人教版2024-2025年九年级数学2年全国中考真题汇编 6.2 与圆有关的位置关系

试卷第=page11页，共=sectionpages33页6.2与圆有关的位置关系一、选择题1．（2025·甘肃甘南）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=18°，则∠D的度数是（

）A．18° B．36° C．48° D．72°2．（2025·山东青岛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=90°，DC=BC，直线EA与⊙O相切于点A．若∠BCD=128°，则∠DAE的度数为（

）A．52° B．54° C．64° D．74°3．（2024·福建）如图，已知点A,B在⊙O上，∠AOB=72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为AB的中点，则∠ACM等于（

）A．18° B．30° C．36° D．72°4．（2025·上海）在锐角三角形ABC中，AB=AC，BC=8，△ABC的外接圆为⊙O，且半径为5，边BC中点为D，如果以D为圆心的圆与⊙O相交，那么⊙D的半径可以为（

）A．2 B．5 C．8 D．95．（2025·四川自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．点C在⊙O上，不与点A，B重合．若A．50° B．100° C．130° D．50°或130°6．（2024·广东广州）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（

A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定7．（2025·福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P=30°，则∠BCP的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．75°8．（2025·海南）如图，在△ABC中，∠C=30°，AB=1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则BD的长为（

）A．π5 B．π4 C．π39．（2024·上海）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在△ABC内，分别以A、B、P为圆心画，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（

）A．内含 B．相交 C．外切 D．相离10．（2024·山西）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°11．（2024·江苏南京）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC, AD, CD分别与扇形BAF相切于点A, A．8 B．8.5 C．53 二、填空题12．（2024·浙江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB=50°，则∠B的度数为

13．（2024·江苏徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=°．14．（2024·黑龙江哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA=40°，则∠AOB=．15．（2025·云南）已知⊙O的半径为5cm，若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为cm16．（2024·重庆）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC=5，CD=3，∠F=∠ADE，则AB的长度是；DF的长度是17．（2024·四川资阳）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，则图中阴影部分的面积为．18．（2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE=15°，连接OE交AB于点F．若AB=4，则图中阴影部分的面积为．19．（2025·江苏无锡）如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB=3,OC=2，则tanA的值为20．（2024·山东泰安）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若DF=1，tanB=12，则AE

21．（2024·山东青岛）如图，△ABC中，BA=BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON=10，cos∠ABC=3522．（2025·黑龙江）如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，∠P=23．（2025·宁夏）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=54°，则∠BOC=°．24．（2024·山东德州）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m，CB=CD=8cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为25．（2025·四川泸州）如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=10，⊙O与梯形ABCD的各边都相切，且⊙O的面积为16π，则点B到CD的距离为．三、解答题26．（2024·四川达州）如图，BD是⊙O的直径．四边形ABCD内接于⊙O．连接AC，且AB=AC，以AD为边作∠DAF=∠ACD交BD的延长线于点F．(1)求证：AF是⊙O的切线；(2)过点A作AE⊥BD交BD于点E．若CD=3DE，求cos∠ABC27．（2024·四川南充）如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是AE上一点，AF=BE，AE,BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD=∠CDA．(1)求证：AD是⊙O的切线．(2)若BE=4,AD=25，求⊙O28．（2024·四川广安）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA=∠CBA．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若sinD=45，DA=FG=229．（2024·四川内江）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．

(1)求证：△ACE∽△ABC；(2)求证：CE是⊙O的切线；(3)若AD=2CE，OA=230．（2024·江苏盐城）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、(1)求证：△ABC∽(2)若AC=5，CD=4，求⊙O的半径．31．（2024·四川凉山）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)连接EO并延长，分别交⊙O于M,N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F=3032．（2024·甘肃）如图，AB是⊙O的直径，BC=BD，点E在AD的延长线上，且(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)当⊙O的半径为2，BC=3时，求tan∠AEB33．（2024·山东威海）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H=45°．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若BE=2，CE=4，求AF的长．34．（2024·四川眉山）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC=∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．(1)求证：CA是⊙O的切线；(2)当AC=8,CE=4时，求DE的长．35．（2024·甘肃临夏）如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．(1)求证：AD平分∠CAE；(2)如果BC=1，DC=3，求⊙O的半径．36．（2024·广西）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC．点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE=EF，连接AF．(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；(2)求证：AF与⊙O相切；(3)若tan∠BAC=34，BC=1237．（2024·湖北武汉）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．(1)求证：AB与半圆O相切；(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC38．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若sin∠CFB=2239．（2024·广东深圳）如图，在△ABD中，AB=BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E．(1)求证：DE⊥BE；(2)若AB=56，BE=5，求⊙O40．（2024·内蒙古赤峰）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若BM=42，tan∠BCD=141．（2024·四川广元）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E．(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若AC=4，tan∠CFD=2，求⊙O42．（2024·青海）如图，直线AB经过点C，且点C在⊙O上，OA=OB，CA=CB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若圆的半径为4，∠B=30°，求阴影部分的面积．43．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE⊥AC，垂足为E．⊙O的两条弦FB,FD相交于点F,∠DAE=∠BFD．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若∠C=30°,CD=23，求扇形OBD44．（2024·内蒙古通辽）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．(1)求证：∠ABC=2∠ACD；(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半径．45．（2024·四川）如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接

(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若OA=3，BD=2，求△OCD的面积．46．（2024·辽宁）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在BC上，AC=BD，E在BA的延长线上，(1)如图1，求证：CE是⊙O的切线；(2)如图2，若∠CEA=2∠DAB，OA=8，求BD的长．47．（2024·山东济宁）如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD=AC．E是⊙O外一点，∠BAE=∠CAD,∠ADE=∠ACB，连接BE．(1)若AB=8，求AE的长；(2)求证：EB是⊙O的切线．48．（2024·甘肃兰州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC=BD，延长BA至E，使得∠ADE=∠CBA．(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)若BO=4,tan∠CBA=149．（2024·四川资阳）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG=DC．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE=8，求DF的长．50．（2024·四川雅安）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA=∠B．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若sin∠B=12(3)若CD⊥AB于D，PA=4，BD=6，求AD的长．51．（2024·四川巴中）如图，△ABC内接于⊙O，点D为BC的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．(1)求证：DF是⊙O的切线．(2)求证：BD=ED．(3)若DE=5，CF=4，求AB的长．52．（2024·江苏宿迁）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB=20，CD=12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD=2∠B．

(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)求EF的长．53．（2024·山东东营）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是BE的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CD=3，∠ABC=60°，求线段AF54．（2024·湖北）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD=BC(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AD=3，AE=1，求CF55．（2024·西藏）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，sinD=3556．（2024·青海西宁）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OA，OB，过点O作OC∥PA交PB于点C，过点C作CD⊥AP，垂足为(1)求证：OC=AD．(2)若⊙O的半径是3，PA=9，求OC的长．57．（2024·陕西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，BD是⊙O的直径，作直线BE，使∠ABE=∠C，并与DA的延长线交于点E．(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)当AB=16，BC=12时，求DE的长．58．（2025·山东东营）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若OAOD=23，59．（2025·甘肃甘南）如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为点F．

(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=18，sinA=1360．（2025·四川达州）如图，在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA=PB，点C，D，E分别是线段AB，AP，BP上的动点，连接CD，CE，∠DCE=∠P=α．(1)试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若α=60°，CD:CE=1:2，试求4AD+BE与⊙O半径61．（2025·云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC=∠ACF．(1)若CE=CB，且∠CBE=60°，求∠BCE的度数；(2)求证：直线CF是⊙O的切线；(3)探究，发现与证明：已知AC平分∠BAE，是否存在常数a, b，使等式AC2=aBC⋅CE+bAB⋅AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a62．（2025·山东烟台）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD=AB，连接AD．(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求BC的长及⊙O的半径．63．（2025·四川广安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，点E在BC的延长线上，连接AE，∠ABE=∠CAE．(1)求证：AE是⊙O的切线．(2)过点C作CD⊥AE，垂足为D，若△ABC的面积是△ADC的面积的3倍，CE=12，求AE的长．64．（2025·四川内江）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E．(1)求证：直线AC是⊙O的切线；(2)若点E为AO的中点，AD=3，求阴影部分的面积；(3)连接DE，若sin∠DBA=5565．（2025·山东）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线．(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，∠AOB=45°，求CB的长．66．（2025·四川泸州）如图，AB, CD是⊙O的直径，过点C的直线与过点B的切线交于点E，与BA的延长线交于点F，且EB=EC，连接DE交AB于点(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若AF=10, sinF=67．（2025·甘肃）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO=∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F、点D是EB延长线上的一点且∠BCD=1(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若四边形ABCO是平行四边形，EF=3．求CD的长．68．（2025·陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F=45°．(1)求证：AB=AC；(2)若sinA=35，AB=869．（2025·湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G．(1)求证：FD=FG；(2)若AB=12,FG=10，求⊙O的半径．70．（2025·天津）已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB,∠AOB=80°,OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点．(1)如图①，求∠CED的大小；(2)如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长．71．（2025·甘肃平凉）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO=∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，∠BCD=1(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若四边形ABCO是平行四边形，EF=3，求CD的长．72．（2025·黑龙江绥化）如图．∠APO=∠BPO，PA与⊙O相切于点M、连接OM，OP与⊙O相交于点C，过点C作CD⊥OM，垂足为E，交⊙O于点D，连接PD交OM于点F．(1)求证：PB是⊙O的切线．(2)当PC=6，PM=54CD73．（2025·山东威海）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点．点B为⊙O上一点，射线PB,AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作，DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E．AD=BE,BD=AF．(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若AP=4，sin∠C=2374．（2025·黑龙江齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD=∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若点B是AD的中点，且BE=3，求⊙O的半径．75．（2025·广东）如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D．求证：AD平分∠BAC76．（2025·青海）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A=∠B=30°．(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)已知BC=2，求DC的长（结果保留π）．77．（2025·甘肃兰州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE，(1)求证：∠ADB=∠AEC；(2)若AB=4，cos∠AEC=5378．（2025·四川资阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若∠BAC=60°,CE=3，求⊙O79．（2025·四川乐山）如图，⊙O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为点F．点C为圆外一点，连结BE、BC、CD，∠DBC=∠DEB．(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)若BE∥CD，tanC=34，CD=580．（2025·四川广元）如图，AB是⊙O的直径，点D是线段BA延长线上一点，过点D的直线与⊙O相切于点C，过线段OB上一点E作AB的垂线交DC的延长线于点F，交BC于点G．(1)求证：∠F=2∠B；(2)若AO=4,AD=OE=1，求FG的长．81．（2025·江苏宿迁）如图，点A在⊙O上，点B在⊙O外，线段OB与⊙O交于点C，过点C作⊙O的切线交直线AB于点D，且AD=CD．(1)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠B=30°，CD=4，求图中阴影部分的面积．82．（2025·江苏徐州）如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．83．（2025·西藏）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB=60°，过点C的切线交BA的延长线于点D．求证：CD=CB．84．（2025·江苏淮安）如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，∠CBD=∠CAB．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)连接OD，若∠CAB=30°，AB=4，求扇形OBD的面积．85．（2025·江苏盐城）如图，AB是⊙O的弦，过点B作直线EF，以O为顶点作∠AOC=90°，分别交EF、AB于点C、D，若(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为3，tan∠OAD=1386．（2025·山东济南）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接(1)求证：PC与⊙O相切；(2)若AO=3，OP=5，求AC的长．87．（2024·四川遂宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是AC的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G．(1)求证：AF=DF；(2)延长GD至点M，使DM=DG，连接AM．①求证：AM是⊙O的切线；②若DG=6，DF=5，求⊙O的半径．88．（2024·四川宜宾）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连接CD．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若tan∠ABE=12，求CD89．（2024·山东潍坊）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CE=1，sin∠BAD=1390．（2024·山东济南）如图，AB,CD为⊙O的直径，点E在BD上，连接AE,DE，点G在BD的延长线上，AB=AG,∠EAD+∠EDB=45°．(1)求证：AG与⊙O相切；(2)若BG=45,sin91．（2024·内蒙古）如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF=∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若CD=8①求DE的长；②求⊙O的半径．92．（2025·四川自贡）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AB(1)∠ABO(2)求证：DC为⊙O(3)若DC=33，求⊙O293．（2025·四川南充）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB(1)求证：ME是⊙O的切线．(2)若CF=3，sinB=4594．（2025·四川遂宁）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC、BC，延长AB至点D，连接CD，使∠BCD=∠A．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)点E是AC的中点，连接BE，交AC于点F，过点E作EH⊥AB交⊙O于点H，交AB于点G，连接BH，若BD=2，CD=4，求BF⋅BH的值．95．（2025·四川宜宾）如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点，过D作直线DB与AE的延长线交于B点，过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE，且∠AED=∠ADC．(1)求证：直线BC是⊙O的切线；(2)若AE=10，tan∠CAD=34，求DE(3)在（2）的条件下，若F为AE上的一动点，且F在直线AB上方，连结AF、DF、EF．当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度．96．（2025·新疆）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CF⊥AB于点F，∠FCE=2∠A，BD∥CE交CF于点G，交AC于点D．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若tan∠BCE=12，BE=197．（2025·江苏苏州）如图，在四边形ABCD中，BD=CD，∠C=∠BAD．以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)若AB=10，sin∠AED=

参考答案与解析一、选择题1．（2025·甘肃甘南）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=18°，则∠D的度数是（

）A．18° B．36° C．48° D．72°【答案】B【分析】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．连接BC，由圆周角定理的推论得∠ACB=90°，再由切线长定理得BD=DC，从而得∠DBC=∠DCB=90°−18°=72°，进而即可求解．【详解】解：连接BC，∵DB，DE分别切⊙O于点B、C，∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DBC=∠DCB=90°−18°=72°，∴∠D=180°−72°×2=36°．故选：B．2．（2025·山东青岛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=90°，DC=BC，直线EA与⊙O相切于点A．若∠BCD=128°，则∠DAE的度数为（

）A．52° B．54° C．64° D．74°【答案】C【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据DC=BC可得∠CDB=∠CBD，可求出∠CDB,∠CBD的度数，再由∠ADC=90°和圆内接四边形的性质可求解∠ABD的度数，根据圆周角定理求出∠AOD=2∠ABD=128°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAO，最后根据切线性质定理即可求解．【详解】解：连接BD，OA，OD，如图，∵DC=BC，∠BCD=128°，∴∠CDB=∠CBD=180°−128°∵∠ADC=90°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=90°−26°=64°，∴∠AOD=2∠ABD=128°，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=180°−∠AOD又∵直线EA为⊙O的切线，∴∠EAO=90°，∴∠DAE=90°−∠DAO=90°−26°=64°．故选：C．3．（2024·福建）如图，已知点A,B在⊙O上，∠AOB=72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为AB的中点，则∠ACM等于（

）A．18° B．30° C．36° D．72°【答案】A【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为AB⏜的中点，三角形内角和可求出∠OCA=【详解】∵∠AOB=72°，C为AB的中点，∴∠AOC=36°∵OA=OC∴∠OCA=∵直线MN与⊙O相切，∴∠OCM=90°，∴∠ACM=∠OCM−∠OCA=18°故选：A．4．（2025·上海）在锐角三角形ABC中，AB=AC，BC=8，△ABC的外接圆为⊙O，且半径为5，边BC中点为D，如果以D为圆心的圆与⊙O相交，那么⊙D的半径可以为（

）A．2 B．5 C．8 D．9【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰△ABC的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD=3；当⊙D与⊙O相交时，圆心距需满足条件5−r<OD<5+r，代入数值求解r【详解】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E，∵AB=AC，D为BC中点，∴BD=DC=4，OD⊥BC；∵锐角三角形ABC中，AB=AC，∴外接圆心O在AD上，连接OB，由勾股定理得：OD=O

设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙O相交应满足：即5−r<3<5+r，解得：在此范围的半径只有选项B；故选：B．5．（2025·四川自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．点C在⊙O上，不与点A，B重合．若A．50° B．100° C．130° D．50°或130°【答案】D【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接OA，OB，求解∠AOB=360°−2×90°−80°=100°，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.【详解】解：如图，连接OA，OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于∴∠PAO=90°=∠PBO，∵∠P=80°，∴∠AOB=360°−2×90°−80°=100°，∴∠C=12∠AOB=50°故选：D6．（2024·广东广州）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（

A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得AD=23，由圆周角定理可得∠AOC=60°，再结合特殊角的正弦值，求出⊙O【详解】解：如图，令OC与AB的交点为D，∵OC为半径，AB为弦，且OC⊥AB，∴AD=1∵∠ABC=30°∴∠AOC=2∠ABC=60°，在△ADO中，∠ADO=90°，∠AOD=60°，AD=23∵sin∴OA=ADsin60°∵OP=5>4，∴点P在⊙O外，故选：C．7．（2025·福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P=30°，则∠BCP的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接OA，OB，切线得到OA⊥AP，求出∠POA=90°−30°=60°，平行，得到∠POA=∠OAB=60°，进而得到△AOB为等边三角形，推出△BOC为等边三角形，即可得出结果．【详解】连接OA，OB，则：OA=OB=OC，∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP，∵∠P=30°，∴∠POA=90°−30°=60°，∵AB∥PC，∴∠POA=∠OAB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠BOC=180°−∠POA−∠AOB=60°，∴△BOC为等边三角形，∴∠BCP=60°，故选C．8．（2025·海南）如图，在△ABC中，∠C=30°，AB=1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则BD的长为（

）A．π5 B．π4 C．π3【答案】C【分析】先根据切线的性质得出∠ABC=90°，再利用直角三角形两个锐角互余求得∠A，然后利用圆周角定理求得∠BOD，再利用弧长公式求解即可．【详解】解：连结OD，∵AB=1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，∴OD=1∵BC与半圆O相切于点B，∴∠ABC=90°，∵∠C=30°，∴∠A=90°−∠C=60°，∴∠BOD=2∠A=120°，∴BD的长为120π×1故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．9．（2024·上海）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在△ABC内，分别以A、B、P为圆心画，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（

）A．内含 B．相交 C．外切 D．相离【答案】B【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键．【详解】解：∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切，∴圆A含在圆P内，即PA=3−1=2，∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示：∴当到P′位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为1∵17<3+2=5∴圆P与圆B相交，故选：B．10．（2024·山西）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°【答案】D【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出∠B=12∠AOD=40°【详解】解：∵AD=∴∠B=1∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，∴∠BAC=90°，∴∠C=90°−40°=50°．故选：D．11．（2024·江苏南京）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC, AD, CD分别与扇形BAF相切于点A, A．8 B．8.5 C．53 【答案】D【分析】连接BE，作DH⊥BC于点H，由AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，AB=15，BC=17得AB=EB=15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD=ED，求得CE=BC2−EB2=8，再证明四边形ABHD是矩形，则BH=AD【详解】解：连接BE，作DH⊥BC于点H，则∠BHD=∠CHD=90°，∵AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，AB=15，BC=17，∴AB=EB=15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD=ED，∴∠BAD=∠BEC=90°，∴CE=B∵AD∥∴∠ADH=∠CHD=90°，∵∠BAD=∠ADH=∠BHD=90°，∴四边形ABHD是矩形，∴BH=AD，DH=AB=15，∴CH=BC−BH=17−AD，在△DHC中，根据勾股定理可得：152解得：AD=9，故选：D．【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键．二、填空题12．（2024·浙江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB=50°，则∠B的度数为

【答案】40°/40度【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．【详解】解：∵AC与⊙O相切，∴∠BAC=90°，又∵∠ACB=50°，∴∠B=90°−∠C=90°−50°=40°，故答案为：40°．13．（2024·江苏徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=°．【答案】35【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，从而得出∠CAD的度数．【详解】解：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC=90°，∵∠C=20°，∴∠COD=70°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠CAD=1故答案为：3514．（2024·黑龙江哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA=40°，则∠AOB=．【答案】50°/50度【分析】本题考查切线的性质与三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键，根据切线的性质得到OA⊥AB，从而得到∠OAB=90°，再根据三角形内角和即可得到答案．【详解】解：∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∵∠OBA=40°，∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=180°−90°−40°=50°，故答案为：50°．15．（2025·云南）已知⊙O的半径为5cm，若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为cm【答案】5【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，若点在圆外，则d>r时，当点在圆上时，则d=r时；当点在圆内时，则d<r．【详解】解：∵点P在⊙O上，∴点P到圆心O的距离为5cm故答案为：5．16．（2024·重庆）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC=5，CD=3，∠F=∠ADE，则AB的长度是；DF的长度是【答案】203/623【分析】由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=∠BDC=90°，根据勾股定理求出BD=4，则cosC=CDBC=35，由切线的性质得到∠ABC=90°，则可证明∠C=∠ABD，解直角三角形即可求出AB=BDcos∠ABD=203；连接AE，由平行线的性质得到【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，由勾股定理得BD=∴cosC=∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠C+∠CBD=∠CBD+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，在Rt△ABD中，AB=如图所示，连接AE，∵AF∥BE，∴∠BAF=∠ABE，∵∠F=∠ADE，∠ADE=∠ABE，∴∠F=∠BAF，∴BF=AB=20∴DF=BF−BD=20故答案为：203；8【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明∠F=∠BAF是解题的关键．17．（2024·四川资阳）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，则图中阴影部分的面积为．【答案】3【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．设弓形AmF，连接AF，FE，由题意知AE=AF=FE=2，即△AFE为等边三角形，∠FAE=∠FEA=60°，即可得出阴影部分面积为【详解】解：∵以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，AB=4，AD=2，∴AE=AD=BE=2，∴以AB为直径作半圆时，圆心为点E，设弓形AmF，连接AF，FE，即∴△AFE为等边三角形，∴∠FAE=∠FEA=60°，故阴影部分面积为S阴代入数值可得S阴故答案为3+18．（2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE=15°，连接OE交AB于点F．若AB=4，则图中阴影部分的面积为．【答案】4【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到OE⊥AB，由垂径定理可得AF=BF=2，由圆周角定理可得∠AOE=30°，进而证明△AOB是等边三角形，得到OF=23，再根据阴影部分的面积=【详解】解：∵AB所在圆的圆心为点O，边CD与⊙O相切于点E∴OA=OB=OE，OE⊥CD，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥∴OE⊥AB，∵AB=4，∴AF=BF=1∵∠ABE=15°，∴∠AOE=2∠ABE=30°，∵OA=OB，OF⊥AB，∴∠AOB=2∠AOF=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=4，∴OF=O∴阴影部分的面积=S故答案为：43【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．19．（2025·江苏无锡）如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB=3,OC=2，则tanA的值为【答案】2【分析】利用平行线的判定与性质证明△ODC∽△BDA，再求得【详解】解：∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∵OC⊥OB，∴OC∥∴△ODC∽∴ODBD∵OB=OC=2，∴2−BDBD∴BD=6∴tanA=故答案为：25【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．20．（2024·山东泰安）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若DF=1，tanB=12，则AE

【答案】5【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．先证∠DAF=∠ABD可得△DAF∽△DBA从而得到DFAD=ADBD=【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AH是⊙O的切线，∴∠BAF=90°，∴∠DAF=∠ABD=90°−∠DAB，∴△DAF∽∴DFAD∵DF=1，∴AD=2，∴AF=5∵点D为AC的中点，∴AD=∴∠ABD=∠DAC=∠DAF，∵∠ADE=∠ADF=90°，∴90°−∠DAE=90°−∠DAF，即∠AED=∠AFD，∴AE=AF=5故答案为：5．21．（2024·山东青岛）如图，△ABC中，BA=BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON=10，cos∠ABC=35【答案】6【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明∠EON=∠ABC，根据等边对等角推出∠A=∠OEC，则可证明AB∥OE得到∠EON=∠ABC，再由切线的性质得到∠OEN=90°，则解Rt△EON求出OE【详解】解：如图所示，连接OE，∵OE=OC，∴∠A=∠BCA，∴∠A=∠OEC，∴AB∥OE，∴∠EON=∠ABC，∵MN是⊙O的切线，∴∠OEN=90°，∴在Rt△EON中，cos∴OE=3∴半径OC的长为6，故答案为：6．22．（2025·黑龙江）如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，∠P=【答案】70°/70度【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据PA是切线，得到∠PAC=90°，从而∠PAB=∠PAC−∠BAC=55°，根据切线长定理得到PA=PB，从而∠PBA=∠PAB=55°，进而由三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：∵PA是切线，∴PA⊥AC，即∠PAC=90°，∵∠BAC=35°，∴∠PAB=∠PAC−∠BAC=55°，∵PA、PB是圆O的切线，∴PA=PB，∴∠PBA=∠PAB=55°，∴∠P=180°−∠PBA−∠PAB=180°−55°−55°=70°．故答案为：70°．23．（2025·宁夏）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=54°，则∠BOC=°．【答案】117【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大．根据⊙O是△ABC的内切圆，得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=【详解】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠OBC=12∠ABC∵∠A=54°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=126°，∴∠BOC=180°−=180°−故答案为：117．24．（2024·山东德州）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m，CB=CD=8cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为【答案】24【分析】连接AC，作∠ABC的平分线交AC于点O，作OH⊥BC于H，如图求得△ABC≌△ADCSSS，则∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，所以AC平分∠BAC和∠BCD，加上OB平分∠ABC，根据角平分线性质得到点O到四边形ABCD的各边的距离相等，则得到⊙O是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为OH，接着证明△BOH为等腰直角三角形得到OH=BH，设OH=r，则BH=r，CH=8−r，然后证明△COH∽△CAB，利用相似比可计算出r【详解】解：连接AC，作∠ABC的平分线，交AC于点O，作OH⊥BC于H，在△ABC和△ADC中，AB=ADCB=CD∴△ABC≌△ADCSSS∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD∴AC平分∠BAD和∠BCD，∵OB平分∠ABC，∴点O到四边形ABCD的各边的距离相等，∴⊙O是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为OH，∵∠ABC=90°，∴∠OBH=1∴△BOH为等腰直角三角形，∴OH=BH，设OH=rcm，则BH=rcm，∵∠ABC=90°，OH⊥BC，∴OH∥∴△COH∽△CAB，∴OHAB=∴r=24即⊙O的半径为247∴圆形纸片的半径为247故答案为：24【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键．25．（2025·四川泸州）如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=10，⊙O与梯形ABCD的各边都相切，且⊙O的面积为16π，则点B到CD的距离为．【答案】64【分析】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键．设AD,CD,BC分别与⊙O的切点记为点E,F,G，连接OE,OG,OF，过点D作DH⊥BC于点H，过点B作BK⊥CD于点K，过点A作AM⊥BC于点M，由圆的切线的性质证明四边形EGHD为矩形，则EG=DH,DE=HG，可求圆的半径为OE=4，设DE=DF=HG=x，在Rt△DHC中有勾股定理建立方程82+10−2x2=102，解得：x=2或【详解】解：设AD,CD,BC分别与⊙O的切点记为点E,F,G，连接OE,OG,OF，过点D作DH⊥BC于点H，过点B作BK⊥CD于点K，过点A作AM⊥BC于点M，∴OE⊥AD,OF⊥CD,OG⊥BC，DE=DF,CD=CG，∴∠OGC=∠OED=∠DHG=∠DHC=∠BKC=90°，∵梯形ABCD，AD∥BC，∴点E,O,G共线，∴四边形EGHD为矩形，∴EG=DH,DE=HG，∵⊙O的面积为16π，∴πOE∴OE=4，∴EG=2OE=8=DH，设DE=DF=HG=x，∵CD=10，∴CF=CG=10−x，∴CH=CG−HG=10−2x∵在Rt△DHC中，D∴82解得：x=2或x=8（舍），∴CH=10−2×2=6，同理可得：AE=MG=2，BM=6，∴BC=BM+MG+GH+CH=6+2+2+6=16，∵∠C=∠C,∠BKC=∠DHC=90°，∴△BKC∽△DHC，∴BKDH∴BK8∴BK=64∴点B到CD的距离为645故答案为：645三、解答题26．（2024·四川达州）如图，BD是⊙O的直径．四边形ABCD内接于⊙O．连接AC，且AB=AC，以AD为边作∠DAF=∠ACD交BD的延长线于点F．(1)求证：AF是⊙O的切线；(2)过点A作AE⊥BD交BD于点E．若CD=3DE，求cos∠ABC【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）如图所示，连接OA，由直径所对的圆周角是直角得到∠BAD=90°，导角可证明∠DAF=∠OAB，进而得到∠OAF=90°，据此即可证明AF是⊙O的切线；（2）延长CD交AF于H，延长AO交BC于G，连接OC，由直径所对的圆周角是直角得到∠BCD=90°，证明AG∥CH，得到∠AHC=90°，接着证明△ABE≌△ACHAAS，得到AE=AH，BE=CH，进一步证明Rt△ADE≌Rt△ADHHL，得到DH=DE，设DH=DE=a，则CD=3a，BE=CH=4a，进而得到BD=BE+DE=5a，则OA=OD=2.5a，由勾股定理得到AE=【详解】（1）证明：如图所示，连接OA，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠OAB+∠OAD=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠DAF=∠ACD，∠OBA=∠ACD，∴∠DAF=∠OAB，∴∠DAF+∠OAD=∠OAB+∠OAD=90°，∴∠OAF=90°，∴OA⊥AF，又∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：如图所示，延长CD交AF于H，延长AO交BC于G，连接OC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，即CH⊥BC，∵AB=AC，∴OA垂直平分BC，∴AG⊥BC，∴AG∥CH，∵∠OAF=90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠AHC=90°，又∵∠ABE=∠ACH，∴△ABE≌△ACHAAS∴AE=AH，∵AD=AD，∴Rt△ADE≌∴DH=DE，设DH=DE=a，则CD=3a，∴BE=CH=DH+CD=4a，∴BD=BE+DE=5a，∴OA=OD=2.5a，∴OE=OD−DE=1.5a，∴AE=O∴AD=A∴cos∠ADE=∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ADE=∠ACB，∴∠ABC=∠ADE，∴cos∠ABC=【点睛】本题主要考查了切线的判定，求角的余弦值，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．27．（2024·四川南充）如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是AE上一点，AF=BE，AE,BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD=∠CDA．(1)求证：AD是⊙O的切线．(2)若BE=4,AD=25，求⊙O【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：（1）圆周角定理推出∠ABF=∠BAE，根据∠CAD=∠CDA，结合三角形的内角和定理，推出∠BAE+∠CAD=90°，即∠BAD=90°,即可得证；（2）连接AF，易得AF=BE=4，直径得到∠AFB=90°，在Rt△ADF中，勾股定理求出DF的长，三角函数求出【详解】（1）证明：∵AF=BE∴∴∠ABF=∠BAE．

∵∠CAD=∠CDA,∠ADC+∠ABF+∠BAE+∠CAD=180°，∴∠BAE+∠CAD=90°．

即∠BAD=90°,∴AD⊥AB．又∵OA为半径，

∴AD是⊙O的切线．（2）解：连接AF．∵BE=4∴AF=BE=4．

∵AB是直径，∴∠AFB=90°∴∠AFD=90°．

在Rt△ADF中，DF=A∵∴∴AB=45．又AB是直径∴⊙O的半径长为25．28．（2024·四川广安）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA=∠CBA．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若sinD=45，DA=FG=2【答案】(1)见解析(2)14【分析】（1）连接OC，由圆周角定理求得∠ACB=90°，再利用等角的余角相等求得∠OCD=90°，据此即可证明DC是⊙O的切线；（2）利用三角函数的定义求得OC=OA=8，在Rt△OCD中，利用勾股定理求得CD=6，再证明△DOC【详解】（1）证明：连接OC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠DCA=∠OBC，∴∠DCA=∠OCB，而AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠OCA=∠OCA+∠OCB=90°，∴∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切线；（2）解：设OC=OA=r，∵sin∴r∴r=8，∴OC=OA=8，在Rt△OCD中，CD=∵∠DCA+∠ECF=∠BFG+∠CBA=90°，∴∠ECF=∠BFG，又∵∠BFG=∠EFC，∴∠ECF=∠EFC，∴EC=EF，设EC=EF=x，∵∠D=∠D，∠DCO=∠DGE，∴△DOC∽∴DODE=OC解得：x=14经检验x=14是所列方程的解，∴CE=14．【点睛】本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．正确证明△DOC∽29．（2024·四川内江）如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．

(1)求证：△ACE∽△ABC；(2)求证：CE是⊙O的切线；(3)若AD=2CE，OA=2【答案】(1)见解析(2)见解析(3)1【分析】+（1）分别证明∠ACB=∠AEC，∠BAC=∠EAC，从而可得结论；（2）连接OC，证明∠EAC=∠ACO，可得OC∥AE，再进一步可得结论；（3）连接DB、OD，证明四边形DECF是矩形，可得DF=EC，再证明AD=DB，可得∠DAB=∠DBA=45°，可得∠DOA=2∠DBA=90°，利用S阴影部分【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°，又∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∴∠ACB=∠AEC，∵C是BD的中点，∴BC=∴∠BAC=∠EAC，∴△ACE∽△ABC；（2）证明：连接OC

∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠ACO，∴OC∥AE，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（3）解：连接DB、OD

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠AEC=∠ECO=90°，∴四边形DECF是矩形，∴DF=EC，∵OC是半径，C是BD的中点，∴DF=FB，OC⊥DB，即DB=2DF=2EC，∵AD=2CE，∴AD=DB，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴∠DOA=2∠DBA=90°，∴S【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握相似三角形的判定和切线的判定是解决本题的关键。30．（2024·江苏盐城）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、(1)求证：△ABC∽(2)若AC=5，CD=4，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)25【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（1）连接OC，根据题意得∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°（2）先由勾股定理确定AD=3，然后利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：∵CD是⊙O的切线，点C在以AB为直径的⊙O上，∴∠OCD=∠OCA+∴∠ACD=∵OC=OB，∴∠OBC=∴∠ACD=∵AD⊥l，∴∠ADC=90°∴∠ADC=∴△ABC∽（2）∵AC=5，CD=4，∴AD=5由（1）得△ABC∽∴ABAC=AC∴AB=25∴⊙O的半径为25331．（2024·四川凉山）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)连接EO并延长，分别交⊙O于M,N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F=30【答案】(1)见详解(2)72【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质及角平分线得到OD∥AC，根据平行线的性质得∠ODF=90°，即可证明；（2）连接MD,AN，先解Rt△ODF，求得OF=4，DF=23，则AF=6，AE=3，可证明AD=DF=23，由△DGO∽△AGE，得DGAG=ODAE【详解】（1）解：连接OD，∵OA=OD，∴∠2=∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OD∥AC，∴∠ODF=∠AED∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODF=90°，即OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接MD，AN，∵∠F=30°，∴在Rt△ODF中，OF=2OD=4由勾股定理得：DF=∴AF=2+4=6，∵在Rt△AEF中，∠F=30°∴AE=1∵∠F=30°，OD⊥EF∴∠DOF=60°=∠2+∠3，而∠2=∠3，∴∠2=30°，∴∠2=∠F，∴AD=DF=23∵OD∥AE，∴△DGO∽△AGE，∴DGAG∴DG=2∵AM=∴∠ANG=∠MDG，∵∠MGD=∠AGN，∴△MGD∽△AGN，∴MGAG∴GM⋅GN=GD⋅GA=2【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．32．（2024·甘肃）如图，AB是⊙O的直径，BC=BD，点E在AD的延长线上，且(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)当⊙O的半径为2，BC=3时，求tan∠AEB【答案】(1)见解析(2)tan【分析】（1）连接BD，OC，OD，证明OB垂直平分CD，得出∠AFD=90°，证明CD∥BE，得出∠ABE=∠AFD=90°，说明AB⊥BE，即可证明结论；（2）根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，根据勾股定理求出AC=AB2−BC2=【详解】（1）证明：连接BD，OC，OD，如图所示：∵BC=∴BC=BD，∵OC=OD，∴点O、B在CD的垂直平分线上，∴OB垂直平分CD，∴∠AFD=90°，∵∠ADC=∠AEB，∴CD∥BE，∴∠ABE=∠AFD=90°，∴AB⊥BE，∵AB是⊙O的直径，∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴AB=2×2=4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=3，∴AC=A∴tan∠ABC=∵AC=∴∠ADC=∠ABC，∵∠AEB=∠ADC，∴∠AEB=∠ABC，∴tan∠AEB=【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判定，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．33．（2024·山东威海）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H=45°．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若BE=2，CE=4，求AF的长．【答案】(1)见解析(2)AF=【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到∠F=90°是解题的关键．（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠DAC=∠CAB=12∠DAB，即可得到OC∥AD，然后根据角平分线的定义得到∠F=∠FEG−∠FAE2∠H=2×45°=90°（2）设⊙O的半径为r，根据OC2+CE2【详解】（1）证明：连接OC，则∠OAC=∠OCA，又∵BC=CD，∴BC=∴∠DAC=∠CAB=1∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴∠OCE=∠F，∵EH平分∠FEG，∴∠FEG=2∠HEG，∴∠F=∠FEG−∠FAE=2∠HEG−2∠CAB=2∠HEG−∠CAB∴∠OCE=∠F=90°，又∵OC是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OE=OB+BE=r+2，∵OC2+C解得r=3，∴EA=AB+BE=2r+2=8，OE=5，又∵OC∥AD∴△ECO∽△EFA，∴EAOE=AFOC，即34．（2024·四川眉山）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC=∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．(1)求证：CA是⊙O的切线；(2)当AC=8,CE=4时，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．（1）连接OA，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠BAO，求得∠OAC=90°，根据切线的判定定理得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到BC=16，求得BE=BC−CE=12，连接BD，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠EAD，求得BD=DE，得到【详解】（1）证明：连接OA，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∴∠BAO+∠OAE=90°，∵OA=OB，∴∠ABC=∠BAO，∵∠EAC=∠ABC，∴∠CAE=∠BAO，∴∠CAE+∠OAE=90°，∴∠OAC=90°，∵OA是⊙O的半径，∴CA是⊙O的切线；（2）解：∵∠EAC=∠ABC，∠C=∠C，∴△ABC∽△EAC，∴AC∴8∴BC=16，∴BE=BC−CE=12，连接BD，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD，∴BD=∴BD=DE，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE=90°，∴DE=BD=235．（2024·甘肃临夏）如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．(1)求证：AD平分∠CAE；(2)如果BC=1，DC=3，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得出OD⊥l，结合题意可证OD∥AE，即得出∠DAE=∠ADO，再根据等边对等角可得出∠DAO=∠ADO，即得出∠DAO=∠DAE，即AD平分∠CAE；（2）设⊙O的半径为r，则OC=OB+BC=r+1，OD=r．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接OD．∵直线l与⊙O相切于点D，∴OD⊥l．∵AE⊥l，∴OD∥AE，∴∠DAE=∠ADO．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠DAO=∠DAE，即AD平分∠CAE；（2）解：设⊙O的半径为r，则OC=OB+BC=r+1，OD=r．在Rt△OCD中，O∴r2解得：r=4，∴⊙O的半径为4．【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键．36．（2024·广西）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC．点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE=EF，连接AF．(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；(2)求证：AF与⊙O相切；(3)若tan∠BAC=34，BC=12【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)10【分析】（1）先证明BD=CD，DE=EF，再证明△AEF≌△CED，可得AF=CD，∠F=∠EDC，再进一步解答即可；（2）如图，连接AD，证明AD⊥BC，可得AD过圆心，结合AF∥BD，证明（3）如图，过B作BQ⊥AC于Q，连接OB，设BQ=3x，则AQ=4x，可得CQ=AC−AQ=x，求解x=1210=6105，可得AB=5x=610，求解AD=【详解】（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，∴BD=CD，AE=CE，又∵∠AEF=∠CED，DE=EF，∴△AEF≌△CED，∴AF=CD，∠F=∠EDC，∴AF=BD，AF∥∴四边形ABDF是平行四边形；（2）证明：如图，连接AD，∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，∴AD过圆心，∵AF∥∴AF⊥AD，而OA为半径，∴AF为⊙O的切线；（3）解：如图，过B作BQ⊥AC于Q，连接OB，∵tan∠BAC=∴BQAQ设BQ=3x，则AQ=4x，∴AC=AB=A∴CQ=AC−AQ=x，∴BC=B∴10x=12∴x=12∴AB=5x=610∵AB=AC，BC=12，AD⊥BC，∴BD=CD=6，∴AD=A设⊙O半径为r，∴OD=18−r，∴r2解得：r=10，∴⊙O的半径为10．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．37．（2024·湖北武汉）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．(1)求证：AB与半圆O相切；(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）连接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，根据等腰三角形三线合一可知