人教版2024-2025年全国九年级数学中考真题汇编 2.3 一元二次方程及其应用

试卷第=page11页，共=sectionpages33页2.3一元二次方程及其应用一、选择题1．（2025·山东潍坊）若一元二次方程x2−2x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为（A．−1 B．0 C．12 D．2．（2025·四川广元）如图，在长为12m，宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的25，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为xA．(12−x)(10−x)=12×10×25 C．(12−x)(10−2x)=12×10×25 3．（2025·四川乐山）若方程x2−x−2=0的两个根是x1和x2，则A．−1 B．1 C．−2 D．24．（2025·广东广州）关于x的方程x2−x+kA．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．只有一个实数根5．（2025·甘肃兰州）若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（A．3 B．2 C．1 D．06．（2025·辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（）A．x60−x=864 C．x60+x=864 7．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（

）A．25001+x2=9100C．25001−2x2=91008．（2025·北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数aA．−4 B．−1 C．1 D．49．（2025·黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（

）A．80001+2x=1200 C．8000+80001+x+80001+x10．（2025·广西）已知x1,x2是方程x2A．−25 B．−20 C．20 D．2511．（2025·甘肃）关于x的一元二次方程3x2−6x+m=0有两个实数根，则mA．m<3 B．m≤3 C．m>3 D．m≥312．（2025·河北）若一元二次方程x(x+2)−3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m,n)在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限13．（2025·湖北）一元二次方程x2−4x+3=0的两个实数根为x1A．x1+xC．x1x214．（2025·河南）一元二次方程x2−2x=0的根的情况是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根15．（2025·新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xA．x24−2x=40 C．2x24−2x=40 16．（2025·新疆）若关于x的一元二次方程x2−2x+a=0无实数根，则实数a的取值范围是（A．a<1 B．a>1 C．a≤1 D．a≥117．（2025·四川德阳）若关于x的一元二次方程−2x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则kA．2 B．0 C．−2 D．−418．（2025·福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（

）A．5x2=6 B．51+x219．（2025·江苏扬州）关于一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断根的情况20．（2025·安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（

）A．x2+1=0 C．x2+x+1=0 21．（2025·四川广安）关于x的一元二次方程x2+3x+1=0的根的情况是（A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．无法确定22．（2025·云南）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（

）A．60001+x2=6200C．60001+2x=6200 23．（2025·四川遂宁）已知关于x的一元二次方程x2−3x+m+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（A．m<54 B．m≥54 C．24．（2025·四川内江）若关于x的一元二次方程a−1x2+2x+1=0有实数根，则实数aA．a≤2 B．a<2 C．a≤2且a≠1 D．a<2且a≠125．（2025·四川凉山）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（

）A．560B．560+560C．560+560D．560+56026．（2025·重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（

）A．10% B．20% C．22%27．（2024·江苏淮安）若关于x的一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（A．k≥4 B．k>4 C．k≤4 D．k<428．（2024·四川自贡）关于x的方程x2+mx−2=0根的情况是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根29．（2024·青海西宁）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽xm的道路，中间是宽2xm的道路．如果阴影部分的总面积是600mA．x2−41x+180=0 C．x2−41x+30=0 30．（2024·山东德州）把多项式x2−3x+4进行配方，结果为（A．x−32−5 C．x−32231．（2024·山东日照）已知，实数x1,x2x1≠x2是关于xA．1 B．−1 C．12 D．32．（2024·江苏南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（A．72001+x2=8450C．84501−x2=720033．（2024·内蒙古）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（

）A．x⋅60−x2=864 B．x60+x=864 34．（2024·山东济南）若关于x的方程x2−x−m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（A．m<−14 B．m>−14 C．35．（2024·山东东营）用配方法解一元二次方程x2−2x−2023=0时，将它转化为(x+a)2=b的形式，则A．−2024 B．2024 C．−1 D．136．（2024·江苏宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c=ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★A．m<14 B．m>14 C．m>14且37．（2024·山东潍坊）已知关于x的一元二次方程x2−mx−n2+mn+1=0，其中m,nA．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定38．（2024·甘肃兰州）关于x的一元二次方程9x2−6x+c=0有两个相等的实数根，则c=A．−9 B．4 C．−1 D．139．（2024·山东泰安）关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有实数根，则实数kA．k<98 B．k≤98 C．40．（2024·内蒙古通辽）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1mA．5m或6m B．2.5m或3m C．41．（2024·黑龙江牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（

）A．20% B．22% C．25%42．（2024·吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A．x−22=−1 C．x−22=1 43．（2024·内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程x2A．17或13 B．13或21 C．17 D．1344．（2024·黑龙江大兴安岭地）关于x的一元二次方程m−2x2+4x+2=0有两个实数根，则mA．m≤4 B．m≥4 C．m≥−4且m≠2 D．m≤4且m≠245．（2024·黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是−2和−5．则原来的方程是(

)A．x2+6x+5=0 C．x2−5x+2=0 46．（2024·贵州）一元二次方程x2−2x=0的解是（A．x1=3，x2=1 B．x1=2，x2=0 C．47．（2024·北京）若关于x的一元二次方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为（A．−16 B．−4 C．4 D．1648．（2024·四川眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（

）A．670×1+2x=780 C．670×1+x249．（2024·云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（

）A．801−x2C．801−x=60 二、填空题50．（2025·四川巴中）关于x的一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实根，则m=51．（2025·青海西宁）若关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k52．（2025·江苏常州）若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m=53．（2025·四川广元）若关于x的一元二次方程a−1x2+a−154．（2025·江苏宿迁）方程x2−2024x−2025=0的两个根分别是m、n，则55．（2025·青海）若x=1是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则c的值为56．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x−1=057．（2025·黑龙江绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程x2−2025x+1=0的两个根，则m+158．（2025·江苏苏州）已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x−m=059．（2025·四川眉山）已知方程x2−2x−5=0的两根分别为x1，x2，则60．（2025·山东）若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是61．（2025·四川广安）已知方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，则代数式a262．（2025·上海）已知关于x的一元二次方程2x2+x−m=0没有实数根，则m63．（2025·四川达州）已知关于x的方程x2+mx−3=0的一个根是1，则m的值为64．（2025·四川成都）从−1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1=065．（2025·四川泸州）若一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α, β66．（2025·贵州）一元二次方程x2−1=0的根是67．（2025·山东东营）若关于x的方程k2−1x2+68．（2024·广东深圳）一元二次方程x2−3x+a=0的一个解为x=1，则a=69．（2024·江苏南京）已知4−15是关于x的方程x−2ax2+bx+c=0（a, 70．（2024·青海西宁）已知方程x2+2x−1=0的两根分别为a和b，则4a71．（2024·山东德州）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a272．（2024·江苏徐州）关于x的方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k值为73．（2024·山东青岛）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为m．

74．（2024·江苏南通）已知关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：75．（2024·江苏镇江）若关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m=76．（2024·广东）如果关于x的方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m=77．（2024·四川巴中）已知方程x2−2x+k=0的一个根为−2，则方程的另一个根为78．（2024·广东广州）定义新运算：a⊗b=a2−b,a≤0,−a+b,a>0,例如：−2⊗4=(−2)2−4=0，2⊗3=−2+3=179．（2024·河南）若关于x的方程12x2−x+c=0有两个相等的实数根，则80．（2024·湖南）若关于x的一元二次方程x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，则k的值为81．（2024·新疆）若关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为三、解答题82．（2025·黑龙江齐齐哈尔）解方程：x83．（2025·山东威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m84．（2025·四川南充）设x1，x2是关于x的方程(1)当x1=−1时，求x2(2)求证：(x85．（2024·四川攀枝花）解方程：(x+1)286．（2024·西藏）列方程（组）解应用题某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．(1)求该商场投入资金的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？87．（2024·山东淄博）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．88．（2024·广东广州）关于x的方程x2(1)求m的取值范围；(2)化简：1−m89．（2024·上海）解方程组：x290．（2024·四川南充）已知x1，x2是关于x的方程(1)求k的取值范围．(2)若k<5，且k，x1，x2都是整数，求91．（2024·四川遂宁）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为x1,x2，且92．（2025·四川泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．93．（2025·四川达州）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？94．（2025·四川巴中）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25(1)矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少(2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m？95．（2024·辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价x/元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y/件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．96．（2024·青海）（1）解一元二次方程：x2（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．97．（2024·山东烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？

参考答案与解析一、选择题1．（2025·山东潍坊）若一元二次方程x2−2x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为（A．−1 B．0 C．12 D．【答案】D【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数c的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判别式Δ=b2【详解】解：∵一元二次方程x2∴Δ=解得：c=1，故选：D．2．（2025·四川广元）如图，在长为12m，宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的25，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为xA．(12−x)(10−x)=12×10×25 C．(12−x)(10−2x)=12×10×25 【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程．确定矩形总面积：矩形地面长12m、宽10m,总面积为12×10m2;分析草坪的长和宽：花卉带宽度为xm,且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共2x),即【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为12×10m2，草坪面积为总面积的，即草坪面积为∵花卉带宽度为x m∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽x m),草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽x m),即因此，草坪的面积可表示为12−2x10−2x(12−2x)(10−2x)=12×10×故选：D．3．（2025·四川乐山）若方程x2−x−2=0的两个根是x1和x2，则A．−1 B．1 C．−2 D．2【答案】C【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为x1和x2，则x1【详解】解：∵x1和x2是方程∴x1+x∴x1故选：C4．（2025·广东广州）关于x的方程x2−x+kA．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．只有一个实数根【答案】C【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况．【详解】解：对于方程x2Δ由于k2≥0，则−4k故判别式Δ恒为负数，方程无实数根，故选：C．5．（2025·甘肃兰州）若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：对于方程x2Δ=∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0即4−4a>0，解得a<1．故选：D．6．（2025·辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（）A．x60−x=864 C．x60+x=864 【答案】A【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为60−x步，利用矩形面积公式即可列出方程.【详解】解：设宽为x步，则长为60−x步由题意，得：x(60−x)=864，故选：A.7．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（

）A．25001+x2=9100C．25001−2x2=9100【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可．【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，根据题意，得25001+x故选：A．8．（2025·北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数aA．−4 B．−1 C．1 D．4【答案】C【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到Δ=0【详解】解：由题意，得：Δ=解得：a=1；故选C．9．（2025·黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（

）A．80001+2x=1200 C．8000+80001+x+80001+x【答案】B【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的(1+x)倍，故三月份销量为8000(1+x)²，据此列方程即可．【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为8000(1+x)，三月份销量为二月份的(1+x)倍，即80001+x根据题意，三月份销量为12000辆，可得方程为：80001+x故选B．10．（2025·广西）已知x1,x2是方程x2A．−25 B．−20 C．20 D．25【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．【详解】解：∵x1,x∴x1故选：C11．（2025·甘肃）关于x的一元二次方程3x2−6x+m=0有两个实数根，则mA．m<3 B．m≤3 C．m>3 D．m≥3【答案】B【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当【详解】解：对于方程3x其根的判别式为：Δ=∵方程有两个实数根，∴Δ≥0即36−12m≥0，解得m≤3，故选：B．12．（2025·河北）若一元二次方程x(x+2)−3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m,n)在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．【详解】解：原方程xx+2−3=0其中a=1，b=2，c=−3．∴m=−ba=−∴点m,n即−2,−3的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．故选：C．13．（2025·湖北）一元二次方程x2−4x+3=0的两个实数根为x1A．x1+xC．x1x2【答案】D【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案.【详解】解：对于方程x2−4x+3=0，设其根为x1根据根与系数的关系：∴x1+x故选：D14．（2025·河南）一元二次方程x2−2x=0的根的情况是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握Δ>0，方程有两个不相等的实数根；Δ=0，方程有两个相等的实数根；【详解】解：一元二次方程x2∵Δ∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．15．（2025·新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xA．x24−2x=40 C．2x24−2x=40 【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可.【详解】解：设矩形的宽为xm，则矩形的宽为24−2x∴x故选：A.16．（2025·新疆）若关于x的一元二次方程x2−2x+a=0无实数根，则实数a的取值范围是（A．a<1 B．a>1 C．a≤1 D．a≥1【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ<0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=解得：a>1，故选：B．17．（2025·四川德阳）若关于x的一元二次方程−2x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则kA．2 B．0 C．−2 D．−4【答案】C【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式Δ=【详解】解：∵方程−2x∴Δ=∴k=−2．故选：C．18．（2025·福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（

）A．5x2=6 B．51+x2【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可．【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为5−x米，由题意，得：x(5−x)=6；故选：C．19．（2025·江苏扬州）关于一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断根的情况【答案】A【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2通过计算一元二次方程的判别式Δ，即可判断方程根的情况．【详解】解：x2a=1,b=−3,c=1∴Δ=∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．20．（2025·安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（

）A．x2+1=0 C．x2+x+1=0 【答案】D【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac，分别计算四个选项方程的Δ值，根据Δ与0的大小关系判断根的情况．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式Δ=【详解】解：选项A：xa=1，b=0，c=1，Δ=选项B：xa=1，b=−2，c=1，Δ=选项C：xa=1，b=1，c=1，Δ=选项D：xa=1，b=1，c=−1，Δ=故选：D．21．（2025·四川广安）关于x的一元二次方程x2+3x+1=0的根的情况是（A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．无法确定【答案】B【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可．【详解】解：对于方程x2Δ由于Δ=5>0故选：B22．（2025·云南）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（

）A．60001+x2=6200C．60001+2x=6200 【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键．根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以1+x2【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为x，由题意得：60001+x故选：A．23．（2025·四川遂宁）已知关于x的一元二次方程x2−3x+m+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（A．m<54 B．m≥54 C．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有实数根对应方程的判别式非负是解题的关键；根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，解不等式即可确定m的取值范围．【详解】解：对于方程x2−3x+m+1=0，其判别式为：方程有实数根需满足Δ≥0，即：5−4m≥0解得m≤5故选：D．24．（2025·四川内江）若关于x的一元二次方程a−1x2+2x+1=0有实数根，则实数aA．a≤2 B．a<2 C．a≤2且a≠1 D．a<2且a≠1【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c【详解】解：∵关于x的一元二次方程a−1x∴二次项系数a−1≠0，即a≠1．Δ=22−4⋅a−1解得a≤2．∴a≤2且a≠1故选：C．25．（2025·四川凉山）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（

）A．560B．560+560C．560+560D．560+560【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁5601+x吨，则三月份生产钢铁560【详解】解：设月平均增长率为x，由题意得，560+5601+x故选：C．26．（2025·重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（

）A．10% B．20% C．22%【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数=该景区2022年接待游客人次数×(1+该景区这两年接待游客的年平均增长率)2，可列出关于x【详解】解：设年平均增长率为x，可得方程25(1+x)解得x=0.2或x=−2.2（舍去负值），所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%故选：B27．（2024·江苏淮安）若关于x的一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（A．k≥4 B．k>4 C．k≤4 D．k<4【答案】D【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到Δ>0【详解】解：∵一元二次方程x2∴Δ=−42故选D．28．（2024·四川自贡）关于x的方程x2+mx−2=0根的情况是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．通过计算一元二次方程的判别式，判断其符号即可确定根的情况．【详解】解：Δ∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．29．（2024·青海西宁）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽xm的道路，中间是宽2xm的道路．如果阴影部分的总面积是600mA．x2−41x+180=0 C．x2−41x+30=0 【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为60−2xm，宽为22−2xm的矩形，结合阴影部分的总面积是600m【详解】解：∵矩形场地ABCD的长为长60m，宽22m，且所修建停车位的两侧是宽xm的道路，中间是宽∴停车位（即阴影部分）可合成长为60−2xm，宽为22−2x根据题意，得60−2x22−2x化简，得x2故选：A．30．（2024·山东德州）把多项式x2−3x+4进行配方，结果为（A．x−32−5 C．x−322【答案】B【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．根据利用完全平方公式的特征求解即可；【详解】解：x==故选B．31．（2024·山东日照）已知，实数x1,x2x1≠x2是关于xA．1 B．−1 C．12 D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若x1，x2是该方程的两个实数根，则【详解】解：∵x1,x2∴x∵1∴x∴−2∴−2k=2，解得k=−1，经检验，k=−1是原分式方程的解，故选：B．32．（2024·江苏南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（A．72001+x2=8450C．84501−x2=7200【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷72001+xkg，则2023年平均每公顷产【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产72001+x则2023年平均每公顷产72001+x根据题意有：72001+x故选：A．33．（2024·内蒙古）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（

）A．x⋅60−x2=864 B．x60+x=864 【答案】C【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为60−x步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得．【详解】解：由题意可知，宽为60−x步，则可列方程为x60−x故选：C．34．（2024·山东济南）若关于x的方程x2−x−m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（A．m<−14 B．m>−14 C．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①【详解】解：∵关于x的方程x2∴Δ=解得：m>−1故选：B．35．（2024·山东东营）用配方法解一元二次方程x2−2x−2023=0时，将它转化为(x+a)2=b的形式，则A．−2024 B．2024 C．−1 D．1【答案】D【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．用配方法把x2−2x−2023=0移项，配方，化为【详解】解：∵x2移项得，x2配方得，x2即x−12∴a=−1，b=2024，∴ab故选：D．36．（2024·江苏宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c=ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★A．m<14 B．m>14 C．m>14且【答案】D【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到mx2+x+1=0，再由有两个不相等的实数根得到Δ【详解】解：∵【x,x+1】★∴x⋅mx+x+1=0，即mx∵关于x的方程【x,x+1∴Δ=12解得m<14且故选：D．37．（2024·山东潍坊）已知关于x的一元二次方程x2−mx−n2+mn+1=0，其中m,nA．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【答案】C【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若【详解】解：∵m−2n=3，∴m=2n+3，∴Δ==m==4=5>0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：C．38．（2024·甘肃兰州）关于x的一元二次方程9x2−6x+c=0有两个相等的实数根，则c=A．−9 B．4 C．−1 D．1【答案】D【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判别式Δ=b2【详解】解：∵关于x的一元二次方程9x∴Δ=解得：c=1，故选：D．39．（2024·山东泰安）关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有实数根，则实数kA．k<98 B．k≤98 C．【答案】B【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．根据一元二次方程有实数根的条件是Δ≥0【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x∴Δ=−32故选B．40．（2024·内蒙古通辽）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1mA．5m或6m B．2.5m或3m C．【答案】C【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为(10−2x+1)m【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为xm，则平行于墙的一边的长为(10−2x+1)m由题意得x(10−2x+1)=15，解得：x1=3，当x=3时，平行于墙的一边的长为10−2×3+1=5<5.5；当x=52时，平行于墙的一边的长为∴该矩形场地BC长为5米，故选C．41．（2024·黑龙江牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（

）A．20% B．22% C．25%【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．【详解】解：设每次降价的百分率为x，由题意，得：481−x解得：x1故选C．42．（2024·吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A．x−22=−1 C．x−22=1 【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A、x−22B、x−22=0，解得：C、x−22=1，x−2=±1，解得D、x−22=2，x−2=±2故选：B．43．（2024·内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程x2A．17或13 B．13或21 C．17 D．13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得x1=3，x2=7，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为【详解】解：由方程x2−10x+21=0得，x1∵3+3<7，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为3+7+7=17，故选：C．44．（2024·黑龙江大兴安岭地）关于x的一元二次方程m−2x2+4x+2=0有两个实数根，则mA．m≤4 B．m≥4 C．m≥−4且m≠2 D．m≤4且m≠2【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac的意义得到m−2≠0【详解】解：∵关于x的一元二次方程m−2x∴m−2≠0且Δ≥0即42解得：m≤4，∴m的取值范围是m≤4且m≠2．故选：D．45．（2024·黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是−2和−5．则原来的方程是(

)A．x2+6x+5=0 C．x2−5x+2=0 【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中x1+x【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1；∴x1又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是−2和−5．∴xA.x2+6x+5=0中，x1B.x2−7x+10=0中，x1C.x2−5x+2=0中，x1D.x2−6x−10=0中，x1故选：B．46．（2024·贵州）一元二次方程x2−2x=0的解是（A．x1=3，x2=1 B．x1=2，x2=0 C．【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．【详解】解∶x2∴xx−2∴x=0或x−2=0，∴x1=2，故选∶B．47．（2024·北京）若关于x的一元二次方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为（A．−16 B．−4 C．4 D．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式Δ=【详解】∵方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，∴Δ=∴4c=16，解得c=4．故选C．48．（2024·四川眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（

）A．670×1+2x=780 C．670×1+x2【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．设该村水稻亩产量年平均增长率为x，根据题意列出方程即可．【详解】解：根据题意得：670×1+x故选：B．49．（2024·云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（

）A．801−x2C．801−x=60 【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年×（1−平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：∵甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意可得801−x故选：B．二、填空题50．（2025·四川巴中）关于x的一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实根，则m=【答案】4【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实根，可得【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ解得m=4，故答案为：4．51．（2025·青海西宁）若关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k【答案】−1（答案不唯一）【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到Δ>0【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx∴Δ=−22∴k<1且k≠0，∴k的值可以为−1（答案不唯一）；故答案为：−1（答案不唯一）．52．（2025·江苏常州）若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m=【答案】1【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=0，即−22解得m=1．故答案为：1．53．（2025·四川广元）若关于x的一元二次方程a−1x2+a−1【答案】−1【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得a−12−4×−【详解】解：∵关于x的一元二次方程a−1x∴a−12∴a=−1，故答案为：−1．54．（2025·江苏宿迁）方程x2−2024x−2025=0的两个根分别是m、n，则【答案】−4048【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，根据根与系数的关系和方程的解得到m2−2024m−2025=0，n2−2024n−2025=0，【详解】解：∵方程x2−2024x−2025=0的两个根分别是∴m2−2024m−2025=0，n∴m2=2024m+2025，∴m===mn−=−2025−2024+1=−4048，故答案为：−4048．55．（2025·青海）若x=1是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则c的值为【答案】3【分析】此题考查了一元二次方程的解，把x=1代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．【详解】解：将x=1代入原方程x2−4x+c=0得：解得：c=3，故答案为：3．56．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x−1=0【答案】有两个不相等的实数根【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式Δ=b2【详解】解：∵一元二次方程2x∴a=2，b=1，c=−1，∴Δ=∴方程2x故答案为：有两个不相等的实数根．57．（2025·黑龙江绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程x2−2025x+1=0的两个根，则m+1【答案】2027【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可．【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2∴m+n=−−2025∴m+1故答案为：2027．58．（2025·江苏苏州）已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x−m=0【答案】−【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到x1+x【详解】解：∵x1,x2是关于∴x1∵x1∴x2故答案为：−359．（2025·四川眉山）已知方程x2−2x−5=0的两根分别为x1，x2，则【答案】−2【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到x1【详解】解：由题意，得：x1∴x=−5+2+1=−2；故答案为：−2．60．（2025·山东）若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是【答案】m>−4【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式>0，即可求解本题．【详解】解：∵方程x2∴Δ=解得：m>−4；故答案为：m>−4．61．（2025·四川广安）已知方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，则代数式a2【答案】29【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，可得：a+b=5，a2−5a=24，把【详解】解：∵方程x2−5x−24=0的两根分别为a和∴a+b=5，a2∴a∴===24+5=29．故答案为：29．62．（2025·上海）已知关于x的一元二次方程2x2+x−m=0没有实数根，则m【答案】m<−【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到Δ<0【详解】解：由题意，得：Δ=解得：m<−1故答案为：m<−163．（2025·四川达州）已知关于x的方程x2+mx−3=0的一个根是1，则m的值为【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将x=1代入原方程，得出关于m的一元一次方程，解方程，即可求解．【详解】解：∵关于x的方程x2+mx−3=0的一个根是∴1+m−3=0解得：m=2，故答案为：2．64．（2025·四川成都）从−1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0【答案】12/【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得Δ=b2−4a≥0a≠0，则b2≥4a【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax∴Δ=∴b2≥4a且列表如下：ab−112−1−1,1−1,211,−11,222,−12,1由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足b2≥4a且a≠0的结果数有1,−1，2,−1，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0故答案为：1265．（2025·四川泸州）若一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α, β【答案】10【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，先根据题意得到2α2−6α−1=0，α+β=−−62【详解】解：∵一元二次方程2x2−6x−1=0∴2α2−6α−1=0∴2α∴2α故答案为：10．66．（2025·贵州）一元二次方程x2−1=0的根是【答案】x1=1【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解．【详解】解：xxx1=1，故答案为：x1=1，67．（2025·山东东营）若关于x的方程k2−1x2+【答案】k≤−1/−1≥k【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键．分两种情况讨论：当k2−1=0时，方程为一元一次方程；当k2【详解】解：当k2−1=0且k+1≠0时，即k=1时，原方程化为当k=−1时，原方程无实数根，当k2−1=0且k+1=0时，即k=−1时，原方程化为当k2−1≠0，即k≠±1时，原方程因为方程无实根，所以△=k+12−4×解得：k<−1；综上，k的取值范围是k≤−1，故答案为：k≤−1．68．（2024·广东深圳）一元二次方程x2−3x+a=0的一个解为x=1，则a=【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得1−3+a=0，解方程即可得解．【详解】解：∵一元二次方程x2−3x+a=0的一个解为∴1−3+a=0，解得：a=2，故答案为：2．69．（2024·江苏南京）已知4−15是关于x的方程x−2ax2+bx+c=0（a, 【答案】24+【分析】本题考查一元二次方程的解，根据(x−2)(ax2+bx+c)=0中x−2=0或ax2+bx+c=0，再根据4−15【详解】解：关于x的方程(x−2)(ax2+bx+c)=0（a, b, c是有理数，即x=2或ax∵−b±b2∴−b2a=4，±∴4+15也是关于x的方程(x−2)(ax2+bx+c)=0（a,∴该方程的另外两根分别是2和4+15故答案为：2，4+1570．（2024·青海西宁）已知方程x2+2x−1=0的两根分别为a和b，则4a【答案】16【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则x1，根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b=−2，化简所求代数式，代入即可得到结果．【详解】解：∵方程x2+2x−1=0的两根分别为a和∴a+b=−2，∴4=4＝=4×=16．故答案为：16．71．（2024·山东德州）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a2【答案】2028【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得a2+2024a=4，【详解】解：∵a和b是方程x2∴a2+2024a−4=0，∴a2∴a==4−=4+2024=2028，故答案为：2028．72．（2024·江苏徐州）关于x的方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k值为【答案】k=±2【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当【详解】解：∵方程x2∴Δ=0，即k解得：k=±2，故答案为：k=±2．73．（2024·山东青岛）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为m．

【答案】2【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为xm，则长方形花坛的长为16−2xm，宽为【详解】解：设小路的宽为xm，则长方形花坛的长为16−2xm，宽为由题意得，16−2x12−2x同理得x2解得x=2或x=12（舍去），∴小路的宽为2m故答案为：2．74．（2024·江苏南通）已知关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：【答案】0（答案不唯一）【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0【详解】解∶∵一元二次方程x2∴Δ=解得k<1，∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根．故答案为：0（答案不唯一）．75．（2024·江苏镇江）若关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m=【答案】9【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则有Δ=0，得到关于【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=0，即62解得m=9．故答案为：9．76．（2024·广东）如果关于x的方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m=【答案】1【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】解：∵关于x的方程x2∴Δ=解得m=1．故答案为：1．77．（2024·四川巴中）已知方程x2−2x+k=0的一个根为−2，则方程的另一个根为【答案】4【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于−ba，即可得出关于【详解】解：设方程的另一个根为m，∵方程x2−2x+k=0有一个根为∴−2+m=2，解得：m=4．故答案为：4．78．（2024·广东广州）定义新运算：a⊗b=a2−b,a≤0,−a+b,a>0,例如：−2⊗4=(−2)2−4=0，2⊗3=−2+3=1【答案】−12【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵a⊗b=而x⊗1=−3∴①当x≤0时，则有x2解得，x=−1②当x>0时，−x+1=−3解得，x=综上所述，x的值是−12或故答案为：−12或79．（2024·河南）若关于x的方程12x2−x+c=0有两个相等的实数根，则【答案】12/【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式为Δ=b2−4ac，且当【详解】解∶∵方程12∴Δ=∴c=1故答案为：1280．（2024·湖南）若关于x的一元二次方程x2−4x+2k=0有两个相等的实数根，则k的值为【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则Δ=b【详解】解：由题意得：Δ=解得：k=2故答案为：281．（2024·新疆）若关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为【答案】k<【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，当Δ=【详解】解：∵一元二次方程x2∴Δ=∴k<9故答案为：k<9三、解答题82．（2025·黑龙江齐齐哈尔）解方程：x【答案】x1=4【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可．【详解】解：x2x2(x−4)(x−3)=0，x−4=0或x−3=0，∴x1=483．（2025·山东威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m【答案】1【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为xm，根据题意可知种植园的面积等于一个长为20−4xm，宽为【详解】解：设小路的宽度为xm由题意得，20−4x14−4x整理得2x解得x=12或答：小路的宽度为1284．（2025·四川南充）设x1，x2是关于x的方程(1)当x1=−1时，求x2(2)求证：(x【答案】(1)x2=4，(2)详见解析．【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0（1）把x1=−1代入方程求出（2）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可．【详解】（1）解：把x1=−1代入方程x−1x−2∴m=±6∴x−1x−2=6，即解方程得，x1=−1，故x2=4，（2）证明：方程x−1x−2=m∵Δ=4∴原方程有两个不相同实数根，由根与系数的关系得x1+x∵x1∵−m∴x185．（2024·四川攀枝花）解方程：(x+1)2【答案】x1=1【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．先移项，再用直接开平方法求解即可．【详解】解：x+12(x+1)2x+1=2或x+1=−2，解得：x1=1或∴原方程的根为：x1=1，86．（2024·西藏）列方程（组）解应用题某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．(1)求该商场投入资金的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率10(2)预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．（1）设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金．【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为x，由题意得：20×1+x解得：x1=0.1=10%∴该商场投入资金的月平均增长率10%（2）解：24.2×1+10∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元．87．（2024·山东淄博）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为25(2)购买的这种健身器材的套数为200套【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，由题意得：32(1+x)解得：x1答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%（2）解：∵1600×100=160000<240000元，∴购买的这种健身器材的套数大于100套，设购买的这种健身器材的套数为m套，由题意得：m1600−整理得：m2解得：m1当m=300时，售价=1600−300−100答：购买的这种健身器材的套数为200套．88．（2024·广东广州）关于x的方程x2(1)求m的取值范围；(2)化简：1−m【答案】(1)m>3(2)−2【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．【详解】（1）解：∵关于x的方程x2∴Δ=解得：m>3；（2）解：∵m>3，∴1−==−2；89．（2024·上海）解方程组：x2【答案】x=4，y=1或者x=−6，y=6．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：x2由②得：x=6−2y代入①中得：6−2y236−24y+4y6y6y6解得：y=1或y=6，当y=1时，x=6−2×1=4，当y=6时，x=6−2×6=−6，∴方程组的解为x=4,y=1或者x=−6,y=6．90．（2024·四川南充）已知x1，x2是关于x的方程(1)求k的取值范围．(2)若k<5，且k，x1，x2都是整数，求【答案】(1)k>1(2)2【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“x1，x2是关于x的方程x2−2kx+k（2）根据k<5，结合（1）所求k的取值范围，得出整数k的值有2，3，4，分别计算讨论整数k的不同取值时，方程x2−2kx+k2−k+1=0的两个实数根x【详解】（1）解：∵x1，x2是关于x的方程∴Δ>0∴Δ=解得：k>1；（2）解：∵k<5，由（1）得k>1，∴1<k<5，∴整数k的值有2，3，4，当k=2时，方程为x2解得：x1=1，当k=3时，方程为x2解得：x=3±2当x=4时，方程为x2解得：x=4±3综上所述，k的值为2．91．（2024·四川遂宁）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为x1,x2，且【答案】(1)证明见解析；(2)m1=1或【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明Δ>0（2）由题意可得，x1+x【详解】（1）证明：Δ=∵无论m取何值，m2∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1,x∴x1+x∴x1解得：m1=1或92．（2025·四川泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．(1)求乙种商品每