湖南省岳阳市2026届高三下学期开学摸底检数学测试卷（含解析）

2026年高三开学摸底检测数学分值:150分时间:120分钟一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∣log2A.1,5B.1,62.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()种.A.120B.60C.24D.363.已知函数fx是定义在R上的奇函数,对任意x1,x2∈0,+∞,且x1≠x2,都有A.−∞,−3∪C.−∞,−3∪4.某公司为了调查员工的体重(单位:千克)，因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本,已知抽取的所有员工的体重的方差为120,其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为()A.68B.63C.35D.485.设函数fx=x−2ax和gx=x−2logax的零点分别为x1,A.[162,+∞)B.[166.如图所示,在三棱柱ABC−A1B1C1中,若点E,F分别满足AE=23ABA.19:8B.2:1C.17:10D.16:117.若直线l1:x+y−1=0A.-1B.0C.1D.28.双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2,以F1F2A.32B.52C.10二、选择题:本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有()A.该学生的眼睛近视的概率为0.69B.该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8C.如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3D.如果该学生的眼睛近视,那么该学生不是高一年级的概率为810.辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动,通过讲座、公益市集、志愿服务等形式,重点帮扶特殊困难群体.现有A,B,C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者,小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张,卡片上的字母代表小林参加的活动场次,例如抽到写有A,B,C3A.“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥B.“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立C.“小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立D.“小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立11.在△ABC中，边a,b,c所对的角分别为A,BA.a=3bB.b=三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.等比数列an,a2=2,a5=16,若数列bn满足bn13.已知函数fx=ex−e−x−214.常数a>0，椭圆x2+a2y2四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.记△ABC内角A,B,C的对边分别为a(1)求A；(2)若a=43，求16.如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，ΔPAC是边长为2(1)证明:BC⊥PA(2)若线段PC上的点Q满足直线AP与直线BQ所成角的余弦值为510，求点Q到直线AB17.已知点M4,−1，点N在圆A:x2+y−22=9上运动，线段MN(1)求曲线E的方程；(2)过圆心A的直线l与曲线E相切,求直线l的方程.18.已知甲、乙两个袋子,其中甲袋内有1个红球和3个白球,乙袋内有2个红球和2个白球.根据下列规则进行连续有放回的摸球(每次只摸1个球):先随机选择一个袋子摸球.若选中甲袋,则后续每次均选择甲袋摸球;若选中乙袋,则后续再随机选择一个袋子摸球.(1)按照上述规则摸球3次.当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数X的分布列及期望EX(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球.求3次之内(含3次)停止摸球的概率.19.已知函数fx(1)证明函数fx(2)fx的零点为x0，证明1.D由log2x−1<2可得0<x−因B={x∣−1<故选:D.2.D根据题意可分为2种情况讨论:(i)若小张或小赵只有一人入选，则有C21(ii)若小张,小赵都入选则有A22综上可得,共有24+12故选:D3.D由x1,x2∈0,+∞,且x1≠x2,都有又函数fx是定义在R上的奇函数,则fx在−∞,由f−3=0,则f3故x<−3或0<x<3时fx>0所以xfx>0的解集为故选:D4.B由题意,记样本中女员工的平均体重和方差分别为x1=50,s男员工的平均体重和方差分别为x2=70,s则样本中全部员工的平均体重为x=依题意,方差为s==−400化简得40ω2−42ω+9=0,解得所以女员工的人数为:211故选:B5.C由fx=0,得ax=2x,设y1=ax的图象与y=2x的图象的交点为x1,2x1,由而y1=ax的图象与y2=logax的图象关于直线y=因此点x1,2x1与点x2,2x而当a=2时，x1=1；当a∈2,+∞时，x1∈所以x1故选:C6.A∵AE∵EFB1C1=设三棱柱ABC−A1B1C∴=∴V故选:A.7.C对于直线A1x+B1y+C1已知直线l1:x+y−1=0中A因为l1⊥l2⇒故选:C.8.C由题意得PF1⊥PF2,取PF1的中点M,连接OM,因为O为F1故OM⊥PF1，OM即为坐标原点O到直线PF1所以PF2由双曲线定义可得PF2−PF又F1F2=2c故a2+9a2=4c2故选:C9.AC对于A:该学生的眼睛近视的概率为0.4×0.6+0.3×0.7+0.3×0.8=0.69,故A正确;对于对于C:如果该学生是高二年级,那么该学生的眼睛不近视的概率为1−0.7=0.3,故C正确;对于D:如果该学生的眼睛近视,那么该学生不是高一年级的概率为1−0.4故选:AC.10.BC若选到第一张卡片,则小林同时参加3场活动,A错误.“小林参加A场活动”的概率为12，“小林参加B场活动”的概率为12，“小林同时参加A场和B场活动”的概率为1“小林不参加A场活动”的概率为12，“小林不参加B场活动”的概率为12，“小林同时不参加A场与B场活动”的概率为1“小林参加B场或C场活动”的概率为34，“小林不参加A场活动，参加B场或C场活动”的概率为12故选:BC.11.BD∵a2=b2∵0∵sinC即12∵0<B<π∴b故选:BD.12.2设等比数列an的公比q,因为a所以a5=a2q3,即所以a1所以bn所以数列bn的前n项和=故答案为:213.1函数fx=ex−eg则g−x=e−x−ex−又g′x=ex+因此函数gx在R所以不等式f⇔g则2m−1>2−m,解得m>1故答案为:114.3或1由椭圆x2+a2y当a>1时,x22a2∴22a2=当0<a<1时,x22∴22=3×综上,实数a的值为3或13.故答案为:3或115.(1)A(2)2(1)由bcosC+2acos由正弦定理得sinB所以sinB因为sinA≠0,所以因为0<A<π(2)依题意，a=43，设BC边上的高为由S△ABC=12由余弦定理a2=b2+即bc≤16,当且仅当b因此h=所以BC边上的高的最大值为2.16.(1)在△ABC中,AC由余弦定理可得:BC则BC=2,所以有BC2+由平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面且BC⊥AC,BC⊂平面ABC,则BC又PA⊂平面PAC,则BC(2)取AC,AB中点分别为O,M由△PAC为正三角形知，OP⊥结合(1)中BC⊥平面PAC，由OM//BC，可知OM⊥平面PAC，则如图所示,以O为原点,OA,OM,OP分别为x轴,y轴,则A1可得CP=设CQ=λCP=λ,0,3可得cosAP由cosAP,BQ=510,解得λ则Q−12,0故点Q到直线AB的距离d=17.1(2)y=2或(1)设Bx由M4,−1,B为MN解得x0因为点N在圆A:x所以x02+y0化简得x−所以曲线E的方程为x−(2)易知A0,2，曲线E是以2,12显然当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,与曲线E故直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=kx+2由直线l与圆E相切,则圆心E2,12到直线l化简得7k2+24k=0,解得故直线l的方程是y=2或18.(1)法一:由题意得X的可能取值为0,1,2,3.PPX0123P2764276491因此EX法二:由题意得X的可能取值为0,1,2,3.又X∼B3,1因此EX(2)设事件M=“3次之内(含3次)停止摸球”事件A=“第1次摸到红球,第2次摸到红球”事件B=“第1次摸到红球,第2次摸到白球,第3次摸到红球”事件C=“第1次摸到白球,第2次摸到红球,第3次摸到红球”事件Di=“首次选择甲袋