湖南长沙市第二十六中学等校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含解析）

2025-2026年下学期高三开学考试数学试题满分150分,考试时间120分钟注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷分为4页,共19题,考查范围:高考全部内容.一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=x x2A.{−1,0,1,2.已知复数z=1+2i1−i，则zA.−32B.32C.3.设a=20.2A.a>b>cB.a4.将函数fx=sin2x+π3的图像向右平移φφ>0个单位长度后,所得图像关于A.π12B.π6C.5π5.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+aA.36B.45C.54D.636.一个圆台形水桶，其上下底面的半径分别为10cm和20cm，母线长为26cm，则该水桶的容积(忽略桶壁厚度)为()A.1400πcm3B.2800πcm37.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,若A.32B.2C.18.已知函数fx=ex−ax2−x,若当x≥A.−∞,12B.(−∞,1]二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示,下列说法正确的有()某中学高一年级100名学生数学期中考试成绩频率分布直方图A.成绩落在[80,90B.这100名学生成绩的中位数为75C.这100名学生成绩的平均数为76D.成绩低于60分的学生人数为10人10.已知函数fx=sin2xA.fx的最小正周期为B.fx的图象关于直线x=C.fx在区间−πD.fx的图象可由y=sin2x的图象向左平移11.如图,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,A.直线EF//平面B.直线EF⊥平面C.异面直线EF与A1D所成角的余弦值D.三棱锥C−EFB的体积为三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知向量a=1,2，b=x,−113.二项式2x−114.已知点P是椭圆C:x24+y23=1上的动点,点Q四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c(2)若a=2,ΔABC的面积为3，求16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,(1)证明:平面PAD⊥平面PAB(2)求直线PC与平面PBE所成角的正弦值.17.某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力,随机抽取了100辆该车型,在相同条件下进行续航测试,得到续航里程(单位:km)的频率分布表如下:续航里程区间[400,450)[450,500)[500,550)[550,600)[600,650]频率0.050.20.450.250.05(1)求这100辆该车型续航里程的平均数x和方差s2(2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程X服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本平均数x,(i)求P480.6(ii)某用户购买了该车型,求其续航里程不低于480.6km的概率.参考数据:2200≈46.9,若X∼NμP18.已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点，点N在x轴上，是否存在定点N,使得∠ANF=∠BNF恒成立?若存在,求出点19.已知函数fx=lnx−ax(1)讨论函数fx(2)若当x≥1时，fx≤lnx1.BA=B所以A∩2.A易知复数z=1+2i1−i=13.B由指数函数的单调性可知a=由对数函数的单调性可知b=所以a>1,0<4.C将函数fx=sin2x+π3所得图象对应的解析式为y=sin因为所得图象关于y轴对称,所以所得函数为偶函数,因此2φ−解得φ=5π12+kπ2,k∈Z5.C解:在等差数列an中,a36.C如图,过A作BC垂线于H,由题知AO由勾股定理可得AH=设圆台上底面半径为r=OA=10 cm,下底面半径为R=CB=207.A设Ax抛物线C:y2=4x的焦点为F由抛物线定义可知AF=x1+1=3,则不妨取y1=22直线l的斜率为k=222−1=22直线l与抛物线C联立方程y=得2x2−5x+2=0,解得x1所以BF=8.Afx≥1即ex−a令gx令hx∵h′x在[0,+∞)①当a≤12时，h′x≥1−2a≥∴hx≥h0∴gx在[∴g故a≤12时，ex−a②a>12时，h′x=∵h′x在∴x∈0,ln2a此时hx<h0=∴gx在0,ln2a即x∈0,ln2a时,综上,a≤9.ACA选项,由频率分布直方图可得[80,90)区间频率为0.03×10=0.3,A正确;B选项，设中位数为x，则0.05C选项,平均数为0.05×55D选项,成绩低于60分的学生人数为0.05×10010.ABC对于A,fx的最小正周期为T=2π2=对于B,令2x−π4=π2+kπk∈Z,解得故fx的图象关于直线x=3π8对称,故对于C,令−π2+2kπ≤令k=0得−π8≤x≤3π8,故fx对于D,y=sin2x的图象向左平移π4个单位得到y=sin211.CD以D为坐标原点,建立下图所示空间直角坐标系,已知正方体棱长为2,E,F分别为D∴EF设平面A1BD的法向量为n=x1令y1=1,则∵EF∴直线EF与平面A1BD不平行,故A∵D设平面B1D1C的法向量为m=令x2=−1,则若直线EF⊥平面B1D1C,则EF显然λ不存在唯一解,故B错误;∵A设异面直线EF与A1D所成角为θcosθ=EF⋅∵VCF∴VF−BCE12.-3∵a∵∴113.602x−1x6令6−32r=0,得r=4故答案为:60.14.4∵点P是椭圆C:x24+y23=∴P2cosα,3sinα∵cosα∴4∴dPQ的最小值为4515.1(2)6(1)由正弦定理可得2sin则2sin在△ABC中,A+B+C=π,则所以2sinBcosA=sinB,即(2)因为S△ABC=12bc由余弦定理可得a2则4=b+c2所以a+b+c=616.(1)底面ABCD为矩形,所以AB⊥又因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以又PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,又AB⊂平面可知平面PAD⊥平面PAB(2)由(1)可知AB,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP易知A0则PB=设平面PBE的法向量为n=则PB⋅n=2x−2z=0PB可得n=所以cos⟨n因此直线PC与平面PBE所成角的正弦值为6217.(1)527.5,2118.75(2)(i)0.6827(ii)0.8414(1)x==s+==2118.75(2)由(1)可知，X∼Nμ,σ(i)∵zz1+z2=根据正态分布的对称性,概率近似等于Pμ已知X∼∴P(ii)利用正态分布对称性:PX∴P∴其续航里程不低于480.6 km的概率约为18.1(2)存在,N(1)ca=221椭圆C的标准方程x2(2)存在，椭圆C:x22+①当直线l斜率不存在时，x=1此时A,B关于x轴对称,x轴上除点F1,0②当直线l斜率存在时,设l:联立x22+y2显然Δ=−由韦达定理可得x1∵∠ANF即y1x1−x即x=2k又直线l斜率不恒为零,所以2x0−4=综上,存在N2,19.(1)当a≤0时，fx在0,+∞上单调递增；当a>0时，fx在(2)[(1)由题意得fx