湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高二下学期入学监测考试数学试题（含解析）

颐华学校2024级高二下学期入学监测考试试卷数学满分150分时量120分钟一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.设z=2+i1+A.1−2iB.1+2.设函数fx=x+ax2在区间1A.-3B.-2C.−33.已知数列an的首项a1=2025,前n项和Sn,满足SA.12025B.12024C.14.在△ABC中,AB=5,AC=8,N为BC的中点,且△A.11B.14C.352D.5.已知四面体PABC的各顶点均在球O的球面上，PA⊥平面ABC,PA=3,AB⊥BC，三角形ABC的外接圆半径是A.28π3B.18πC.D.86.已知动点P在直线l:x−y−1=0上，点O是坐标原点，点Q是圆A.2B.527.已知点P是椭圆x22+y2=1上的动点,直线l:x+3A.5B.35C.2D.58.定义在R上的函数fx,对任意实数x都有f−x−f3−x=0,A.3,+∞B.−∞,3C.1二、多项选择题:本题共3小题,共18分每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.下列选项正确的是()A.a2+b22≥a+bC.若ac2>bc2,则a>b;D.10.已知函数fx=4A.fB.fx的图象关于点π12C.fx在区间π2,3π4单调递减D.fx在11.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,M为CA.准线l的方程是xB.ME+MFC.A,B为抛物线上的两点,点E为线段AB的中点,则AB所在的直线方程为D.以线段MF为直径的圆与y轴相切三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知函数fx=13x3−ax2+3在点113.已知正四面体ABCD的棱长为1,P为空间中一点,则PB+PC14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,以四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A(1)求角B的大小；(2)求sinA+sin16.记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n(1)证明:数列bn(2)求an17.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中，(1)证明:直线EF//平面AA(2)求平面ABC与平面EFC118.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22,F1,F2分别为椭圆的左右焦点,过F1的直线交E于A,P两点,点(1)求E的方程；(2)求证:直线AP与OM的斜率乘积为−12(3)若分别记OP,AB的斜率为k1,k219.已知函数fx(1)当a=1时,求证:(2)设rx=fx+g1+ax2，若对任意的a∈1,21.B由题意可得z=则z=故选:B.2.A因为fx=x+a因为函数fx在区间1,所以f′x=x3x+2a≤0在1,所以a≤−32x在1,2上恒成立,因为x∈1,所以a的最大值是-3.故选:A.3.C因为Sn=n2a两式相减得an所以anan−1所以ana1=2所以a2024故选:C.4.D因为N为BC的中点,则AN=1AM如图,分别取线段AB,AC的中点为E,F,因为M为所以AC⊥MFAC⋅AB因此AM⋅故选:D.5.CPC的中点为M,因为PA⊥平面ABC,BC⊂所以PA⊥BC,又AB⊥BC,所以BC⊥PB,故△PBC为直角三角形,且所以BC⊥PB,故△PBC为直角三角形,且所以MB=MC因为PA⊥平面ABC,AC⊂平面所以PA⊥AC,故△PAC为直角三角形,且所以MA=MC=MP，所以所以四面体PABC的外接球的球心为M,故点M与点O重合,由已知AC=23,PA所以球O的半径r=所以球O的表面积S=6.C点P在直线l:x圆x−32+y+12=1的圆心C3,−1,半径r因此PQ−POmax=r+PC−POmax,令点则有b+1a−3=−1a+因此PC−PO=PC′−PO≤OC′=2直线OC′方程为x=0,由x=0y=x−1,解得x=0y=−1,即直线x=0与直线故选:C7.B因为点P是椭圆x22所以可设P2则P到直线x+3y+45=0所以当sinθ+φ=−1故选:B8.C令gx=exfx,可得g′x=fx+f′xex>0,所以gx在则f2024=f674×则不等式fx+1>1ex,即为又因为gx在R上单调递增,所以x+1>2,解得x>1,所以不等式9.AC因为a2+b22−所以a2+b22≥a+当a=1,b=−2,满足a>b若ac2>bc2,则c2>0,则ac当c=0时,ac2故选:AC10.ACDfx对于A,fx∈−1,3,所以对于B,fπ12=2sinπ6−π6+1=对于C,当x∈π2,3π所以fx在区间π2,3π4对于D,令fx当x∈0,π所以当2x−π6=−π6,7π6所以fx在0,π有3个零点,故故选:ACD.11.BDA.抛物线C:y2=4x,其准线方程为B.如图所示，过点M作MA⊥准线于点A，则MA=MF，所以ME+MF=ME+MA，当且仅当E,M,A共线时,(即图中A′,MC.设Ax1,y1则y12=4x则2×y1−y2x1−x2所以直线AB的方程为y−1=2x−3,即D.设Mx,y,F1,0,则MF=x+1,且MF的中点坐标为x+12,y2,中点到y故选:BD12.1f′依题意得1−2a=−1故答案为:1.13.−如图,将正四面体ABCD补全为正方体,则正方体的棱长为22如图,以正方体的一个顶点O为原点建立空间直角坐标系,则A0设Px则PA=PC故PB+则PB=3当且仅当x=y当点P的坐标为26,26,23时,14.5双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的半焦距为c,渐近线方程为bx±ay=0,点F2c,0到渐近线距离为PF2=bca2故答案为:515.1(2)3(1)在△ABC中,因为B+C=π−A,所以再由正弦定理可得:ac=sinAsinC因为△ABC中,sinA≠0,sin又B是锐角三角形内角,故B=(2)由B=π3可得:A+C=代入得:sin又因为△ABC是锐角三角形,所以C=2π3−AA因为sinx在π3,2π3上的取值范围是32,1,所以3sin16.(1)[方法一]:由已知2Sn+1bn=2取n=1,由S1=b由于bn为数列Sn的前n所以2b所以2b所以2b由于b所以22bn+1−1=所以数列bn是以b1=32[方法二]由已知条件知b于是bn由①②得bn又2S由③④得bn令n=1,由S1=b所以数列bn是以32为首项,1[方法三]:由2Sn+1bn=2又因为bn=Sn⋅Sbn在2Sn+1bn=2故数列bn是以32为首项,1[方法四]:数学归纳法由已知2Sn+1bn=2,得Sn=12为公差的等差数列,且b下面用数学归纳法证明.当n=1假设当n=k时成立,即那么当n=k+1综上,猜想对任意的n∈N即数列bn是以32为首项,1(2)由(1)可得，数列bn是以b1=32∴bS当n=1时,当n≥2时,an=Sn∴a17.(1)如图,连接A1因为E,F分别是BC,A1且EF⊄平面AA1C1所以直线EF//平面A(2)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC则AA1⊥AB,AA1⊥AC故以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z因为AC=4，AB则B4,0,0，C0,4,0且E,F分别是BC,A1所以EF=易知平面ABC的一个法向量为n=0设平面EFC1的法向量为则m⋅EF=0m⋅EC1设平面ABC与平面EFC1的夹角为θcos所以平面ABC与平面EFC1夹角的余弦值为18.(1)根据椭圆的定义可知PF1根据题意可得ca=222a所以椭圆的方程为x(2)证明:设Px1,y1，Ax2,y2，因为M为AP中点，所以Mx1所以直线AP与OM的斜率乘积为y2因为P,A在椭圆上,所以x122化简得12x12因此直线AP与OM的斜率乘积为−1(3)设Px1,y1,Ax因为点P在椭圆上,所以x1由题意PA:故将直线PA与椭圆E联立y=y1x1整理可得:2x1+3x即x2=−3x1同理,将直线PB与椭圆E联立y=y1x1整理可得:−2x1+3即x3=−3x所以OP,AB的斜率为故1k因为点P在第一象限内,故y11k2−1k1的最大值为−19.(1)要证fx≥x⋅g令hx由x∈hx在区间0,1