人教版2024-2025年九年级数学2年全国中考真题汇编 5.2 矩形、菱形与正方形 第1课时 矩形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页5.2矩形、菱形与正方形第1课时矩形一、选择题1．（2024·辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°2．（2024·西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（

A．132 B．6013 C．1253．（2024·河北）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D4．（2025·四川南充）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（

）A．12 B．83 C．16 D．5．（2025·辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=3，AE=4，则CE的长为（）A．1 B．5 C．22 D．106．（2025·四川泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等7．（2024·甘肃）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=60°，AB=2，则AC的长为（）A．6 B．5 C．4 D．38．（2024·四川成都）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（

）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠ACB=∠ACD9．（2025·四川德阳）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（

）A．AB∥CD B．AB=BC C．∠B=∠D D．AC=BD10．（2024·四川泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（

）A．∠A=90° B．∠B=∠CC．AC=BD D．AC⊥BD11．（2025·黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的速度向点D运动．点P，点H和点A．52 B．4 C．103 12．（2024·江苏南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为（

）A．41° B．51° C．49° D．59°13．（2024·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为−4,0，点C的坐标为0,2．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′BA．−4,−2 B．−4,214．（2024·重庆）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD=4，则图中阴影部分的面积为（

）A．32−8π B．C．32−4π D．15．（2025·四川攀枝花）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形16．（2024·四川眉山）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（

A．74 B．73 C．3417．（2024·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC，连接DE,AF,DE与AF相交于点G，连接BG．若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为（

A．1010 B．31010 C．118．（2024·山东淄博）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．519．（2025·甘肃兰州）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB=35°，则A．95° B．100° C．110° D．145°20．（2025·广东）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB=8，BC=12，则tan∠GCF的值是（

A．1010 B．13 C．31021．（2025·黑龙江绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的面积是（

）A．25 B．253 C．255 22．（2024·山东东营）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（

）

A．O为矩形ABCD两条对角线的交点 B．EO=FOC．AE=CF D．EF⊥BD23．（2024·黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′A．15 B．5+55 C．10+5224．（2024·四川德阳）宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形．(AB<BC)，点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（A．3 B．2 C．1 D．025．（2024·四川泸州）宽与长的比是5−12的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点EA．55 B．12 C．35二、填空题26．（2025·湖北）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是．27．（2025·江苏徐州）如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点．若AB=3，BC=4，则四边形EFGH的周长为．28．（2024·四川德阳）如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，点F是GD的中点，点P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是．29．（2024·四川内江）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC=

30．（2024·山东威海）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E．若BM=3，BC′31．（2025·黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AD=6，∠CAD=60°，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为．32．（2025·天津）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E在边BC上，且EC=2BE．（1）线段AE的长为；（2）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN=75°，则线段MN的长为．33．（2025·四川宜宾）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上的点M处．若A、M、E三点共线，则ADDC34．（2025·江西）如图，在矩形ABCD纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°35．（2025·四川内江）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是．36．（2025·甘肃甘南）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠使点D与点B重合，点C的对应点是点C′．若AB=4，EF=237．（2024·江苏徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若AB=4，BC=6，则CF=．38．（2024·四川雅安）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB=6，BC=8，则cos∠ABF的值是39．（2025·江苏宿迁）一块梯形木板ABCD，AD∥BC，∠BCD=90∘，AD=440．（2025·山西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE．点F在BC的延长线上，连接DF若DF=DC，则线段CF的长为41．（2024·江苏淮安）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，AB=EF,CD=GH,BC=FG,BC∥FG,AB∥CD∥GH∥EF42．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，点A0,−2，B1,0，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是43．（2024·四川南充）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE=30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB=2，则DF的长为．

44．（2025·浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是AD上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若45．（2024·海南）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别在边AD、BC上，将纸片ABCD沿EF折叠，使点D的对应点D′在边BC上，点C的对应点为C′，则DE的最小值为，46．（2024·四川巴中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB=3，BC=4，则点F到BD的距离为．47．（2024·黑龙江齐齐哈尔）已知矩形纸片ABCD，AB=5，BC=4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B′，把纸片展平，连接BB′，CB′，当△BC48．（2024·黑龙江大兴安岭地）矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将AB沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC长为．49．（2025·山东淄博）已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q．若∠FQP=45°，则EF的长为．50．（2025·贵州）如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE=2CF,FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF=2,∠ABD=30°，则HG的长为．51．（2024·黑龙江绥化）在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点E在直线AD上，且DE=2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是52．（2024·山东济南）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2,AD=2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若三、解答题53．（2025·江苏镇江）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点P处，墙脚O离竹根A处3尺远．请你解答：折断处B离地面多高？54．（2024·陕西）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF．求证：AF=DE．55．（2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE,DF，∠BAE=∠CDF．(1)求证：△ABE≌△DCF．(2)当AB=12，DF=13时，求BE的长．56．（2024·江苏淮安）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F在BD上，BE=DF．求证：△ABE≌△CDF．57．（2024·湖南长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90°．(1)求证：AC=BD；(2)点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE．若AB=6，BC=8，求CE的长及tan∠CEO58．（2025·山东烟台）如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：(1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若BE交AD于点F，AB=1，BC=2，求AF的长．59．（2025·江苏南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G．(1)求证：AG=2GC；(2)设∠BCD,∠BDC的角平分线交于点I．①当AB=6,BC=8时，求点I到BC的距离；②若AB+AC=2BC，作直线GI分别交BD,CD于E,F两点，求EFBC60．（2025·广东广州）宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片ABCD，长AD=5+1．如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为(1)求AB的长；(2)求证：四边形CDEF是黄金矩形；(3)如图2，点G为AE的中点，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q．四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．61．（2024·甘肃兰州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若BC=4,CE=3，求EF的长．62．（2025·江苏常州）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=2，AD=1．(1)若△ABD是等腰三角形，则BD=_______；(2)已知OB=OD，AC=BD．①若OA=OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；②如图，在△ACD中，CD2=A63．（2025·青海）如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；(2)若AB=AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明．64．（2025·北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，(1)求证：四边形DFCG是矩形；(2)若∠B=45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长．65．（2024·江苏南京）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD=BC，对角线AC是⊙O的直径．求证：四边形ABCD是矩形．

66．（2024·吉林长春）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，O是边AB的中点，∠AOD=∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．67．（2024·广东广州）如图，Rt△ABC中，∠B=90°(1)尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．68．（2024·贵州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，①AB∥CD，②

(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；(2)在（1）的条件下，若AB=3，AC=5，求四边形ABCD的面积．69．（2024·新疆）如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点．(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)当BD=CE时，求证：▱DEFG是矩形．70．（2024·四川遂宁）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．(1)实践与操作

①任意作两条相交的直线，交点记为O；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD．于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该判定定理是：______．(2)猜想与证明通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD．求证：四边形ABCD是矩形．

71．（2025·云南）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD=OB．连接AD, CD，记AB=a, BC=b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若l2−l72．（2025·江苏淮安）已知：如图，矩形ABCD．(1)尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）所作图形中，若AB=3，BC=5，求CE的长．73．（2025·江苏无锡）如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE=CF，连接AE、DF．求证：(1)△ABE≌△DCF；(2)∠EAD=∠FDA．74．（2025·山东威海）（1）如图①，将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．判断四边形EFGH的形状，并说明理由；（2）如图②，已知▱ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ，其中，点M在AD上，点N在AB上，点P在BC上，点Q在CD上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹）75．（2025·四川南充）矩形ABCD中，AB=10,AD=17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处．【初步感知】（1）如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP=FC．【深入探究】（2）如图2，点M在线段CD上，CM=4．点E在移动过程中，求PM的最小值．【拓展运用】（3）如图2，点N在线段AD上，AN=4．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长．

76．（2025·江苏宿迁）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=33，点M是边BC上一个动点，点N在射线CD上，∠MAN=60∘．线段AM的垂直平分线分别交直线AB、AM、AN、CD于点E、F(1)直接写出∠ACB=___________°，EHAM(2)当BM=1时，求EF+GH的值；(3)如图2，连接MG并延长交直线CD于点P．①求证：MG=PG；②如图3，过点P作直线EH的垂线，分别交直线EH、AN于点T、Q，连接DQ，求线段DQ的最小值．

参考答案与解析一、选择题1．（2024·辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．由矩形ABCD得到AD∥BC，继而得到∠AEB=∠EBC，而△EBC是等边三角形，因此得到∠AEB=∠EBC=60°．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵△EBC是等边三角形，∴∠EBC=60°，∴∠AEB=60°，故选：C．2．（2024·西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（

A．132 B．6013 C．125【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段CP的最小值．连接CP，根据矩形的性质可知：DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，∴AB=A连接CP，如图所示：∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，∠ACB=90°，∴∠PDC=∠PEC=∠ACB=90°，∴四边形DPEC是矩形，∴DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴此时DE=CP=5×12故选：B．3．（2024·河北）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设Aa,b，AB=m，AD=n，可得Da,b+n，Ba+m,b【详解】解：设Aa,b，AB=m，AD=n∵矩形ABCD，∴AD=BC=n，AB=CD=m，∴Da,b+n，Ba+m,b，∵ba+m<b∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；故选：B．4．（2025·四川南充）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（

）A．12 B．83 C．16 D．【答案】B【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得∠ACB=60°，然后解直角三角形可得AB,AC,BF,DE，从而得到AF=23【详解】解：如图，∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2，∴∠BCD=120°,∠A=90°，BC=CD=2，∴∠ACB=60°，∴AB=BC×sin∠ACB=2×3同理BF=3∴AF=23∴矩形的面积是AE×AF=4×23故选：B．5．（2025·辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=3，AE=4，则CE的长为（）A．1 B．5 C．22 D．10【答案】D【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出BE的长，进而得到BC的长，推出AD的长，进而求出DE的长，再利用勾股定理求出CE的长即可．【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，∴BE=A∴BC=BE=5，∴AD=5，∴DE=AD−AE=1，∴CE=C故选D.6．（2025·四川泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等【答案】A【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别．根据矩形和菱形的性质判断即可．【详解】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；故选：A．7．（2024·甘肃）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=60°，AB=2，则AC的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根据矩形ABCD的性质，得OA=OB=OC=OD=12AC，结合∠ABD=60°，得到△AOB是等边三角形，结合AB=2本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．【详解】根据矩形ABCD的性质，得OA=OB=OC=OD=1∵∠ABD=60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB=2，∴OA=OB=AB=1解得AC=4．故选C．8．（2024·四川成都）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（

）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠ACB=∠ACD【答案】C【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AC=BD，AD∥BC，则∴选项A中AB=AD不一定正确，故不符合题意；选项B中AC⊥BD不一定正确，故不符合题意；选项C中AC=BD一定正确，故符合题意；选项D中∠ACB=∠ACD不一定正确，故不符合题意，故选：C．9．（2025·四川德阳）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（

）A．AB∥CD B．AB=BC C．∠B=∠D D．AC=BD【答案】D【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形ABCD成为矩形．【详解】解：选项A：∵平行四边形本身就有AB∥CD的性质，∴此条件不能使平行四边形ABCD变为矩形，该选项错误．选项B：∵AB=BC，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件，∴此条件不能使平行四边形ABCD变为矩形，该选项错误．选项C：∵平行四边形本身就有∠B=∴此条件不能使平行四边形ABCD变为矩形，该选项错误．选项D：∵矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形ABCD中AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，该选项正确．故选：D．10．（2024·四川泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（

）A．∠A=90° B．∠B=∠CC．AC=BD D．AC⊥BD【答案】D【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可．【详解】解：如图，A、∠BAD=90°，能判定▱ABCD为矩形，本选项不符合题意；B、∵∠ABC=∠BCD，∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC=∠BCD=90°，能判定▱ABCD为矩形，本选项不符合题意；C、AC=BD，能判定▱ABCD为矩形，本选项不符合题意；D、AC⊥BD，能判定▱ABCD为菱形，不能判定▱ABCD为矩形，本选项符合题意；故选：D．11．（2025·黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的速度向点D运动．点P，点H和点A．52 B．4 C．103 【答案】D【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，求得PH=20−3t，根据等腰三角形的性质得到PE=10−32t【详解】解：作QE⊥AB于点E，如图，∵矩形ABCD，∴四边形BCQE是矩形，∴CQ=BE，由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，∴PH=20−AP−BH=20−3t，∵QP=QH，QE⊥AB，∴PE=HE=1∵CQ=BE，BE=EH+HB=10−∴4t=10+1解得t=20故选：D．12．（2024·江苏南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为（

）A．41° B．51° C．49° D．59°【答案】C【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点B作BE∥a，得到BE∥a∥b，推出∠ABC=∠1+∠2，进行求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，过点B作BE∥a，∵a∥b，∴BE∥a∥b，∴∠1=∠ABE,∠2=∠CBE，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠1+∠2，∵∠2=41°，∴∠1=90°−41°=49°；故选C．13．（2024·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为−4,0，点C的坐标为0,2．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′BA．−4,−2 B．−4,2【答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到OA=4，OC=2，再由矩形的性质可得AB=OC=2，∠ABC=90°，由旋转的性质可得【详解】解：∵点A的坐标为−4,0，点C的坐标为0,2，∴OA=4，∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC=2，∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA∴OA′=OA=4∴A′∴点B′的坐标为2,4故选：C．14．（2024·重庆）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD=4，则图中阴影部分的面积为（

）A．32−8π B．C．32−4π D．【答案】D【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得AC=2AD=8，由勾股定理得出AB=43【详解】解：连接AC，根据题意可得AC=2AD=8，∵矩形ABCD，∴AD=BC=4，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB=∴图中阴影部分的面积=4×43故选：D．15．（2025·四川攀枝花）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形【答案】A【分析】本题主要考查矩形的判定，中点四边形，三角形中位线，设AC交BD于点Q，EF交BD于点P，结合三角形中位线证出四边形EFGH是平行四边形，再结合∠FEH=∠FPD=∠CQD=90°，证出结果即可．【详解】解：设AC交BD于点Q，EF交BD于点P，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

∴EF∥AC，且EF=12∴EF∥GH，且EF=GH∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴∠FEH=∠FPD=∠CQD=90°，∴四边形EFGH是矩形，故选：A．16．（2024·四川眉山）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（

A．74 B．73 C．34【答案】A【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质，可求得AF=AD=8，EF=DE，从而求得BF，CF，在Rt△EFC中，由勾股定理，得E【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，DC=AB=6，∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，∴AF=AD=8，EF=DE，∴BF=A∴CF=BC−BF=8−27在Rt△EFCCE=DC−DE=6−EF，由勾股定理，得EF∴EF∴EF=32−8∴CE=6−32−8∴cos故选：A．17．（2024·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC，连接DE,AF,DE与AF相交于点G，连接BG．若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为（

A．1010 B．31010 C．1【答案】A【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点G作GH⊥BC，证明△AGD∽△FGE，得到FGAG=EFAD=13，再证明△GHF∽△ABF【详解】解：∵矩形ABCD，BE=EF=FC，AB=4，BC=6，∴AD=BC=6,AD∥BC，BE=EF=FC=2，∴△AGD∽△FGE，BF=4，∴FGAG∴FG过点G作GH⊥BC，则：GH∥AB，∴△GHF∽△ABF，∴FHBF∴FH=14BF=1∴BH=BF−FH=3，∴BG=1∴sin∠GBF=故选A．18．（2024·山东淄博）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．5【答案】A【分析】连接AC交MN于点F，设AB=2m，则BC=2AB=4m，利用勾股定理求得AC=AB2+BC2=25m，由折叠得到AM=CM，MN垂直平分AC，则AF=CF=【详解】解：连接AC交MN于点F，设AB=2m，则BC=2AB=4m，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴AC=∵将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处，∴点C与点A关于直线MN对称，∴AM=CM，MN垂直平分AC，∴BM=BC−CM=4m−AM，∠AFM=90°，AF=CF=1∵AB∴2m∴AM=5∴MF=∴tan∠AMN=故选：A．【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．19．（2025·甘肃兰州）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB=35°，则A．95° B．100° C．110° D．145°【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得∠CBD=∠ADB=35°，利用斜边中线的性质求得PB=PF，求得∠CBD=∠PFB=35°，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵∠ADB=35°，∴∠CBD=∠ADB=35°，∵∠ABC=90°，P为EF的中点，∴PB=PF=1∴∠CBD=∠PFB=35°，∴∠BPF=180°−35°−35°=110°，∴∠DPE=∠BPF=110°，故选：C．20．（2025·广东）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB=8，BC=12，则tan∠GCF的值是（

A．1010 B．13 C．310【答案】B【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明△AGD∽△FGE，得到EGED=14，然后过点G作GH⊥BC，得到△GHE∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例分别求出【详解】解：∵矩形ABCD，E，F是BC边上的三等分点，AB=8，BC=12，∴AD=BC=12，CD=BC=8，AD∥BC，BE=EF=FC=4，EC=8，∴△AGD∽△FGE，∴EGDG∴EGED过点G作GH⊥BC，则GH∥CD，∴△GHE∽△DCE，∴EHEC∴EH=14EC=∴CH=CE−EH=8−2=6，∴tan∠GCF=故选：B．21．（2025·黑龙江绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的面积是（

）A．25 B．253 C．255 【答案】B【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确画出图形并灵活运用相关知识是解题的关键．如图：根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA=OB=5，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据矩形的面积公式求解即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=1∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，由勾股定理得，BC=A∴矩形的面积=BC⋅AB=53故选：B．22．（2024·山东东营）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（

）

A．O为矩形ABCD两条对角线的交点 B．EO=FOC．AE=CF D．EF⊥BD【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．由矩形的性质得出AD=BCAD∥BC，再由平行线的性质得出∠OBF=∠ODE，【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BCAD∥∴∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED，A、∵O为矩形ABCD两条对角线的交点，∴OB=OD，在△BOF和△DOE中，∠OFB=∠OED∠OBF=∠ODE∴△BOF≌△DOEAAS故此选项不符合题意；B、在△BOF和△DOE中，∠OFB=∠OED∠OBF=∠ODE∴△BOF≌△DOEAAS故此选项不符合题意；C、∵AE=CF，∴BC−CF=AD−AE，即BF=DE，在△BOF和△DOE中，∠OFB=∠OEDBF=DE∴△BOF≌△DOEASA故此选项不符合题意；D、∵EF⊥BD，∴∠BOF=∠DOE=90°，两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定△BOF≌△DOE，故此选项符合题意；故选：D．23．（2024·黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′A．15 B．5+55 C．10+52【答案】B【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点N′的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合AAS证明△AMN≌△GMN′，推出MG=AM=5，得到点N′在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，作点M关于直线EF的对称点M′，连接M′B【详解】解：过点N′作EF∥AB，交AD、BC于E、F，过点M作MG⊥EF∵矩形ABCD，∴AB∥∴AB∥∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，∴∠A=∠MGN由旋转的性质得∠NMN′=90°∴∠AMN=90°−∠NMG=∠GMN∴△AMN≌△GMN∴MG=AM=5，∴点N′在平行于AB，且与AB作点M关于直线EF的对称点M′，连接M′B交直线EF于点N′，此时∵BM=12AB=5∴BM+BM故选：B．24．（2024·四川德阳）宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形．(AB<BC)，点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设AB=a，BC=b，假设存在点P，且AP=x，则PD=b−x，利用勾股定理得到BP2=AB2+AP2=【详解】解：如图所示，四边形ABCD是黄金矩形，AB<BC，ABBC设AB=a，BC=b，假设存在点P，且AP=x，则PD=b−x，在Rt△ABP中，B在Rt△PDC中，P∵PB⊥PC，∴BC2=B整理得x2∵Δ=b2−4ac=b∴Δ=∵25−5<0，∴Δ=∴方程无解，即点P不存在．故选：D．25．（2024·四川泸州）宽与长的比是5−12的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点EA．55 B．12 C．35【答案】A【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．设宽，根据比例表示长，证明△ADE≌△CB′E【详解】解：设宽为x，∵宽与长的比是5−1∴长为：x5由折叠的性质可知，AD=BC=B在△ADE和△CB∠AED=∠AEB∴△ADE≌△CB∴AE=CE，∴AE+DE=DC=5设DE=y，在Rt△ADE中，x变形得：yxAD=2y，AE=y∴sin∠DAE=故选A．二、填空题26．（2025·湖北）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是．【答案】2m【分析】该题考查了列代数式，根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长×宽即可解答．【详解】解：根据题意可得矩形的面积是2m，故答案为：2m．27．（2025·江苏徐州）如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点．若AB=3，BC=4，则四边形EFGH的周长为．【答案】10【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，先证明∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AH=DH=BF=CF=2，AE=BE=DG=CG=3【详解】解：∵矩形ABCD，AB=3，BC=4，∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，∴AH=DH=BF=CF=2，AE=BE=DG=CG=3∴EH=A同理可得：EF=FG=HG=5∴四边形EFGH的周长为4×5故答案为：1028．（2024·四川德阳）如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，点F是GD的中点，点P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是．【答案】2【分析】本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个三角形的面积是解题的关键．作辅助线如图，设BC=a，CD=b，根据相关图形的性表示出三角形的面积即可得到答案．【详解】解：如图，找BC，AD中点为M，N，连接MN，GN，连接PD，FC，过F作FR⊥CD交CD的延长线于R点，延长RF，与GN交于Q点．设BC=a，CD=b，∵△PBC是以BC为底的等腰三角形，∴P在MN上，∴P到CD的距离即为12∴S△PCD在△GQF和△DRF中GF=DF∠GFQ=∠DFR∴△GQF≌△DRFAAS∴QF=RF=1∴S△FCD∴S△PCD故答案为：2．29．（2024·四川内江）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC=

【答案】43/【分析】先根据矩形的性质得BC=AD=5，CD=AB=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC−BF=1，设CE=x，则DE=EF=3−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+1【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=5，CD=AB=3，∠B=∠C=90°，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=5，EF=DE，∴在Rt△ABF中，BF=∴CF=BC−BF=5−4=1，设CE=x，则EF=DE=CD−CE=3−x∵在Rt△ECF中，C∴x2+1∴CE=4∴tan∠EFC=故答案为：4【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义．30．（2024·山东威海）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E．若BM=3，BC′【答案】3【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出C′M=CM=5，然后证明△BC′M≌△AEC′，得到BC′=AE=4，【详解】解：在Rt△C′由折叠可得C′M=CM=5，又∵ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴∠BC∴∠BC又∵AC∴△BC∴BC′=AE=4∴AB=CD=C′D∴DE=AD−AE=8−4=4，D′设D′N=DN=a，则在Rt△D′EN中，解得：a=3故答案为3231．（2025·黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AD=6，∠CAD=60°，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为．【答案】3或9【分析】本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，根据题意画出示意图，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，当点P在AC上方时，由勾股定理求出CD=63，进而得到CE=12CD=33，由点C关于直线EF的对称点P，得到PE=CE=33，∠EGC=∠EGP=90°，求出∠CEH=∠CAD=60°，进而得到∠PEC=120°，再求出∠CPE=∠PCE=12180°−∠PEC=30°，证明△CEF是等腰三角形，在Rt△CEH中，解直角三角形求出CH=92，进而求解；当点P在AC【详解】解：如图所示，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，当点P在AC上方时，∵在矩形ABCD中，AD=6，∠CAD=60°，∴∠ACD=30°，∴AC=2AD=12，∴CD=A∵点E是边CD的中点，∴CE=1∵点C关于直线EF的对称点P，∴PE=CE=33，∠EGC=∠EGP=90°∵PH⊥AC，∴∠EHC=∠EHF=90°，∵∠ACD=30°，∠ACD+∠CEH=∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CEH=∠CAD=60°，∴∠PEC=120°，∵PE=CE，∴∠CPE=∠PCE=1∵∠PEG=∠FEH，∠EGP=∠EHF=90°，∴∠CPE=∠EFC=30°，∴△CEF是等腰三角形，∴CH=FH=1在Rt△CEH中，CE=33，∴CH=CE·cos∴CF=2CH=9；如图，当点P在AC下方时，∵PE⊥AC，∴∠CHE=90°，∵∠ACD=30°，∴∠CEP=60°，CH=CE·cos由对称的性质得PE=CE，∴△CEP是等边三角形，∴∠P=60°，CE=PC=PE=33∴∠HEF=30°，EH=PH=1∴HF=EH·tan∴CF=CH−HF=3；综上，CF的长为3或9．故答案为：3或9．32．（2025·天津）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E在边BC上，且EC=2BE．（1）线段AE的长为；（2）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN=75°，则线段MN的长为．【答案】515【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形的性质与勾股定理是解题的关键．（1）求出BE=1，再利用勾股定理即可求出答案；（2）过点M作MH⊥EF于H，由矩形的性质得到CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90°，证明△ABE≌△ECFSAS，得到EF=EA，∠BAE=∠CEF，则可证明∠AEF=90°，可得∠EAF=∠EFA=45°，则∠MNF=180°−∠NFM−∠NMF=60°；由勾股定理得AF=10，则FM=AF【详解】解：（1）∵BC=3，EC=2BE，∴BC=BE+CE=BE+2BE=3，∴BE=1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=90°，∴AE=A故答案为：5；（2）如图所示，过点M作MH⊥EF于H，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=3，∵F为CD的中点，∴DF=CF=1∴CF=BE，又∵CE=2BE=2=AB，∴△ABE≌△ECFSAS∴EF=EA，∠BAE=∠CEF，∴∠BEA+∠CEF=∠BEA+∠BAE=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=∠EFA=45°，∴∠MNF=180°−∠NFM−∠NMF=60°；在Rt△ADF中，由勾股定理得AF=∵M为AF的中点，∴FM=AF∴MH=MF⋅sin∴MN=MH故答案为：15333．（2025·四川宜宾）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上的点M处．若A、M、E三点共线，则ADDC【答案】2【分析】此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到CE=BE=ME，再根据等角对等边推出AD=AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=A【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC,AB=CD,∠ABC=90°，∵EF∥∴∠CEF=∠CBD，∠FEM=∠EMB，由翻折得∠CEF=∠FEM，MF=CF，∴∠EMB=∠EBM，∴CE=BE=ME，∵AD∥∴∠ADM=∠EBM，∴∠ADM=∠AMD，∴AD=AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，AE=AM+EM=3x，∴AB=A∴ADCD故答案为2234．（2025·江西）如图，在矩形ABCD纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°【答案】82.5°或52.5°或37.5°【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论AB′与AB，AD的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出【详解】解：①当AB′与AB的夹角为即∠BAB∵∠BAB′=15°∴∠BAP=∠B∵∠ABP=90°,∴∠APB=90°−7.5°=82.5°;②当AB′与AD的夹角为即∠BAB∵∠BAB′=75°∴∠BAP=∠B∵∠ABP=90°,∴∠APB=90°−37.5°=52.5°;或∠BAB∵∠BAB′=105°∴∠BAP=∠B∵∠ABP=90°,∴∠APB=90°−52.5°=37.5°;综上，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°．故答案为：82.5°或52.5°或37.5°．35．（2025·四川内江）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是．【答案】5【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接BD,BF，先由勾股定理求得BD=10，则BF≤BD=10，再由三角形中位线定理得到GH=12BF≤【详解】解：连接BD,BF，∵矩形ABCD中，AB=8,AD=6，∴∠A=90°，∴BD=A∴BF≤BD=10，∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，∴GH是△EBF的中位线，∴GH=1∴当点F,D重合时，GH取得最大值为5，故答案为：5．36．（2025·甘肃甘南）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠使点D与点B重合，点C的对应点是点C′．若AB=4，EF=2【答案】8【分析】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握图形折叠的性质，矩形的性质，直角三角形勾股定理是解题的关键．过点F作FM⊥AD交于点M，由折叠可知，BE=ED，CD=C′B，CF=C′F，先求出RM=2，再设CF=x，则C′F=x，BE=2+x，在Rt△C′BF中，【详解】解：过点F作FM⊥AD交于点M，由折叠可知，BE=ED，CD=C′B∵AB=4，∴BC′=4∵EF=25∴EM=E设CF=x，则C′F=x，∵∠在Rt△C′在Rt△ABE中，AE=∵AE+EM=BF，∴(2+x)2解得x=3，经检验符合题意，∴BF=5，CF=3，∴AD=8，故答案为：8．37．（2024·江苏徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若AB=4，BC=6，则CF=．【答案】78/【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于x的方程．由矩形的性质推出CD=AB=4，∠C=90°，由线段中点定义得到CM=12BC=3，由折叠的性质得到：MF=DF，设FC=x，由勾股定理得到4−x2=【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，∠C=90°，∵M是BC中点，∴CM=1由折叠的性质得到：MF=DF，设FC=x，∴FD=4−x，∴MF=4−x，∵MF∴4−x2∴x=7∴FC=7故答案为：7838．（2024·四川雅安）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB=6，BC=8，则cos∠ABF的值是【答案】24【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证BF=DF，再利用Rt△ABF【详解】解：∵折叠，∴∠DBC=∠DBF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠ADB=∠DBC，∴∠DBF=∠ADB，∴BF=DF，∴AF=AD−DF=8−BF，在Rt△ABF中，A∴6解得BF=25∴cos故答案为：242539．（2025·江苏宿迁）一块梯形木板ABCD，AD∥BC，∠BCD=90∘，AD=4【答案】5【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作AH⊥BC于点H，先根据已知数据证明△AHB和△BFE是等腰直角三角形，再设EF=BF=x0<x<6，则CF=BC−BF=10−x，列出矩形桌面面积关于x【详解】解：如图，作AH⊥BC于点H，∵AD∥∴∠D=180°−∠BCD=90∵∠D=∠BCD=∠AHC=90∴四边形AHCD是矩形，∴HC=AD=4，AH=CD=6，∴BH=BC−CH=10−4=6=AH，∴△AHB是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵矩形EFCG中EF⊥CF，∴△BFE是等腰直角三角形，∴设EF=BF=x0<x≤6，则CF=BC−BF=10−x∴矩形桌面的面积S=EF⋅CF=x⋅10−x∴当x=5时，S取最大值，即当EF=5时，矩形桌面面积最大．故答案为：5．40．（2025·山西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE．点F在BC的延长线上，连接DF若DF=DC，则线段CF的长为【答案】18【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°，由三线合一性质可得CH=FH=12CF，然后证明四边形ABHD是矩形，所以AB=DH=8，AD=BH，又∠AEG=∠BEC，则可证△AEG∽△BEC，所以AGBC=AEBE，求出AG=125，然后通过平行线的性质和等角对等边可得CD=GD【详解】解：如图，延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°，∵DF=DC，∴CH=FH=1∵AD∥BC，∴∠B=∠GAE=90°，∠B+∠BAD=180°，∴∠B=∠BAD=∠BHD=90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AB=DH=8，AD=BH，∵∠AEG=∠BEC，∴△AEG∽△BEC，∴AGBC∵AB=8，AE=3，∴BE=5，∴AG4∴AG=12∵AD∥∴∠G=∠BCE，∵∠DCE=∠BCE，∴∠DCE=∠G，∴CD=GD，设CH=FH=x，则AD=BH=4+x，∴CD=GD=4+x+12由勾股定理得：CD∴x+3252即CH=9∴CF=2CH=18故答案为：18541．（2024·江苏淮安）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，AB=EF,CD=GH,BC=FG,BC∥FG,AB∥CD∥GH∥EF【答案】5.8【分析】本题考查了平面镶嵌，勾股定理的应用，矩形的判定和性质等知识构造出直角三角形是解题的关键．作CM⊥AB，设AB=adm，CD=bdm，由第一幅图可知，GF=BC=AB+CD，由第二幅图可知，DN=7−3=4dm，四边形CDNM是矩形，BM=10−(a+b)，再根据勾股定理求出a+b【详解】解：作CM⊥AB，设AB=adm，CD=bdm，由第一幅图可知，GF=BC=AB+CD，由第二幅图可知，DN=7−3=4dm，四边形CDNM则MN=CD=b，∠BMC=90°，则BM=10−AB−MN=10−(a+b)，∵CM∴(a+b)∴a+b=5.8，∴BC=5.8dm故答案为：5.8．42．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，点A0,−2，B1,0，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是【答案】4,−4【分析】由平移性质可知AB=CD，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，则有四边形ABCD是矩形，根据同角的余角相等可得∠OBA=∠EAD，从而证明△OAB∽△EDA，由性质得2ED=5DA=1EA，设EA=a，则ED=2a，DA=5a【详解】如图，过D作DE⊥y轴于点E，则∠AED=90°，由平移性质可知：AB=CD，AB∥∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，BC=AD=2AB，∴∠OAB+∠EAD=90°，∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBA=∠EAD，∵∠AOB=∠DEA=90°，∴△OAB∽△EDA，∴OAED∵A0,−2，B∴OA=2，OB=1，AB=5∴2ED设EA=a，则ED=2a，DA=5∴5a=25，解得：∴EA=2，ED=4，∴OE=OA+EA=4，∵点D在第四象限，∴D4,−4故答案为：4,−4．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．43．（2024·四川南充）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE=30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB=2，则DF的长为．

【答案】2【分析】过F作FM⊥BC于点M，FN⊥CD于点N，∠CMF=∠CNF=90°，由四边形ABCD是矩形，得∠DCM=∠ABC=90°，AB=CD=2，证明四边形CMFN是矩形，通过角平分线的性质证得四边形CMFN是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解．【详解】如图，过F作FM⊥BC于点M，FN⊥CD于点N，

∴∠CMF=∠CNF=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCM=∠ABC=90°，AB=CD=2，∴四边形CMFN是矩形，∵CF平分∠BCD，∴FM=FN，∠DCF=∠BCF=45°，∴四边形CMFN是正方形，由折叠性质可知：AB=BF=2，∠ABE=FBE=30°，∴MF=1，∴CN=NF=MF=CM=1，DN=CD−CN=1，在Rt△DNF中，由勾股定理得DF=故答案为：2．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，30°所对直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．44．（2025·浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是AD上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若【答案】2【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质；根据题意证出△EFG∽EBC，得到FGBC=EGEC=EFEB，设DG=x，则AD=BC=4+x，表示出GC=x+1，DC=2x+1，连接AE，在Rt△AEG中，求出AE=7，在【详解】解：∵ABCD为矩形，∴AD∥BC∴FG∥BC，∴△EFG∽EBC，∴FGBC设DG=x，则AD=BC=4+x，∴3∴GC=x+1，在Rt△GDC中，DC=连接AE，∵AC为直径，∴∠AEC=90°，在Rt△AEG中，AE=∴在Rt△AEC中，AC=在Rt△ADC中，AC=∴AD∵AD=4+x,DC=2x+1∴4+x2∴解得：x=3，∴AC=A⊙O的直径为：214故答案为：21445．（2024·海南）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别在边AD、BC上，将纸片ABCD沿EF折叠，使点D的对应点D′在边BC上，点C的对应点为C′，则DE的最小值为，【答案】67【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，则AB=EH=6，根据D′E≥EH，可得D′E的最小值为6，则由折叠的性质可得DE的最小值为6；如图所示，连接DF，证明∠D′FE=∠D′EF，得到D′E=D′F，则DE=DF，利用勾股定理得到当DF最大时，CF【详解】解：如图所示，过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，∴AB=EH=6，∵D′∴D′由折叠的性质可得DE=D∴DE的最小值为6；如图所示，连接DF，由折叠的性质可得∠D′EF=∠DEF，DE=∵AD∥BC，∴∠DEF=∠D∴∠D∴D′∴DE=DF，在Rt△CDF中，由勾股定理得CF=∴当DF最大时，CF最大，即DE最大时，CF最大，∴当D′与点B重合时，DE设此时CF=x，则BF=DF=8−x，∴8−x2解得x=7∴CF的最大值为7故答案为：6，7446．（2024·四川巴中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB=3，BC=4，则点F到BD的距离为．【答案】21【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作FH⊥AB，垂足为H，利用勾股定理求出AC的长，利用角的余弦值求出DF的长，再利用勾股定理求出FC，从而得出BF，利用三角形面积求出FH即可．【详解】解：如图，过点F作FH⊥DB，垂足为H，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠BCD=90°，AC=BD，∵AB=3，BC=4，∴AC=BD=A∴S△ADC=解得：DE=12∴cos∠EDC=DE解得：DF=15∴FC=D∴BF=BC−FC=4−9∴S△BDF=解得：FH=21故答案为：212047．（2024·黑龙江齐齐哈尔）已知矩形纸片ABCD，AB=5，BC=4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B′，把纸片展平，连接BB′，CB′，当△BC【答案】32【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分两种情况进行讨论：当∠BCB′=90°【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=∠ADC=∠ABC=∠BAD=90°，AB=CD=5，AD=BC=4，当∠BCB∵∠BCD=90°，∴点B′在CD根据折叠可知：AB′=AB=5设CP=x，则BP=B∴DBCB在Rt△CB′即4−x2解得：x=3即CP=3当∠BB根据折叠可知：BP=B∴∠PBB∵∠PBB′+∠BC∴∠BCB∴PC=PB∴PC=PB，∵BC=BP+PC=4，∴CP=2；综上分析可知：CP=3故答案为：3248．（2024·黑龙江大兴安岭地）矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将AB沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC长为．【答案】52或7【分析】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，先根据点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上的不同位置分三种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出PC即可．【详解】解：①点B的对称点落在矩形对角线BD上，如图1，∵在矩形ABCD中，AB=CD=3，BC=AD=4，由折叠性质可知：BB∴∠BAP+∠BPA=∠BPA+∠CBD∴∠BAP∴tan∠BAP∴BP=AB∴PC=BC−BP=4−9②点B的对称点B′落在矩形对角线AC∵在矩形ABCD中，AB=CD=3，BC=AD=4，∠B=90°，∴AC=A∴cos∠ACB=由折叠性质可知：∠ABP=∠AB′P∴B∴PC=B③点B的对称点B′落在矩形对角线CA∵在矩形ABCD中，AB=CD=3，BC=AD=4，∠B=90°，∴AC=A∴cos∠ACB=由折叠性质可知：∠ABP=∠AB′P∴B∴PC=B综上所述：则PC长为52或7故答案为：52或749．（2025·山东淄博）已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q．若∠FQP=45°，则EF的长为．【答案】2【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质；过点A作AG∥EF交BC于点G，过点A作AK⊥AP交CB的延长线于点K，过点G作GH⊥AK于点H，即可得到AGFE为平行四边形，进而得到EF=AG，然后根据正切的定义得到BK=43，HK=13GH，利用勾股定理求出AK=【详解】解：过点A作AG∥EF交BC于点G，过点A作AK⊥AP交CB的延长线于点K，过点