本事件总数是有限个.(２)等可能性.每一个基本事件发生的可能性相同.则称试验Ｅ为古典概型(或等可能概型).下面我们讨论古典概型中事件概率的计算公式.上一页下一页返回第二节概率、古典概型设试验Ｅ的样本空间为Ω＝{ω１，ω２，，ωｎ

}.显然基本事件{ω１

}，{ω２

}，，{ωｎ

}是两两互不相容的，且由于Ｐ(Ω)＝１及Ｐ{ω１}＝Ｐ{ω２}＝＝Ｐ{ωｎ}，根据概率的性质，有１＝Ｐ{ω１}＋Ｐ{ω２}＋＋Ｐ{ωｎ

}＝ｎＰ{ωｉ

}(ｉ＝１，２，

，ｎ).即上一页下一页返回第二节概率、古典概型如果事件Ａ包含ｋ个基本事件，即Ａ＝{ωｉ１}∪{ωｉ２}∪∪{ωｉｋ

}，其中ｉ１，ｉ２，，ｉｋ是１，２，，ｎ中的某ｋ个数，则有即一般地，要计算古典概型中事件Ａ的概率，只需计算样本空间Ω所包含的基本事件总数ｎ以及事件Ａ所包含的基本事件个数ｋ.这时常常要用到加法原理、乘法原理和排列组合公式.上一页下一页返回第二节概率、古典概型【例１－５】将一枚硬币抛掷三次，求:(１)恰有一次出现正面的概率；(２)至少有一次出现正面的概率.解将一枚硬币抛掷三次的样本空间为Ω＝{ＨＨＨ，ＨＨＴ，ＨＴＨ，ＴＨＨ，ＨＴＴ，ＴＨＴ，ＴＴＨ，ＴＴＴ}，Ω中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同.(１)设Ａ表示“恰有一次出现正面”，则Ａ＝{ＨＴＴ，ＴＨＴ，ＴＴＨ}，故有上一页下一页返回第二节概率、古典概型(２)设Ｂ表示“至少有一次出现正面”，当样本空间的元素较多时，一般不再将Ω中的元素一一列出，而只需分别求出Ω中与Ａ中包含的元素的个数(即基本事件的个数)，再由式(１－１)求出Ａ的概率.【例１－６】一口袋装有６个球，其中４个白球，２个红球.从袋中取球两次，每次随机地取一个.考虑两种取球方式:(ａ)第一次取一个球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再任取一个球.这种取球方式叫作有放回抽取.(ｂ)第一次取一个球后不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一个球.这种取球方式叫作不放回抽取.试分别就上面两种情形求:(１)取到的两个球都是白球的概率；(２)取到的两个球颜色相同的概率；上一页下一页返回第二节概率、古典概型(３)取到的两个球中至少有一个是白球的概率.解(ａ)有放回抽取的情形:设Ａ表示事件“取到的两个球都是白球”，Ｂ表示事件“取到的两个球都是红球”，Ｃ表示事件“取到的两个球中至少有一个是白球”，则Ａ∪Ｂ表示事件“取到的两个球颜色相同”，在袋中依次取两个球，每一种取法为一个基本事件，显然此时样本空间中仅包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，因而可利用式(１－１)来计算事件的概率.第一次从袋中取球有６个球可供抽取，第二次也有６个球可供抽取.由乘法原理知共有６×６种取法，即基本事件总数为３６.对于事件Ａ而言，由于第一次有４个白球可供抽取，第二次也有４个白球可供抽取，由乘法原理知共有４×４种取法，即Ａ中包含４×４个元素.同理，Ｂ中包含２×２个元素，于是上一页下一页返回第二节概率、古典概型由于ＡＢ＝⌀，故(ｂ)不放回抽取的情形:第一次从６个球中抽取，第二次只能从剩下的５个球中抽取，故共有６×５种取法，即样本点总数为６×５.对于事件Ａ而言，第一次从４个白球中抽取，第二次从剩下的３个白球中抽取，故共有４×３种取法，即Ａ中包含４×３个元素，同理Ｂ中包含２×１个元素，于是上一页下一页返回第二节概率、古典概型由于ＡＢ＝⌀，故【例１－７】一只箱子中装有１０个同型号的电子元件，其中３个次品，７个合格品.(１)从箱子中任取１个元件，求取到次品的概率；(２)从箱子中任取２个元件，求取到１个次品、１个合格品的概率.解(１)从１０个元件中任取１个，共有ｎ＝Ｃ１

１０种不同的取法，每一种取法所得到的结果是一个基本事件，所以ｎ＝Ｃ１

１０.又１０个元件中有３个次品，所以取到次品有Ｃ１３种不同的取法，即ｋ＝Ｃ１３.于是取到次品的概率为上一页下一页返回第二节概率、古典概型(２)从１０个元件中任取２个，共有Ｃ２

１０种不同的取法，所以ｎ＝Ｃ２

１０.而恰好取到１个次品、１个合格品的取法有Ｃ１３Ｃ１７种，即ｋ＝Ｃ１３Ｃ１７，于是取到１个次品、１个合格品的概率为一般地，在Ｎ件产品中有Ｍ件次品，从中任取ｎ(ｎ≤Ｎ)件，则其中恰有ｋ(ｋ≤ｍｉｎ{ｎ，Ｍ})件次品的概率为上一页下一页返回第二节概率、古典概型【例１－８】有ｎ个人，每个人都以同样的概率１Ｎ被分配在Ｎ(ｎ<Ｎ)间房的任一间中，求恰好有ｎ个房间，其中各住一人的概率.解每个人都有Ｎ种分法，这是可重复排列问题，ｎ个人共有Ｎｎ种不同分法.因为没有指定是哪几间房，所以首先选出ｎ间房，有ＣｎＮ种选法.对于其中每一种选法，每间房各住一人共有ｎ!种分法，故所求概率为许多直观背景很不相同的实际问题，都和本例具有相同的数学模型.比如生日问题:假设每人的生日在一年３６５天中的任一天是等可能的，那么随机选取ｎ(ｎ≤３６５)个人，他们的生日各不相同的概率为上一页下一页返回第二节概率、古典概型例如，某班级有５０名学生，一年按３６５天计算，则这５０名学生生日各不相同的概率为需要指出的是，人们在长期的实践活动中总结出这样的事实:小概率事件在一次试验中几乎不可能发生.这一事实通常被称作实际推断原理.由于上述５０名学生生日各不相同的概率仅为０.０３，因此可以预测这５０名学生中至少有２名学生生日相同.上一页下一页返回第二节概率、古典概型四、几何概型上述古典概型的计算，只适用于具有等可能性的有限样本空间，若试验结果无穷多，它显然已不适合.为了克服有限的局限性，可将古典概型的计算加以推广.定义１.５设试验具有以下特点:(１)样本空间Ω是一个几何区域，这个区域大小可以度量(如长度、面积、体积等)，并把Ω的度量记作ｍ(Ω)；(２)向区域Ω内任意投掷一个点，落在区域内任一个点处都是“等可能的”或者设落在Ω中的区域Ａ内的可能性与Ａ的度量ｍ(Ａ)成正比，与Ａ的位置和形状无关.则此试验模型称为几何概型.不妨也用Ａ表示“掷点落在区域Ａ内”的事件，那么事件Ａ的概率可用下列公式计算:称它为几何概率.上一页下一页返回第二节概率、古典概型【例１－９】在区间(０，１)内任取两个数，求这两个数的乘积小于１４的概率.解设在(０，１)内任取两个数为ｘ，ｙ，则０<ｘ<１，０<ｙ<１，即样本空间是由点(ｘ，ｙ)构成的边长为１的正方形Ω，其面积为１.事件Ａ所围成的区域如图１.７所示，则所求概率上一页下一页返回第二节概率、古典概型【例１－１０】甲、乙两船在某码头的同一泊位停靠卸货，每只船都可能在早晨七点至八点间的任一时刻到达，并且卸货时间都是２０分钟，求两只船使用泊位时发生冲突的概率.解因为甲、乙两船都在七点至八点间的６０分钟内任一时刻到达，所以甲到达的时刻ｘ和乙到达的时刻ｙ满足即(ｘ，ｙ)为平面区域Ω＝{(ｘ，ｙ)０<ｘ<６０，０<ｙ<６０}内的任意一点，这是一个平面上的几何概型问题.设Ａ表示事件“两只船使用泊位时发生冲突”，则Ａ＝{(ｘ，ｙ)(ｘ，ｙ)∈Ω，ｘ－ｙ<２０}，如图１.８所示，所以上一页返回第三节条件概率、全概率公式一、条件概率定义１.６设Ａ，Ｂ为两个事件，且Ｐ(Ｂ)>０，则称为事件Ｂ已发生的条件下事件Ａ发生的条件概率，记为Ｐ(ＡＢ)，即易验证，Ｐ(ＡＢ)符合概率定义的三条公理，即:(１)对于任一事件Ａ，有Ｐ(ＡＢ)≥０；(２)Ｐ(Ω｜Ｂ)＝１；下一页返回第三节条件概率、全概率公式其中Ａ１，Ａ２，，Ａｎ，为两两互不相容事件.这说明条件概率符合定义１.３中概率应满足的三个条件，故对概率已证明的结果都适用于条件概率.例如，对于任意事件Ａ１，Ａ２，有Ｐ(Ａ１∪Ａ２Ｂ)＝Ｐ(Ａ１Ｂ)＋Ｐ(Ａ２Ｂ)－Ｐ(Ａ１Ａ２Ｂ).又如，对于任意事件Ａ，有【例１－１１】某电子元件厂有职工１８０人，男职工有１００人，女职工有８０人，男女职工中非熟练工人分别有２０人与５人.现从该厂中任选一名职工，求:(１)该职工为非熟练工人的概率是多少?(２)如果已知被选出的是女职工，那么她是非熟练工人的概率又是多少?上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式解题(１)的求解我们已很熟悉，设Ａ表示“任选一名职工为非熟练工人”的事件，则而题(２)的条件有所不同，它增加了一个附加的条件，已知被选出的是女职工，记“选出女职工”为事件Ｂ，则题(２)就是要求出“在已知Ｂ事件发生的条件下Ａ事件发生的概率”，这就要用到条件概率公式，有上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式此题也可考虑用缩小样本空间的方法来做，既然已知选出的是女职工，那么男职工就可排除考虑范围，因此“Ｂ已发生条件下的事件Ａ”就相当于在全部女职工中任选一人，并选出了非熟练工人.从而ΩＢ样本点总数不是原样本空间Ω的１８０人，而是全体女职工人数８０人，而上述事件中包含的样本点总数就是女职工中的非熟练工人数５人，因此所求概率为上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式【例１－１２】某科动物出生之后活到２０岁的概率为０.７，活到２５岁的概率为０.５６，求现年为２０岁的该科动物活到２５岁的概率.解设Ａ表示“活到２０岁以上”的事件，Ｂ表示“活到２５岁以上”的事件，则有上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式二、乘法定理由条件概率定义两边同乘以Ｐ(Ａ)可得Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(ＢＡ)，由此可得:定理１.１(乘法定理)对于任意两个事件Ａ和Ｂ，如果Ｐ(Ａ)>０，则有Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(ＢＡ).对称地，如果Ｐ(Ｂ)>０，Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ｂ)Ｐ(ＡＢ).对于有限个事件Ａ１，Ａ２，，Ａｎ，当Ｐ(Ａ１Ａ２Ａｎ－１)≠０时，有Ｐ(Ａ１Ａ２Ａｎ

)＝Ｐ(Ａ１)Ｐ(Ａ２Ａ１)Ｐ(Ａ３Ａ１Ａ２)Ｐ(ＡｎＡ１Ａ２Ａｎ－１).上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式【例１－１３】某人忘记了所要拨打的电话号码的最后一位数字，因而只能随意拨码.求他(她)拨码不超过３次接通电话的概率.解设Ａ表示事件“不超过３次接通”，Ａｉ表示事件“第ｉ次接通”(ｉ＝１，２，３)，则上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式【例１－１４】设盒中有ｍ个红球，ｎ个白球，每次从盒中任取一个球，看后放回，再放入ｋ个与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次、第二次取到红球，第三次、第四次取到白球的概率.解设Ｒｉ(ｉ＝１，２，３，４)表示第ｉ次取到红球的事件，Ｒｉ

(ｉ＝１，２，３，４)表示第ｉ次取到白球的事件，则有上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式三、全概率公式和贝叶斯公式为建立两个用来计算概率的重要公式，我们先引入样本空间Ω划分的定义.定义１.７设试验Ｅ的样本空间为Ω，事件Ａ１，Ａ２，，Ａｎ两两互不相容，并且Ω，则称Ａ１，Ａ２，，Ａｎ为试验Ｅ的完备事件组(或样本空间Ω的一个划分).例如:Ａ，Ａ就是Ω的一个划分.若Ａ１，Ａ２，，Ａｎ是Ω的一个划分，那么对每次试验，事件Ａ１，Ａ２，，Ａｎ中必有一个且仅有一个发生.定理１.２(全概率公式)设Ｂ为样本空间Ω中的任一事件，Ａ１，Ａ２，，Ａｎ为Ω的一个划分，且Ｐ(Ａｉ

)>０(ｉ＝１，２，，ｎ)，则有称上述公式为全概率公式.上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式全概率公式表明，在许多实际问题中事件Ｂ的概率不易直接求得，如果容易找到Ω的一个划分Ａ１，Ａ２，，Ａｎ，且Ｐ(Ａｉ)和Ｐ(ＢＡｉ)为已知，或容易求得，就可以根据全概率公式求出Ｐ(Ｂ).【例１－１５】市场供应的某种商品中，甲厂生产的产品占５０％，乙厂生产的产品占３０％，丙厂生产的产品占２０％.已知甲、乙、丙厂产品的合格率分别为９０％、８５％、９５％，求顾客买到的这种产品为合格品的概率.解设Ａ１，Ａ２，Ａ３分别表示事件“买到的产品是甲厂生产的”“买到的产品是乙厂生产的”“买到的产品是丙厂生产的”，Ｂ表示事件“买到的产品是合格品”，则Ａ１，Ａ２，Ａ３是一个完备事件组，且上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式于是由全概率公式，有【例１－１６】人们为了解一只股票未来一段时间内价格的变化，往往会分析影响股票价格的因素，如利率的变化.假设利率下调的概率为６０％，利率不变的概率为４０％.根据经验，在利率下调的情况下，该股票价格上涨的概率为８０％；在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为４０％.求该股票价格上涨的概率.解设Ａ表示事件“利率下调”，Ａ表示事件“利率不变”，Ｂ表示事件“股票价格上涨”.根据题意上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式由全概率公式定理１.３(贝叶斯公式)设样本空间为Ω，Ｂ为Ω中的事件，Ａ１，Ａ２，，Ａｎ为Ω的一个划分，且Ｐ(Ｂ)>０，Ｐ(Ａｉ

)>０(ｉ＝１，２，，ｎ)，则有称上式为贝叶斯公式，也称为逆概率公式.上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式证由条件概率公式有【例１－１７】设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的４５％，３５％，２０％，且各车间的次品率分别为４％，２％，５％，现在从一批产品中检查出１个次品，问:该次品是由哪个车间生产的可能性最大?解设Ａ１，Ａ２，Ａ３表示产品来自甲、乙、丙三个车间的事件，Ｂ表示产品为“次品”的事件，易知Ａ１，Ａ２，Ａ３是样本空间Ω的一个划分，且有上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式由全概率公式得由此可见，该次品由甲车间生产的可能性最大.上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式【例１－１８】由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果:被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为０.９５；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为０.９５.现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为０.００５，问:已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率为多少?解设Ａ表示事件“患有癌症”，Ａ表示事件“没有癌症”，Ｂ表示事件“试验反应为阳性”，则由条件得由此由贝叶斯公式得上一页下一页返回第三节条件概率、全概率公式这就是说，根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为９５％；没有患癌症的被诊断者，试验反应为阴性的概率为９５％，都叫作先验概率.而在得到试验反应结果为阳性，该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率０.０８７叫作后验概率.此项试验也表明，用它作为普查，正确性诊断只有８.７％(即１０００人具有阳性反应的人中大约有８７人的确患有癌症).由此可看出，若把Ｐ(ＢＡ)和Ｐ(ＡＢ)搞混淆，就会造成误诊的不良后果.乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式是概率的三个重要公式，它们在解决某些复杂事件的概率问题中起到十分重要的作用.上一页返回第四节独立性一、事件的独立性独立性是概率统计中的一个重要概念，在讲独立性的概念之前先介绍一个例题.【例１－１９】盒子中有５个白色乒乓球和４个黄色乒乓球，从中抽取两次，每次随机地抽取１个.(１)第一次任取１球，观察其颜色后不放回袋中，再从剩余的球中任取１球；(２)第一次任取１球，观察其颜色后放回袋中，再从中任取１球.设Ａ表示事件“第一次取到白球”，Ｂ表示事件“第二次取到白球”，分别就上述两种方式求Ｐ(Ｂ)和Ｐ(ＢＡ).解(１)不放回抽样:下一页返回第四节独立性(２)放回抽样:从上例可以看出，在不放回抽样中，事件Ａ的发生肯定要影响到事件Ｂ发生的概率，即Ｐ(Ｂ)≠Ｐ(ＢＡ).而在有放回抽样中，事件Ａ的发生不会影响到事件Ｂ发生的概率，即Ｐ(Ｂ)＝Ｐ(ＢＡ)，进而由乘法公式有Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)，此时，我们称事件Ａ与事件Ｂ相互独立.一般地，我们有下面的定义.定义１.８设Ａ和Ｂ是同一试验Ｅ的两个事件，如果则称事件Ａ与事件Ｂ相互独立.上一页下一页返回第四节独立性容易知道，若Ｐ(Ａ)>０，Ｐ(Ｂ)>０，则如果Ａ，Ｂ相互独立，就有Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)>０，故ＡＢ≠⌀，即Ａ，Ｂ相容.反之，如果Ａ，Ｂ互不相容，即ＡＢ＝⌀，则Ｐ(ＡＢ)＝０，而Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)>０，所以Ｐ(ＡＢ)≠Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)，此即Ａ，Ｂ不独立.这就是说，当Ｐ(Ａ)>０且Ｐ(Ｂ)>０时，Ａ，Ｂ相互独立与Ａ，Ｂ互不相容不能同时成立.由定义可以进一步得出下列结论:(１)若Ｐ(Ａ)>０，则Ａ与Ｂ相互独立的充分必要条件为Ｐ(ＢＡ)＝Ｐ(Ｂ)；若Ｐ(Ｂ)>０，则Ａ与Ｂ相互独立的充分必要条件为Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ).上一页下一页返回第四节独立性【例１－２０】投掷一枚均匀的骰子，设Ａ表示事件“出现的点数小于５”，Ｂ表示事件“出现的点数小于４”，Ｃ表示事件“出现的点数为奇数”.讨论Ａ与Ｃ，Ｂ与Ｃ的独立性.上一页下一页返回第四节独立性定义１.９设Ａ，Ｂ，Ｃ是同一试验Ｅ中的三个事件，如果Ａ，Ｂ，Ｃ满足(１)Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)，Ｐ(ＢＣ)＝Ｐ(Ｂ)Ｐ(Ｃ)，Ｐ(ＡＣ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｃ)；(２)Ｐ(ＡＢＣ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)Ｐ(Ｃ).则称事件Ａ，Ｂ，Ｃ相互独立.更一般地，设Ａ１，Ａ２，，Ａｎ是同一试验Ｅ中的ｎ个事件，如果对于这ｎ个事件中的任意ｋ个(２≤ｋ≤ｎ)事件Ａｉ１，Ａｉ２，，Ａｉｋ都有等式Ｐ(Ａｉ１Ａｉ２Ａｉｋ

)＝Ｐ(Ａｉ１)Ｐ(Ａｉ２)Ｐ(Ａｉｋ

)成立，则称ｎ个事件Ａ１，Ａ２，，Ａｎ相互独立.上一页下一页返回第四节独立性【例１－２１】设有４张相同的卡片，１张涂上红色，１张涂上黄色，１张涂上绿色，１张涂上红、黄、绿三种颜色.从这４张卡片中任取１张，用Ａ，Ｂ，Ｃ分别表示事件“取出的卡片上涂有红色”“取出的卡片上涂有黄色”“取出的卡片上涂有绿色”，讨论事件Ａ，Ｂ，Ｃ是否相互独立.上一页下一页返回第四节独立性【例１－２２】甲、乙、丙三人独立射击同一目标，已知三人击中目标的概率分别为０.５，０.６，０.８，求下列事件的概率:(１)恰有１人击中目标；(２)至少有１人击中目标.解设Ａ１，Ａ２，Ａ３分别表示事件“甲击中目标”“乙击中目标”