人教版2024-2025年全国九年级数学2年中考真题汇编 3.5 二次函数的实际应用 第2课时 几何图形面积问题与抛物线型问题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页3.5二次函数的实际应用第2课时几何图形面积问题与抛物线型问题一、选择题1．（2025·甘肃）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度ym与水平距离xm之间的关系式是y=−xA．3m B．2.75m C．2m2．（2024·天津）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t−5t①小球从抛出到落地需要6 s②小球运动中的高度可以是30 m③小球运动2 s时的高度小于运动5其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题3．（2024·甘肃）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B6，2.68在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长4．（2024·广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是74m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则5．（2025·江苏连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=ax−32+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB6．（2024·山东泰安）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是平方米．

7．（2024·四川自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE=6.6m，OE=1.4m，OB=6m，OC=5m，OD=3m．班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是m2三、解答题8．（2025·广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785 km，主缆最低处距离桥面0.00159．（2024·陕西）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）已知：OA=1m，OB=2m，OC=3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距离x((1)求A喷头喷出的水流的最大高度；(2)一名游人站在点D处，OD=4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D10．（2024·陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔

已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m，AO=BC=17m，缆索L1的最低点P(1)求缆索L1(2)点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF=2.6m，11．（2024·湖北武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=−(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．①直接写出a，b的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．12．（2025·辽宁）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：活动主题为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱活动准备1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；2．准备皮尺等测量工具．采集数据图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：1．大门形状为矩形（矩形ABCD）；2．底部跨度（AD的长）为8m3．立柱OE的长为2m，且OE⊥AD，垂足为O,AO=OD设计方案考虑实用和美观等因素，在A,D间增加两根与AD垂直的立柱，垂足分别为M1,M2，立柱的另一端点确定思路小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，线段AD所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点E的坐标为0,2，设抛物线的表达式为y=ax2+2，分析数据得到点A根据以上信息，解决下列问题：(1)求抛物线的表达式；(2)现有一根长度为2m13．（2024·江西）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bxa<0刻画，斜坡可以用一次函数y=1x012m4567…y07615815n7…(1)①m=______，n=______；②小球的落点是A，求点A的坐标．(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系y=−5t①小球飞行的最大高度为______米；②求v的值．14．（2024·河南）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度hm满足关系式h=−5t2+v(1)小球被发射后_________s时离地面的高度最大（用含v0(2)若小球离地面的最大高度为20m(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高1515．（2024·青海）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点A3,32(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线最高点的坐标；(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．16．（2024·甘肃兰州）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度ym与离发射点O的水平距离x水平距离x0341015202227竖直高度y03.244.168987.043.24(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m17．（2025·贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1，且C1:y=ax2+bx+c，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点(1)如图②，当a=−12,b=12时，若点F(2)在（1）的条件下，若FG=4，在水面上有一个截面宽AB=1，高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为(4.5,0)，判断此时石块沿抛物线C2(3)小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包括边界），且点F在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点），其中M12,1,N(1,1),Q18．（2025·山东青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出．信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y=ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点2,3.2信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：t（秒）00.40.6…x（米）046…(1)求y与x的函数关系式；(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？(3)当t为1.6秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y=−0.02x2+px+m（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.819．（2025·江苏盐城）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从A点击球，击球点是拋物线的最高点，点A到地面的距离AO=2.4m，球网上端点B到地面的距离BC=1.55m，人与球网之间的距离OC=1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．［模型应用］（2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是_________m．（3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s．网前吊球时，羽毛球下降的高度hm与时间ts20．（2025·新疆）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数解析式；(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．21．（2025·陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC=16m，L1的最高点B到AC的距离BO=4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC(1)求抛物线L1(2)已知抛物线L3的函数表达式为y=−316x−4222．（2024·湖北）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S(1)求y与x,S与x的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．23．（2024·湖北）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；(2)矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？24．（2025·江苏南通）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m方案一方案二如图1，围成一个面积为450m如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）．(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？25．（2024·内蒙古赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为78米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．26．（2024·山西）综合与实践问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．方案设计：如图2，AB=6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO=9米．欣欣设计的方案如下：第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB=90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，27．（2025·山西）综合与实践问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm．数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0,75)，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm28．（2025·广东广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．发现问题确定目标涉水线设置限高架设置数学抽象绘制图形隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示．图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成．信息收集资料整理当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米．实地考察数据采集斜坡的坡角α为10°，并查得：sin10°≈0.174cos10°≈0.985tan10°≈0.176隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD=BE=3米，地面跨度DE=10米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．问题解决：(1)如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）；(2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）．

参考答案与解析一、选择题1．（2025·甘肃）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度ym与水平距离xm之间的关系式是y=−xA．3m B．2.75m C．2m【答案】B【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．【详解】解：y=−x∵−1<0，∴当x=1时，y取最大值，最大值为114故选：B．2．（2024·天津）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t−5t①小球从抛出到落地需要6 s②小球运动中的高度可以是30 m③小球运动2 s时的高度小于运动5其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令h=0解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把t=2和t=5代入计算即可判断③．【详解】解：令h=0，则30t−5t2=0，解得：t∴小球从抛出到落地需要6 s，故①∵h=30t−5t∴最大高度为45m∴小球运动中的高度可以是30 m，故②当t=2时，h=30×2−5×22=40；当t=5∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，故故选C．二、填空题3．（2024·甘肃）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B6，2.68在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长【答案】能【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当x=2时，y的值，若此时y的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．【详解】解：∵CD=4m，B∴6−4=2，在y=−0.02x2+0.3x+1.6中，当x=2∵2.12>1.8，∴可判定货车能完全停到车棚内，故答案为：能．4．（2024·广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是74m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则【答案】35【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为y=ax−52+4，把点0,74，代入即可求出解析式；当y=0【详解】解：以点O为坐标原点，射线OM方向为x轴正半轴，射线OP方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4设抛物线解析式为：y=ax−5把点0,74代入得：解得：a=−9∴抛物线解析式为：y=−9当y=0时，−9解得，x1=−5即此次实心球被推出的水平距离OM为353故答案为：355．（2025·江苏连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=ax−32+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB【答案】8【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得A0,1.6，代入y=ax−32+2.5，得出抛物线的解析式为【详解】解：由题意，OA=1.6m得A0,1.6将A0,1.6代入y=a得：1.6=a0−3解得：a=−1∴y=−1令y=0，得−1解得：x1=8，∴OB为8m故答案为：8．6．（2024·山东泰安）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是平方米．

【答案】450【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键．设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为60−2x米，又墙长为40米，从而可得0<60−2x≤40，故10≤x<30，又菜园的面积=x60−2x【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为60−2x米，又墙长为40米，∴0<60−2x≤40．∴10≤x<30．菜园的面积=x60−2x∴当x=15时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．故答案为：450．7．（2024·四川自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE=6.6m，OE=1.4m，OB=6m，OC=5m，OD=3m．班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是m2【答案】46.4【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用AO和OC才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO和OC构成矩形，设矩形在射线OA上的一段长为xm，矩形菜地面积为S当x≤8时，如图，则在射线OC上的长为16−x−1.4+5则S=x⋅19.6−x∵−1∴当x≤9.8时，S随x的增大而增大，∴当x=8时，S的最大值为46.4；当x>8时，如图，则矩形菜园的总长为16+6.6+5=27.6则在射线OC上的长为27.6−2x则S=x⋅13.8−x∵−1<0，∴当x>6.9时，S随x的增大而减少，∴当x>8时，S的值均小于46.4；综上，矩形菜地的最大面积是46.4cm故答案为：46.4．三、解答题8．（2025·广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785 km，主缆最低处距离桥面0.0015【答案】该抛物线的表达式为y=【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到0,0.0015、A0.85,0.18，设该抛物线的顶点式为y=ax2【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：则抛物线顶点坐标为0,0.0015，A1.72,0.27−0.09设该抛物线的表达式为y=ax将A0.85,0.18代入y=ax2解得a=21∴该抛物线的表达式为y=219．（2024·陕西）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）已知：OA=1m，OB=2m，OC=3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距离x((1)求A喷头喷出的水流的最大高度；(2)一名游人站在点D处，OD=4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D【答案】(1)4(2)不会【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键．（1）根据A喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出y的最大值即可；（2）根据B喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令x=4，通过计算y的值即可判断．【详解】（1）解：∵OA=1m，OB=2m，OC=3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距离x(∴A0,1,B令x=0，易得c=1,c令x=3，得y=−1可求得b=2因此A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y=−13x函数y=−13x把x=1代入y=−13因此A喷头喷出的水流的最大高度是43（2）解：依题意，函数y=−1令x=4，得y=−1因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．10．（2024·陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔

已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m，AO=BC=17m，缆索L1的最低点P(1)求缆索L1(2)点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF=2.6m，【答案】(1)y=3(2)FO的长为40m【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．（1）根据题意设缆索L1所在抛物线的函数表达式为y=ax−502（2）根据轴对称的性质得到缆索L2所在抛物线的函数表达式为y=3500x+502+2，由EF=2.6m【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为50,2，点A的坐标为0,17，设缆索L1所在抛物线的函数表达式为y=a把0,17代入得17=a0−50解得a=3∴缆索L1所在抛物线的函数表达式为y=（2）解：∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于∴缆索L2所在抛物线的函数表达式为y=∵EF=2.6，∴把y=2.6代入得，2.6=3解得x1=−40，∴FO=40m或FO=60∵FO<OD，∴FO的长为40m11．（2024·湖北武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=−(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．①直接写出a，b的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．【答案】(1)①a=−115，b=8.1(2)−【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）①将9,3.6代入即可求解；②将y=−115x2+x变为y=−115（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为15km，求得a=−2【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km∴抛物线y=ax2+x和直线∴3.6=81a+9，3.6=−解得a=−115，②由①知，y=−12∴y=−∴最大值y=当y=15则−解得x1=12又∵x=9时，y=3.6>2.4∴当y=2.4km则−解得x=11.411.4−3=8.4∴这两个位置之间的距离8.4km（2）解：当水平距离超过15km时，火箭第二级的引发点为9,81a+9，将9,81a+9，15,0代入y=−181a+9=−12解得b=7.5，a=−∴−212．（2025·辽宁）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：活动主题为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱活动准备1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；2．准备皮尺等测量工具．采集数据图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：1．大门形状为矩形（矩形ABCD）；2．底部跨度（AD的长）为8m3．立柱OE的长为2m，且OE⊥AD，垂足为O,AO=OD设计方案考虑实用和美观等因素，在A,D间增加两根与AD垂直的立柱，垂足分别为M1,M2，立柱的另一端点确定思路小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，线段AD所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点E的坐标为0,2，设抛物线的表达式为y=ax2+2，分析数据得到点A根据以上信息，解决下列问题：(1)求抛物线的表达式；(2)现有一根长度为2m【答案】(1)y=−(2)这根材料的长度够用【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：（1）求出A点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；（2）求出N1的坐标，进而求出M【详解】（1）解：由题意，得：AD=8，OA=OD=4，∴A−4,0把A−4,0代入y=ax2∴a=−1∴y=−1（2）由题意，可知：OM∴N1,N∵y=−1∴当x=3时，y=−1∴M1∵2×7故这根材料的长度够用．13．（2024·江西）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bxa<0刻画，斜坡可以用一次函数y=1x012m4567…y07615815n7…(1)①m=______，n=______；②小球的落点是A，求点A的坐标．(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系y=−5t①小球飞行的最大高度为______米；②求v的值．【答案】(1)①3，6；②152(2)①8，②v=4【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，（1）①由抛物线的顶点坐标为4，8可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点（2）①根据第一问可知最大高度为8米；②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为4,8，∴−b解得：a=−1∴二次函数解析式为y=−1当y=152时，解得：x=3或x=5（舍去），∴m=3，当x=6时，n=y=−1故答案为：3，6．②联立得：y=−1解得：x=0y=0或x=∴点A的坐标是152（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，故答案为：8；②y=−5t则v2解得v=41014．（2024·河南）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度hm满足关系式h=−5t2+v(1)小球被发射后_________s时离地面的高度最大（用含v0(2)若小球离地面的最大高度为20m(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15【答案】(1)v(2)20(3)小明的说法不正确，理由见解析【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（2）把t=v010，h=20（3）由（2），得h=−5t2+20t，把h=15【详解】（1）解：h=−5=−5t−∴当t=v010故答案为：v0（2）解：根据题意，得当t=v010∴−5×v∴v0（3）解：小明的说法不正确．

理由如下：由（2），得h=−5t当h=15时，15=−5t解方程，得t1=1，∴两次间隔的时间为3−1=2s∴小明的说法不正确．15．（2024·青海）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点A3,32(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线最高点的坐标；(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．【答案】(1)y=−(2)7(3)这棵树的高为2【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明△OBD∽△OAE，利用相似三角形的性质求得BD=12，【详解】（1）解：∵点A3,32把点A3,32代入y=−解得b=7∴抛物线的解析式为y=−x（2）解：由（1）得：y=−x∴抛物线最高点对坐标为74（3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，∵∠BOD=∠AOE，∠BDO=∠AEO=90°，∴△OBD∽△OAE，∴ODOE又∵点B是OA的三等分点，∴OBOA∵A3,∴AE=32，∴BDAE解得BD=1∴ODOE解得OD=1，∴点C的横坐标为1，将x=1代入y=−x2+∴点C的坐标为1,5∴CD=5∴CB=CD−BD=5答：这棵树的高为2．16．（2024·甘肃兰州）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度ym与离发射点O的水平距离x水平距离x0341015202227竖直高度y03.244.168987.043.24(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m【答案】(1)抛物线的表达式y=−(2)水火箭距离地面的竖直高度5米【分析】本题主要考查二次函数的性质，1根据题意可设抛物线的表达式y=ax2+bx2由题意知x=5，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式y=ax由表格得抛物线的顶点坐标为15,9，则−b2a=15则抛物线的表达式y=−1（2）解：由题意知x=5，则y=−1那么，水火箭距离地面的竖直高度5米．17．（2025·贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1，且C1:y=ax2+bx+c，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点(1)如图②，当a=−12,b=12时，若点F(2)在（1）的条件下，若FG=4，在水面上有一个截面宽AB=1，高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为(4.5,0)，判断此时石块沿抛物线C2(3)小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包括边界），且点F在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点），其中M12,1,N(1,1),Q【答案】(1)y=−(2)不能，理由见解析(3)−【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先得到G6,0，然后求出C2:y=−（3）首先求出P1,32，然后由a越小开口越大，a越大开口越小，点F在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点(4,0)时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点(3,0)【详解】（1）∵当a=−12∵点F坐标为(2,0)∴0=−∴c=1∴抛物线C1的表达式为y=−（2）不能，理由如下：∵FG=4，点F坐标为(2,0)∴G∴C∵点A的坐标为(4.5,0)，AB=1∴B∴将x=5.5代入y=−∴此时石块沿抛物线C2（3）∵正方形MNPQ，M∴P∴如图所示，∵抛物线开口向下∴a<0∵a越小开口越大，a越大开口越小，点F在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点）∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点(4,0)时，开口最大，此时a最大∴设C1的表达式为将(4,0)代入得，0=a解得a=−4∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点(3,0)时，开口最小，此时a最小∴设C1的表达式为将(3,0)代入得，0=a解得a=−3∴a的取值范围为−3【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键．18．（2025·山东青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出．信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y=ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点2,3.2信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：t（秒）00.40.6…x（米）046…(1)求y与x的函数关系式；(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？(3)当t为1.6秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y=−0.02x2+px+m（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8【答案】(1)y=−0.05(2)网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米(3)p≤0.36【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）代入点2,3.2，4,4.2得到二元一次方程组求解即可；（2）先求出球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）的关系式为x=10t，再由二次函数的性质求解；（3）先求出击球点位置为16,1.8，再将16,1.8代入y=−0.02x2+px+m，求出y=−0.02x2【详解】（1）解：∵图象经过点2,3.2，4,4.2，4a+2b+1.8=3.216a+4b+1.8=4.2解得：a=−0.05b=0.8∴y与x的函数关系式为y=−0.05x（2）解：由表格可知t=0,x=0，∴设球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）的关系式为：x=ktk≠0代入0.4,4得：0.4k=4，解得：k=10，∴x=10t，对于y=−0.05x2+0.8x+1.8∴开口向下，∵对称轴为：直线x=−∴当x=8时，ymax此时10t=8，解得：t=0.8，∴网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米；（3）解：由题意得，当t=1.6时，x=1.6×10=16，∴y==−0.05×16∴击球点位置为16,1.8，将16,1.8代入y=−0.02x则−0.02×16∴m=6.92−16p，∴y=−0.02x∵x=2时，y≥1.8，∴−0.02×2解得：p≤0.36，故答案为：p≤0.36．19．（2025·江苏盐城）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从A点击球，击球点是拋物线的最高点，点A到地面的距离AO=2.4m，球网上端点B到地面的距离BC=1.55m，人与球网之间的距离OC=1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．［模型应用］（2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是_________m．（3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s．网前吊球时，羽毛球下降的高度hm与时间ts【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为y=−12x+125；网前吊球击球路线的函数表达式为【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．（1）以O为坐标原点，OF所在的中线为x轴，OA所在的中线为y轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可；（2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点E坐标，则OE可求，利用CE=OE−OC解答即可得出结论；（3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论．【详解】解：（1）以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,2.4)，D(1.6,1.6)，设直线AD的解析式为y=kx+n，∴n=2.41.6k+n=1.6∴k=−1∴扣杀球击球路线的函数表达式为y=−1设网前吊球击球路线的函数表达式为y=ax∴1.6=a×1.6∴a=−5∴网前吊球击球路线的函数表达式为y=−5（2）令y=0，则−5∵x>0，∴x=8∴E8∴OE=8∴CE=OE−OC=8故答案为：83（3）对于y=−12x+125∴x=24∴F(24∴OF=4.8，∴AF=O∵扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s∴1255∵5∴乙不能接到扣杀球的击球．∵从A点击球，击球点是抛物线的最高点，∴12∵t>0，∴t=2∵2∴乙能接到网前吊球的击球．20．（2025·新疆）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数解析式；(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．【答案】(1)y=−(2)能安全通过，见解析【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入12,0即可求解a，继而得到函数解析式；（2）先求出点A坐标，然后求出点A距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与0.5比较即可．【详解】（1）解：由题意得，顶点为122,8，即设抛物线的解析式为：y=a代入点12,0得a12−6解得：a=−2∴抛物线解析式为y=−2（2）解：能安全通过，理由如下：如图，由题意得：xA将x=2代入y=−2则y=−2∵409∴能安全通过．21．（2025·陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC=16m，L1的最高点B到AC的距离BO=4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC(1)求抛物线L1(2)已知抛物线L3的函数表达式为y=−316x−42【答案】(1)y=−(2)MN=12【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）理解题意，先设抛物线L1的函数表达式为y=ax−02+4，结合二次函数的对称性得（2）理解题意，得出y=yN−yQ=52，再结合抛物线L1，L【详解】（1）解：∵BO=4m∴抛物线L1的顶点B坐标为0,4设抛物线L1的函数表达式为y=a∵AC=16m∴结合二次函数的对称性得A−8,0将C8,0代入y=a得0=64a+4则a=−1∴y=−1（2）解：由（1）得抛物线L1的函数表达式y=−∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．NQ=52m，且抛物线L∴y=y整理得x2∴x2∴x2解得x1∴MN=2×6=12m22．（2024·湖北）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S(1)求y与x,S与x的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．【答案】(1)y=80−2x19≤x<40；(2)能，x=25(3)S的最大值为800，此时x=20【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：（1）根据AB+BC+CD=80可求出y与x之间的关系，根据墙的长度可确定x的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；（2）令S=750，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可；（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．【详解】（1）解：∵篱笆长80m∴AB+BC+CD=80，∵AB=CD=x,BC=y,∴x+y+x=80,∴y=80−2x∵墙长42m，∴0<80−2x≤42，解得，19≤x<40，∴y=80−2x19≤x<40又矩形面积S=BC⋅AB=y⋅x==−2x（2）解：令S=750，则−2x整理得：x2此时，Δ=所以，一元二次方程x2∴围成的矩形花圃面积能为750m∴x=∴x∵19≤x<40，∴x=25；（3）解：S=−2∵−2<0,∴S有最大值，又19≤x<40，∴当x=20时，S取得最大值，此时S=800，即当x=20时，S的最大值为80023．（2024·湖北）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；(2)矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？【答案】(1)y=80−2x，S=−2(2)x=25(3)当x=20时，实验田的面积S最大，最大面积是800【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围是解题的关键．（1）根据2x+y=80，求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式；（2）先求出x的取值范围，再将S=750代入函数中，求出x的值；（3）将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值．【详解】（1）解：∵2x+y=80，∴y=−2x+80，∵S=xy，∴S=x(−2x+80)=−2x（2）∵y≤42，∴−2x+80≤42，∴x≥19，∴19≤x<40，当S=750时，−2xx2(x−25)(x−15)=0，∴x=25，∴当x=25m时，矩形实验田的面积S能达到750（3）∵S=−2x∴当x=20m时，S有最大值80024．（2025·江苏南通）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m方案一方案二如图1，围成一个面积为450m如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）．(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？【答案】(1)15米；(2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键．（1）设与墙垂直的边为xm（2）设与墙平行的边为tm，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时t【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为60−2x根据题意得x60−2x解得x答：与墙垂直的边的长度为15米；（2）解：设与墙平行的长度为tm，花圃的面积为S根据题意得S=∴S=−∵−1∴当t=33时，S有最大值363，答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．25．（2024·内蒙古赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为78米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．【答案】(1)y=(2)①此人腾空后的最大高度是258米，解析式为y=−18(3)这条钢架的长度为217【分析】（1）根据题意得到水滑道ACB所在抛物线的顶点坐标为C−3,78，且过点B0,2，设水滑道ACB所在抛物线的解析式为y=ax+3（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为y=−18x+b2+c，由抛物线的顶点为3,258，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线BD的解析式为：y=−（3）根据题意可得M点的纵坐标为4，令y=18x+32+78中y=4，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出BM所在直线的解析式为y=−14x+2，设这条钢架为GH，与MN交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与BM平行，设该钢架所在直线的解析式为y=−14x+n，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立y=−14【详解】（1）解：根据题意得到水滑道ACB所在抛物线的顶点坐标为C−3,78设水滑道ACB所在抛物线的解析式为y=ax+3将B0,2代入，得：2=a0+32∴a=1∴水滑道ACB所在抛物线的解析式为y=1（2）解：①∵人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为y=−1∴人腾空后的路径形成的抛物线BD的顶点坐标与抛物线ACB的顶点坐标C−3,78∵0×2−−3∴人腾空后的路径形成的抛物线BD的顶点坐标为3,258，即∴此人腾空后的最大高度是258米，人腾空后的路径形成的抛物线BD的解析式为：y=−由①知人腾空后的路径形成的抛物线BD的解析式为：y=−1令y=0，则−18∴x=8或x=−2（舍去，不符合题意），∴点D8,0∴OD=8，∵OE=12，∴DE=OE−OD=4>3，∴此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；（3）解：根据题意可得M点的纵坐标为4，令y=18x+3∴x=2（舍去，不符合题意）或x=−8，∴M−8,4设BM所在直线的解析式为y=kx+b将M−8,4,B0,2解得：b′∴BM所在直线的解析式为y=−1如图，设这条钢架为GH，与MN交于点G，与地面交于H，∵这条钢架与BM平行，∴设该钢架GH所在直线的解析式为y=−1联立y=−14x+n整理得：x2∵该钢架GH与水滑道有唯一公共点，∴Δ∴n=0即该钢架所在直线的解析式为y=−1∴点H与点O重合，∵GN=−14×−8=2∴GH=G∴这条钢架的长度为217【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．26．（2024·山西）综合与实践问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．方案设计：如图2，AB=6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO=9米．欣欣设计的方案如下：第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB=90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，【答案】(1)图见解析，y=−(2)DE的长为4米，CF的长为2米(3)矩形周长的最大值为332【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．（1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据OP垂直平分AB，得出B3,0，根据OP=9设抛物线的函数表达式为y=ax2+9，将（2）设点E的坐标为m，−m2+9，可得DF=EF=m，OF=−m2（3）由矩形周长=2GH+GL【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB=6，∴OA=OB=1∴点B的坐标为3,0，∵OP=9，∴点P的坐标为0,9，∵点P是抛物线的顶点，∴设抛物线的函数表达式为y=ax∵点B3,0在抛物线y=a∴9a+9=0，解得：a=−1．∴抛物线的函数表达式为y=−x（2）解：∵点D，E在抛物线y=−x∴设点E的坐标为m，∵DE∥AB，交y轴于点∴DF=EF=m，OF=−m∴DE=2m．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴OC=1∴CF=OF−OC=−m根据题息，得DE+CF=6，∴−m解得：m1∴m=2．∴DE=2m=4，CF=−答：DE的长为4米，CF的长为2