湖南省长沙外国语学校2025-2026年高一上学期期末考试数学试题（含解析）

湖南省长沙外国语学校2025-2026年高一上学期期末考试数学试题时量:120分钟满分:150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合U={xx∣>1}，A.−∞,2B.C.(−∞,2]2.下列选项中与角α=1560∘A.-60°B.60°C.120°D.240°3.幂函数fx=a2−8xa2A.1B.3C.±14.已知正数a,b满足1a+1b=A.3B.4C.8D.95.已知函数fx=2cosωx+φω>0,φ≤π2A.gx=C.gx=6.函数y=log1A.−∞,1B.−∞,−1C.17.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图,假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB,再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD(作为扇骨留白),形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为2π3时,扇面看上去形状较为美观.已知AD=20 cm,弧CD的长为A.100π3 cm2B.400π38.已知函数fx=1−2x2x+1−A.(−4,0]B.−二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.以下四个命题中,是真命题的是()A.∀B.存在整数x,y,使得C.∀a∈R,二次函数y=x2D.若命题p:∀x>0,x2+10.已知函数fx=tanωx+π3,其中ω>0,若A.ωB.fx的定义域为C.fx在−πD.若a<0，且fa≤33，则11.已知函数fx=−4x−x2,x≤0A.fx有两个减区间B.函数y=fxC.a+b三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.fx=13.已知函数y=fx是定义在R上的奇函数,若x≥0时,f14.∀x∈R,用mx表示fx、gx中的最小者,记为mx=min{fx四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知全集U=R，集合(1)当a=72时，求(2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，求实数16.已知函数fx(1)求fx(2)求fx的最大值及取得最大值时x(3)当x∈0,π时,求17.已知fx(1)若fx<0的解集为−3,2,求关于x(2)若gx=fx+4x,解关于18.如图,AB为半圆的直径,AB=6,O为圆心,∠BOP=θ0∘<θ<90∘,将射线OP绕O逆时针旋转90∘到OQ,过P、Q(1)建立适当的直角坐标系，用θ的三角函数表示P、Q两点的坐标；(2)求四边形PQNM面积的最大值.19.已知函数fx=log22a−x1+x(1)求a的值；(2)若gx=fx−x(3)若函数hx=2fx，讨论函数1.DU={xx∣>1所以∁UA={x∣故选:D2.C因为α=1560∘=120∘+4×故选:C.3.B因为幂函数fx=a2−8由幂函数的定义及单调性得a2−8=1故选:B4.A因为a,b为正数,所以a当且仅当ab=4ba,即由1a+1b=3和a=2b解得故选:A5.D由图可知函数fx的最小正周期T满足3所以最小正周期T=π,故将最低点2π3,−2代入可得f2π3所以4π3+φ=又φ≤π2,所以φ=−π将fx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13由三角函数图象伸缩变换的规律可知gx故选:D.6.D由x2−2x−3>0可得所以fx=log12设t=x2−2x因为t=x2−2x−3对称轴为x=1而y=log所以fx=log12故选:D.7.C设OD=R cm,因为圆心角α=2π3,弧代入弧长公式l=αR可得20π3=2π3×R由扇形面积公式S=12αRS扇形所以此扇面的面积S=故选:C.8.A由题意知fx=1−2x2x+1−x3因为fx因为函数u=1+2x为增函数,y=故函数y=21+2x又因为函数y=−x3−2在R上为减函数,故函数fx因为f−所以fx由fax2+f所以fax2>f1−ax,故ax2若a=0,可得−若a≠0,则需a<0Δ=综上所述，a的取值范围是(−4故选:A.9.ACA选项为真命题；2x+4y=2y=x2+2a是y=若命题p:∀x>0,x2+x+1≥0,则p10.AD对于A选项,因为ω>0且函数fx的最小正周期为π2,故ω对于B选项,由A选项可知fx由2x+π3≠kπ故函数fx的定义域为x x对于C选项,当−π2<x<故函数fx在−π2,0对于D选项,由fa=tan2a+π所以kπ2因为a<0,故当k=0时a取最大值故选:AD.11.BD作出fx当x≤0时,fx=−4x−x2所以fx的单调增区间为−∞,−2,单调减区间为当x>0时,fx=log综上fx有一个减区间,故A结合图象可得,当0≤t<4时,y即函数y=fx−当t=4或t<0时,y即函数y=fx−当t>4时,y=fx,y=t故函数y=fx−tt∈R由于fa=fb=fc,且又log2x=4得x=所以−3≤a+b+由图象得a+b=−4则ab=由−4≤a<−2,则0由于1≤c<16,且随着a的增大,c也增大,所以0≤abc故选:BD12.2令2x−4=0,得x=即fx=a2x−4+5a13.-4因为函数y=fx是定义在R上的奇函数,若x≥0时,fx=14.1令fx由fx=gx得−x+1=−x−12,整理可得x2−由图象可得mx作出函数mx由图象可知,当x=1时,函数m故答案为:1.15.(1)x(2)−(1)由−1≤log2x≤1,解得若a=72,则A=x(2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，可得B是因为A={x故a−2<12a+3≥2或16.1(2)fx的最大值为3，取得最大值时(3)0(1)fx所以fx的最小正周期为T(2)令2x+π6=π2所以当x=π6+kπk∈所以fx的最大值为3,取得最大值时x(3)当0≤x≤π时，由π6≤2x+π6≤π2或3π故函数fx在0,π上的单调递增区间为17.(1)已知fx=x2+a−5x−a<0由韦达定理:−3×2=−将a=6代入不等式ax+3所以−12≤x<(2)gx=fx+4x=x2+(1)当−a<1，即a>−1时，不等式的解为x(2)当−a=1，即a=−1时，不等式变为(3)当−a>1，即a<−1时，不等式的解为x综上所述:当a>−1时,x∈−∞,−a]∪[1,+∞;当a=−1时,18.(1)如图，以AB所在直线为x轴，O为原点建立平面直角坐标系xOy，∵∠BOP=θ∴点P坐标为3cosθ,3sinθ,点∴Q坐标为−(2)∵0∴四边形PQNM的面积S=9∴当2θ=90∘时,即θ=45∴四边形PQNM的面积的最大值为9.19.(1)因为函数fx∴f4a2−x2又∵a经检验,a=1(2)由(1)得fx=log21−x1+x因函数fx为奇函数,∴g−x=f又gx因t=21+x−1在则y=log221+x−1在−1由Gx∴−1<2x2<1−(3)∵hx=2fxH由−1<2x−1<1令Hx①当0≤x<1H由2⋅2x−3=0得当k=0时,方程k⋅2x+当k≠0时,由k⋅2x+2=0得2即当−