2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 4.5 相似三角形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页4.5相似三角形一、与相似三角形有关的证明与计算1．（2020安徽中考第8题）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4,cosA=45，则BD的长度为（A．94 B．125 C．1542．（2021安徽中考第23题）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，且AE//CD，DE//AB，作CF//AD交线段AE于点F，连接BF．（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如图2，若AB=9，CD=5，∠ECF=∠AED，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BEEC3．（2019安徽中考真第23题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°（1）求证：△PAB∽△PBC（2）求证：PA=2PC（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h34．（2017安徽中考第23题）已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.①求证:BE=CF;②求证:BE2=BC·CE.图1图2(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tan∠CBF的值.5．（2024安徽中考第22题）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．(1)求证：OE=OF；(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求ACBD6.（2023安徽中考第22题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．

(1)如图1，求的大小；(2)已知点和边上的点满足．（ⅰ）如图2，连接，求证：；（ⅱ）如图3，连接，若，求的值．

参考答案与解析一、与相似三角形有关证明计算1．（2020安徽中考第8题）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4,cosA=45，则BD的长度为（A．94 B．125 C．154【答案】C【详解】∵∠C=90°，∴cosA∵AC=4，cosA=4根据勾股定理可得BC=AB∵∠DBC=∠A，∴cos∠DBC=cosA=45∴cos∠DBC=BCBD=45，即3BD=45故选：C．2．（2021安徽中考第23题）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，且AE//CD，DE//AB，作CF//AD交线段AE于点F，连接BF．（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如图2，若AB=9，CD=5，∠ECF=∠AED，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BEEC【答案】（1）见解析；（2）6；（3）1+【详解】（1）证明：∵AE//CD，∴∠AEB=∠DCE；∵DE//AB，∴∠ABE=∠DEC，∠1=∠2，∵∠ABC=∠BCD，∴∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠DEC，∴AB=AE，DE=DC，∵AF//CD，AD//CF，∴四边形AFCD是平行四边形∴AF=CD，∴AF=DE在△ABF与△EAD中，AB=EA∠1=∠2∴△ABF≌△EAD(SAS)（2）∵△ABF≌△EAD，∴BF=AD，在□AFCD中，AD=CF，∴BF=CF，∴∠FBC=∠FCB，又∵∠FCB=∠2，∠2=∠1，∴∠FBC=∠1，在△EBF与△EAB中，∠EBF=∠1∠BEF=∠AEB∴△EBF∽△EAB，∴EB∵AB=9，∴AE=9；∵CD=5，∴AF=5；∴EF=4，∴EB∴BE=6或−6（舍）；（3）延长BM、ED交于点G．∵△ABE与△DCE均为等腰三角形，∠ABC=∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴AB设CE=1，BE=x，DC=DE=a，则AB=AE=ax，AF=CD=a，∴EF=a(x−1)，∵AB//DG，∴∠3=∠G；在△MAB与△MDG中，∠3=∠G∠4=∠5∴△MAB≌△MDG(AAS)；∴DG=AB=ax，∴EG=a(x+1)；∵AB//EG，∴△FAB∽△FEG，∴FAFE=∴x(x−1)=x+1，∴x∴(x−1)2=2∴x1=1−∴BE3．（2019安徽中考真第23题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°（1）求证：△PAB∽△PBC（2）求证：PA=2PC（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC又∠APB=135°，∴∠PAB+∠PBA=45°，∴∠PBC=∠PAB，又∵∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC；（2）∵△PAB∽△PBC，∴PAPB在Rt△ABC中，AC=BC，∴ABBC∴PB=2∴PA=2PC；（3）过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°,又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°∴∠EAP=∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴PEDP=APPC∵△PAB∽△PBC，∴h即h14．（2017安徽中考第23题）已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.①求证:BE=CF;②求证:BE2=BC·CE.图1图2(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tan∠CBF的值.【答案】（1）详见解析；（2）tan∠CBF=5【详解】(1)①∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°,∴∠ABG+∠CBF=90°,∵∠AGB=90°,∴∠ABG+∠BAG=90°,∴∠BAG=∠CBF∵AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF.②∵∠AGB=90°,点M为AB的中点,∴MG=MA=MB,∴∠GAM=∠AGM,又∵∠CGE=∠AGM,∠GAM=∠CBG,∴∠CGE=∠CBG,又∠ECG=∠GCB,∴△CGE∽△CBG,∴CECG=CGCB,即CG2∵∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF,∴CF=CG,由①知BE=CF,∴BE=CG,∴BE2=BC·CE.(2)延长AE,DC交于点N,∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∴∠N=∠EAB,又∵∠CEN=∠BEA,∴△CEN∽△BEA,∴CEBE=CNAB,即BE·∵AB=BC,BE2=BC·CE,∴CN=BE,∵AB∥DN,∴CNAM∵AM=MB,∴CF=CN=BE.不妨设正方形的边长为1,BE=x,由BE2=BC·CE,可得x2=1·(1-x),解得x1=5-12,x2=-5则tan∠CBF=CFBC5．（2024安徽中考第22题）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．(1)求证：OE=OF；(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求ACBD【答案】(1)见详解(2)（ⅰ）见详解，（ⅱ）2【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴AM∥CN，又∵AM=CN，∴四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥CM，∴∠OAE=∠OCF．在△AOE与△COF中，∠OAE=∠OCF∴△AOE≌△COFASA∴OE=OF．（2）（ⅰ）∵HE∥AB∴OHOA又OB=OD．OE=OF，∴OHOA∵∠HOF=∠AOD，∴△HOF∽∴∠OHF=∠OAD，∴HF（ⅱ）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又OE=OF，∠EHF=60°，∴∠EHO=∠FHO=30°，∴OH=3∵AM∥BC．MD=2AM，∴△AHM∽△CHB，∴AHHC即HC=3AH，∴OA+AH=3OA−OH∴OA=2OH，∵BN∥AD，MD=2AM，AM=CN，∴△BNE∽△DAE，∴BEED即3BE=2ED，∴3∴OB=5OE，故ACBD6.（2023安徽中考第22题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．

(1)如图1，求的大小；(2)已知点和边上的点满足．（ⅰ）如图2，连接，求证：；（ⅱ）如图3，连接，若，求的值．【详解】（1）解：∵MA=MD=MB，∴∠MAD=∠MDA,∠MBD=∠MDB，在△ABD中，∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=（2）证明：（ⅰ）证法一：如图，延长BD、AC，交于点F，则∠BCF=90°，

∵ME⊥AD，∠ADB=90°，∴EM∥又∵DE∥AB，∴四边形BDEM是平行四边形，∴∵M是AB的中点，∴AM=BM，∴DE=AM．∴四边形AMDE是平行四边形．∵ME⊥AD，∴▱AMDE是菱形，∴AE=AM．∵EM∥BD，∴AEAF=∵∠ADB=90°，即AD⊥BF，∴BD=DF，即点D是Rt△BCF斜边的中点，∴BD=CD证法二：∵∠ACB=∠ADB=90°，M是斜边AB的中点，∴点A、C、D、B在以M为圆心，AB为直径的⊙M上．

∵ME⊥AD，∴ME垂直平分AD，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴∠EAD=∠BAD，∴证法三：∵ME⊥AD，∠ADB=90°，∴EM∥又∵DE∥AB，∴四边形BDEM是平行四边形，∴∵M是AB的中