2026年希望杯IHC五年级数学竞赛试卷（D卷）（含答案）

2026年希望杯IHC五年级数学竞赛试卷（D卷）一、填空1．（4分）30390能被个偶数整除．2．（4分）国庆阅兵式上，徒步方队通过天安门广场时，两侧的“路线校准标兵”按如图“三角点阵”模式整齐站位．该点阵从上向下数，第一行有1名标兵，第二行有2名标兵，第三行有3名标兵，……，每行标兵数均比上一行多1名．现共有500名标兵参与该三角点阵排列，若排满n行后还剩余k名标兵（k＜n），则n+k的值为．3．（4分）乘积3225×62529的结果是位数。4．（4分）选修高等数学课的学生需通过考试方可完成课程，未通过者可多次重考．已知：70%的学生第一次考试即通过；在第一次未通过的学生中，60%于第二次考试通过；在第二次仍未通过的学生中，40%于第三次考试通过．必须参加多于三次考试的学生占总学生的比值是．（结果用小数表示）5．（4分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下：节目ABCD演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间指从第一个节目开始彩排到该演员参演节目开始的时间间隔．这23位演员的候场时间之和最小是分钟．6．（4分）分子与分母的和是99的最简真分数有个．7．（4分）盒子里有两种笔：铅笔和钢笔，其中铅笔有红、黄、蓝、绿4种颜色，每种颜色各有20支；钢笔有红、蓝、绿3种颜色，每种颜色各有30支．从笔盒里随意摸笔，至少要摸出支笔，才能保证一定有5支笔是“同类型且同颜色”的（比如5支红色铅笔或71支蓝色钢笔）．8．（4分）将数字1至9替换下面等式左边的字母，每个数字恰好用一次，使得等式成立：（+X）÷Y+﹣G＝2025现在字母X和Y已经替换好：X是2，Y是4，那么当其他字母都替换好后，算式中唯一的减数G是．9．（4分）2026×2025×2024×（），要使这个算式得数的最后四位数都是0，括号内的数最小是．10．（4分）将九位数135792468重复写225次组成一个2025位数135792468135792468……删去这个整数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字后得到一个新数；再删去这个新数中所有位于奇数位上的数字后又得到一个新数……按上述规律一直删除下去直到剩下一个数字为止．那么，最后剩下的这个数字是．11．（4分）如图所示，在三角形ABC中，CP＝BC，CQ＝AC，BQ与AP相交于点N．若三角形ABC的面积为132，那么三角形ABN的面积为．12．（4分）甲种奶糖每份100克，售价1.55元；乙种奶糖每份100克，售价1.3元．幸福商店将甲、乙两种奶糖混合为袋装出售．原来将四份甲种奶糖和三份乙种奶糖混为一袋，后来改变混合的方式，将三份甲种奶糖和四份乙种奶糖混为一袋．那么，顾客买70千克袋装奶糖比原来少花元钱．13．（4分）将10个相同的笔记本分给4个班级，每个班级至少分配到一个笔记本，则不同的分配方案共有种．14．（4分）如图，社区有一块面积是80平方米的平行四边形花田ABCD，园丁划分区域种不同花卉：点E在CD边上，F在AD边上，面积是25平方米的三角形区域BCE种植牡丹，面积是16平方米的三角形ABF区域种植月季，三角形DEF区域种植雏菊，三角形EBF区域种植郁金香．那么种植郁金香的阴影部分面积是平方米．15．（4分）小明从家出发步行去书店，途中没有停留，全程匀速．已知以下条件：①小明去书店时，每分钟走的路程（单位：米）是一位自然数的平方；②从书店返回家里时，每分钟走的路程比去时多5米，且返回时仍全程匀速；③返回所用的时间比去时少2分钟；④小明家到书店的路程在100米至200米之间．那么，小明去书店时每分钟走米．16．（4分）校园文化节上，同学们用相同的正五边形纸灯笼布置成圆环状的装饰，如图展示了其中3个正五边形纸灯笼的位置．要完成整个圆环装饰的布置，共需要个正五边形纸灯笼．17．（4分）如图，A、B两齿轮互相咬合，A齿轮有12齿，B齿轮有16齿（图中只是示意图，不反映实际齿数）．每个齿轮上都有一个“F”．若顺时针旋转90°，“F”就会变成“”．开始时两个齿轮显示“FF”，那么A齿轮逆时针旋转圈后，两个齿轮第101次显示“F”．18．（4分）把1～10000的自然数依次写出，得到一列数：123456789101112131415……9998999910000，其中2026出现了次．19．（4分）如图所示的四边形ABCD，其中AB＝BC＝CD，∠ABC＝80°，∠BCD＝160°，那么∠DAB＝．20．（4分）花园里的小路如图所示，花仙子每次给花浇水时总是无法不重复走过每一条路．她想从A，B，C，D，E，F，G，H，M，N这10个点中任选两个点给花园加一条路以解决这个问题，那么她有种方案可选．21．（4分）由数字1、2、3组成五位数，要求五位数中1、2、3至少各出现一次，那么这些五位数的平均值等于。22．（4分）李老师近期计划购置一辆家用轿车，在预算范围内看中了两款价格相同的车型：燃油版轿车和纯电动轿车．两款车型的核心使用成本参数如下：车型关键参数单位成本续航信息燃油版轿车油箱容积：50升油价：9元/升满油状态下可行驶600千米纯电动轿车电池电量：65千瓦时电价：0.6元/千瓦时满电状态下可行驶468千米已知燃油版轿车和纯电动轿车每年的其他固定费用分别为5000元和7500元，那么每年行驶里程多于千米时，购买纯电动轿车的年费用更低．（年费用＝年行驶费用+年其他固定费用）23．（4分）若一个三位自然数的所有数位上数字的3次方和等于这个数本身，则称这个数是水仙花数．例如13+53+33＝153．水仙花数只有4个，并且其余3个水仙花数都含有数字7，四个水仙花数之和是．24．（4分）如图，A、B、C、D四地分别位于正方形的四个顶点上，甲从A地向B地，乙从B地向A地，丙从C地向D地，丁从D地向C地分别沿图示的方向同时出发，匀速前进。若甲、乙、丙、丁都尚未走回各自的起点，甲出发后16分钟第一次遇到乙，72分钟时第一次遇到丁，120分钟时第一次追上丙，丁出发后n分钟第一次遇到丙，乙出发m分钟第一次追上丁，那么n+m＝。25．（4分）有一个四位自然数，若将它的千位、百位、十位、个位数字分别单独改为1，则这四个新数均能被7整除．符合条件的四位自然数之和是．

2026年希望杯IHC五年级数学竞赛试卷（D卷）参考答案与试题解析一、填空1．（4分）30390能被8个偶数整除．【解答】解：30390＝2×3×5×1013，所以共有：（1+1）×（1+1）×（1+1）＝8（个）。答：30390能被8个偶数整除。故答案为：8。2．（4分）国庆阅兵式上，徒步方队通过天安门广场时，两侧的“路线校准标兵”按如图“三角点阵”模式整齐站位．该点阵从上向下数，第一行有1名标兵，第二行有2名标兵，第三行有3名标兵，……，每行标兵数均比上一行多1名．现共有500名标兵参与该三角点阵排列，若排满n行后还剩余k名标兵（k＜n），则n+k的值为35．【解答】解：因为1+2+3+……+31＝496＜500，1+2+3+……+32＝528＞500，所以n＝31，k＝500﹣496＝4，即n+k＝31+4＝35。答：n+k的值为35。故答案为：35。3．（4分）乘积3225×62529的结果是119位数。【解答】解：3225×62529＝（25）25×（54）29＝2125×5116＝29+116×5116＝29×2116×5116＝29×（2116×5116）＝29×（2×5）116＝29×10116＝512×101163+116＝119。答：乘积3225×62529的结果是119位数。故答案为：119。4．（4分）选修高等数学课的学生需通过考试方可完成课程，未通过者可多次重考．已知：70%的学生第一次考试即通过；在第一次未通过的学生中，60%于第二次考试通过；在第二次仍未通过的学生中，40%于第三次考试通过．必须参加多于三次考试的学生占总学生的比值是0.072．（结果用小数表示）【解答】解：第一次未通过的学生占比：1﹣0.7＝0.3，第二次未通过的学生占比：0.3×（1﹣0.6）＝0.3×0.4＝0.12，第三次未通过的学生占比：0.12×（1﹣0.4）＝0.12×0.6＝0.072。答：必须参加多于三次考试的学生占总学生的比值是0.072。5．（4分）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下：节目ABCD演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间指从第一个节目开始彩排到该演员参演节目开始的时间间隔．这23位演员的候场时间之和最小是360分钟．【解答】解：（10+2+1）×20+（2+1）×30+1×10＝13×20+3×30+1×10＝26×10+9×10+1×10＝（26+9+1）×10＝36×10＝360（分）。答：这23位演员的候场时间之和最小是360分钟。故答案为：360。6．（4分）分子与分母的和是99的最简真分数有30个．【解答】解：设分子为a，则分母为（99﹣a），99÷2＝49.5，则a＜49.5，a与（99﹣a）互质，所以1≤a≤49，因为99＝3×3×11，1到49中能被3整除的数的个数：49÷3＝16（个）……1（个），能被11整除的数的个数：49÷11＝4（个）……5（个），能被3和11同时整除的数的个数：49÷33＝1（个）……16（个），能被3或11整除的数的个数：16+4﹣1＝19（个），则a有：49﹣19＝30（个）。答：分子与分母的和是99的最简真分数有30个。故答案为：30。7．（4分）盒子里有两种笔：铅笔和钢笔，其中铅笔有红、黄、蓝、绿4种颜色，每种颜色各有20支；钢笔有红、蓝、绿3种颜色，每种颜色各有30支．从笔盒里随意摸笔，至少要摸出29支笔，才能保证一定有5支笔是“同类型且同颜色”的（比如5支红色铅笔或71支蓝色钢笔）．【解答】解：按最不利原则，保证一定有5支笔是“同类型且同颜色”的，至少要摸出的笔数量：（5﹣1）×（4+3）+1＝29（支）。故答案为：29。8．（4分）将数字1至9替换下面等式左边的字母，每个数字恰好用一次，使得等式成立：（+X）÷Y+﹣G＝2025现在字母X和Y已经替换好：X是2，Y是4，那么当其他字母都替换好后，算式中唯一的减数G是1．【解答】解：（+X）÷Y+﹣G＝2025，即（+2）÷4+﹣G＝2025，因为﹣G最大只能是98﹣1＝97，最小是13﹣9＝4，所以（+2）÷4最大是2025﹣4＝2021，最小是2025﹣97＝1928，对应地，只能是在1928×4﹣2＝7710到2021×4﹣2＝8082之间，因为不能有重复数字，所以只能在7813到7986之间，所以的首位数字只能是7，由四位数与2的和能被4整除，可以确定四位数的个位数字一定是偶数，只能是6或者8（因为2、4已经确定）。（1）若四位数字的个位数字为6，那么与2的和的个位数为6+2＝8，所以是十位数字必须为偶数，只能是8（因为2、4、6已经确定），由于只能在7813到7986之间，所以只能是7986，而（7986+2）÷4＝1997，与2025相差2025﹣1997＝28，但此时剩下的三个数字为1、3、5，无法用这三个数字凑出28，所以四位数的个位数字不能是6。（2）若四位数的个位数字是8时，8+2＝10，则十位数字为奇数，只能是1、3、5或者9，由于只能在7813到7986之间，所以＝，①当四位数的十位数字为1时，即＝7918，而（7918+2）÷4＝1980，2025﹣1980＝45，但剩下的三个数字3、5、6不能凑出﹣G＝45；②当四位数的十位数字为3时，即＝7938，而（7938+2）÷4＝1985，2025﹣1985＝40，但剩下的三个数字1、5、6不能凑出﹣G＝40；③当四位数的十位数字为5时，即＝7958，而（7958+2）÷4＝1990，2025﹣1990＝35，剩下的三个数字1、3、6能凑出﹣G＝36﹣1＝35；综上所述，故此题只有惟一答案：（7958+2）÷4+36﹣1＝2025，所以算式中唯一的减数G是1。故答案为：1。9．（4分）2026×2025×2024×（），要使这个算式得数的最后四位数都是0，括号内的数最小是25．【解答】解：2026×2025×2024＝2×1013×52×34×23×11×23＝1013×52×34×24×11×23，其现在的因数中含有2个5、4个2，即要使这个连乘积的最后四个数字都是0，则其因数中最少还需要2个5，则括号中的数为5×5＝25。答：括号内的数最小是25。故答案为：25。10．（4分）将九位数135792468重复写225次组成一个2025位数135792468135792468……删去这个整数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字后得到一个新数；再删去这个新数中所有位于奇数位上的数字后又得到一个新数……按上述规律一直删除下去直到剩下一个数字为止．那么，最后剩下的这个数字是4．【解答】解：第一次保留：位置为2，4，6，……（即21的倍数），第二次保留：位置为4，8，12，……（即22的倍数），第三次保留：位置为8，16，24，……（即23的倍数），……直到找到最大的2k≤2025。因为210＝1024＜2025，211＝2048＞2025，所以最后剩下的数字的位置是1024。原九位数是135792468，周期为9，1024在周期中的位置：1024+9＝113（组）……7（个），即第1024位对应原九位数的第7位，原九位数的第7位是4。即4就是最后剩下的数字。答：最后剩下的这个数字是4。故答案为：4。11．（4分）如图所示，在三角形ABC中，CP＝BC，CQ＝AC，BQ与AP相交于点N．若三角形ABC的面积为132，那么三角形ABN的面积为72．【解答】解：连接PQ，如下图所示：因为CP＝BC，CQ＝AC，所以CP：BC＝1：3，CQ：AC＝1：4，根据共角模型可得：＝•＝×＝，而S△ABC＝132，所以S△CPQ＝S△ABC＝×132＝11，所以S四边形ABPQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝132﹣11＝121，因为CP＝BC，根据等高模型可得：S△ACP＝S△ABC＝×132＝44，因为CQ＝AC，根据等高模型可得：S△BCQ＝S△ABC＝×132＝33，令S△NPQ＝x，则：S△ANQ＝S△ACP﹣S△CPQ﹣S△NPQ＝44﹣11﹣x＝33﹣x，S△BNP＝S△BCQ﹣S△CPQ﹣S△NPQ＝33﹣x﹣11＝22﹣x，S△ABN＝S四边形ABPQ﹣S△ANQ﹣S△BNP﹣S△NPQ＝121﹣（33﹣x）﹣（22﹣x）﹣x＝66+x，根据风筝模型可得：S△NPQ•S△ABN＝S△ANQ•S△ABN，即x（66+x）＝（33﹣x）（22﹣x），解得：x＝6。所以S△ABN＝66+x＝66+6＝72。答：三角形ABN的面积为72。故答案为：72。12．（4分）甲种奶糖每份100克，售价1.55元；乙种奶糖每份100克，售价1.3元．幸福商店将甲、乙两种奶糖混合为袋装出售．原来将四份甲种奶糖和三份乙种奶糖混为一袋，后来改变混合的方式，将三份甲种奶糖和四份乙种奶糖混为一袋．那么，顾客买70千克袋装奶糖比原来少花25元钱．【解答】解：原来和后来混合后每份质量：100×（4+3）＝700（克），原来混合的价格：1.55×4+1.3×3＝10.1（元），后来混合的价格：1.55×3+1.3×4＝9.85（元），价差：10.1﹣9.85＝0.25（元），70千克＝70000克，袋数：70000÷700＝100（袋），少花的钱数：0.25×100＝25（元）。答：顾客买70千克袋装奶糖比原来少花25元钱。故答案为：25。13．（4分）将10个相同的笔记本分给4个班级，每个班级至少分配到一个笔记本，则不同的分配方案共有84种．【解答】解：＝84（种）。答：不同的分配方案共有84种。故答案为：84。14．（4分）如图，社区有一块面积是80平方米的平行四边形花田ABCD，园丁划分区域种不同花卉：点E在CD边上，F在AD边上，面积是25平方米的三角形区域BCE种植牡丹，面积是16平方米的三角形ABF区域种植月季，三角形DEF区域种植雏菊，三角形EBF区域种植郁金香．那么种植郁金香的阴影部分面积是30平方米．【解答】解：作FG∥AB交BC于点G，连接EG、CF，如下图所示：因为花田ABCD是平行四边形，且FG∥AB，所以四边形ABCF和四边形CDFG都是平行四边形，根据一半模型可得：S△ABF＝S△BCF＝S平行四边形ABCF＝16m2，所以S平行四边形ABCF＝16×2＝32（m2），因为S平行四边ABCD＝80m2，所以S平行四边形CDFG＝S平行四边ABCD﹣S平行四边形ABCF＝80﹣32＝48（m2），再次根据一半模型可得：S△EFG＝S平行四边形CDFG＝×48＝24（m2），设S△CEG＝x，因为S△BCE＝25m2，所以S△BEG＝25﹣x（m2），根据等高模型可得：＝＝，即＝，解得：x＝15，再次根据一半模型可得：S△CEG+S△DEF＝S平行四边形CDFG＝24m2，所以S△DEF＝S平行四边形CDFG﹣S△CEG＝24﹣x＝24﹣15＝9（m2），所以S△ABF+S△BCE+S△DEF＝16+25+9＝50（m2），所以S阴影＝S△BEF＝S平行四边ABCD﹣（S△ABF+S△BCE+S△DEF）＝80﹣50＝30（m2）。答：种植郁金香的阴影部分面积是30平方米。故答案为：30。15．（4分）小明从家出发步行去书店，途中没有停留，全程匀速．已知以下条件：①小明去书店时，每分钟走的路程（单位：米）是一位自然数的平方；②从书店返回家里时，每分钟走的路程比去时多5米，且返回时仍全程匀速；③返回所用的时间比去时少2分钟；④小明家到书店的路程在100米至200米之间．那么，小明去书店时每分钟走16米．【解答】解：设小明去书店时每分钟走x米，则返回的速度为每分钟走（x+5）米，去时的时间是：2（x+5）÷5分钟，则：100≤2（x+5）÷5×x≤200，化简为：250≤（x+5）×x≤500，因为x是一位自然数的平方，如果x＝32＝9，则（x+5）×x＝（9+5）×9＝126，126＜250，不符合要求，舍去；如果x＝42＝16，则（x+5）×x＝（16+5）×16＝336，250≤336≤500，符合要求；如果x＝52＝25，则（x+5）×x＝（25+5）×25＝750，500＜750，不符合要求，舍去；综上所述，只有x＝16符合题意。答：小明去书店时每分钟走16米。故答案为：16。16．（4分）校园文化节上，同学们用相同的正五边形纸灯笼布置成圆环状的装饰，如图展示了其中3个正五边形纸灯笼的位置．要完成整个圆环装饰的布置，共需要10个正五边形纸灯笼．【解答】解：如图：正五边形每个内角的度数为：（5﹣2）×180°÷5＝3×180°÷5＝540°÷5＝108°，每个正五边形对应的圆心角的度数是：360°﹣108°×3＝36°，360°÷36°＝10（个）。答：要完成整个圆环装饰的布置，共需要10个正五边形纸灯笼．故答案为：10。17．（4分）如图，A、B两齿轮互相咬合，A齿轮有12齿，B齿轮有16齿（图中只是示意图，不反映实际齿数）．每个齿轮上都有一个“F”．若顺时针旋转90°，“F”就会变成“”．开始时两个齿轮显示“FF”，那么A齿轮逆时针旋转403圈后，两个齿轮第101次显示“F”．【解答】解：设A齿轮逆时针旋转x圈，则：A齿轮总齿数变化12x（A的“F”正位，故x为整数），B齿轮总齿数变化与A齿轮相同为12x，且B的“F”需偏移4齿，即12x≡4（mod16），所以3x≡1（mod4），解得：x≡3（mod4），所以x＝4t+3（t为非负整数）。初始状态x＝0：A齿轮、B齿轮均为“F”，不满足两个齿轮第显示“F”的状态，第一次满足条件为当t＝0时，此时x＝3（第1次目标状态）；第二次满足条件为t＝1时，此时x＝7；……；第n次即为x＝4（n﹣1）+3，第101次对应n＝101，此时x＝4（n﹣1）+3＝4×（101﹣1）+3＝403（圈）。答：A齿轮逆时针旋转403圈后，两个齿轮第101次显示“F”。故答案为：403。18．（4分）把1～10000的自然数依次写出，得到一列数：123456789101112131415……9998999910000，其中2026出现了3次．【解答】解：第1次出现：写2026本身；第2次出现：写完2620接着写2621；第3次出现：写完6202接着写6203。答：其中2026出现了3次。故答案为：3。19．（4分）如图所示的四边形ABCD，其中AB＝BC＝CD，∠ABC＝80°，∠BCD＝160°，那么∠DAB＝80°．【解答】解：以BC为边作构造等边三角形BCE，连接AE、DE，如下图所示：因为△BCE是等边三角形，所以BE＝BC＝CE，∠BCE＝∠CBE＝∠BEC＝60°，因为∠ABC＝80°，所以∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝80°﹣60°＝20°，因为∠BCD＝160°，所以∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝160°﹣60°＝100°，因为AB＝BC＝CD，所以AB＝BE，CD＝CE，即△ABE和△CDE均是等腰三角形，所以∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABE）÷2＝（180°﹣20°）÷2＝160°÷2＝80°，∠CDE＝∠CED＝（180°﹣∠DCE）÷2＝（180°﹣100°）÷2＝80°÷2＝40°，∠AED＝360°﹣∠BEA﹣∠CED﹣∠BEC＝360°﹣80°﹣40°﹣60°＝180°，这说明A、E、D三点共线，即∠DAB＝∠EAB＝80°。答：∠DAB＝80°。故答案为：80°。20．（4分）花园里的小路如图所示，花仙子每次给花浇水时总是无法不重复走过每一条路．她想从A，B，C，D，E，F，G，H，M，N这10个点中任选两个点给花园加一条路以解决这个问题，那么她有6种方案可选．【解答】解：单数点：A点、C点、D点、F点，共计4个点，4个点选2个点加一条线的加法有：＝＝6（种）。答：花仙子有6种方案可选。故答案为：6。21．（4分）由数字1、2、3组成五位数，要求五位数中1、2、3至少各出现一次，那么这些五位数的平均值等于22222。【解答】解：由数字1，2，3组成的五位数总共有35个，扣除仅含两种数字的情况：35﹣3×25＝243﹣96＝147（个），由于仅含一种数字的情况（如11111）被重复扣除了，需加回，即147+3×1＝150（个）。所以由数字1、2、3组成五位数，要求五位数中1、2、3至少各出现一次的五位数共计150个。由于1，2，3在条件中是对称的，我们只需分析万位，其他数位规律相同：万位为1的个数：固定万位为1，剩余4位需包含2和3，个数为34﹣24﹣24+1＝50（个），同理，万位为2、3的个数均为50。万位数字总和：50×（1+2+3）＝300，由于每一位（万、千、百、十、个）的数字总和均为300，因此总和为：S＝300×（10000+1000+100+10+1）＝300×11111＝3333300，平均值＝3333300÷150＝22222。答：这些五位数的平均值等于22222。故答案为：22222。22．（4分）李老师近期计划购置一辆家用轿车，在预算范围内看中了两款价格相同的车型：燃油版轿车和纯电动轿车．两款车型的核心使用成本参数如下：车型关键参数单位成本续航信息燃油版轿车油箱容积：50升油价：9元/升满油状态下可行驶600千米纯电动轿车电池电量：65千瓦时电价：0.6元/千瓦时满电状态下可行驶468千米已知燃油版轿车和纯电动轿车每年的其他固定费用分别为5000元和7500元，那么每年行驶里程多于3750千米时，购买纯电动轿车的年费用更低．（年费用＝年行驶费用+年其他固定费用）【解答】解：设每年行驶里程为x千米。燃油版轿车每千米的燃油费用：50×9÷600＝0.75（元/千米），燃油版轿车的年行驶费用为：0.75x元，燃油版轿车的年费用为：0.75x+5000元，纯电动轿车每千米的电费：65×0.6÷468＝（元/千米），纯电动轿车的年行驶费用为：x元，纯电动轿车的年费用为：x+7500元，要使购买纯电动轿车的年费用更低，则：x+7500＜0.75x+5000，解得：x＞3750。答：每年行驶里程多于3750千米时，购买纯电动轿车的年费用更低。故答案为：3750。23．（4分）若一个三位自然数的所有数位上数字的3次方和等于这个数本身，则称这个数是水仙花数．例如13+53+33＝153．水仙花数只有4个，并且其余3个水仙花数都含有数字7，四个水仙花数之和是1301．【解答】解：设水仙花数为，则（a、b、c不相等）已知其余3个水仙花数都含有数字7，73＝343，则＝343+b3+c3，或＝a3+343+c3，或＝a3+b3+343，因为73+63+63＝775，a、b、c不相等，所以＝343+b3+c3，不成立，则＝a3+343+c3，或＝a3+b3+343，所以a≥3，当a＝3时，＝33+343+c3，则c＝0或1，＝33+b3+343，没有符合要求的b，当a＝4时，＝43+343+c3，没有符合要求的c，＝43+b3+343，则b＝0，所以其他三个水仙数是370、371、407，四个水仙花数之和：153+370+371+407＝1301。故答案为：1301。24．（4分）如图，A、B、C、D四地分别位于正方形的四个顶点上，甲从A地向B地，乙从B地向A地，丙从C地向D地，丁从D地向C地分别沿图示的方向同时出发，匀速前进。若甲、乙、丙、丁都尚未走回各自的起点，甲出发后16分钟第一次遇到乙，72分钟时第一次遇到丁，120分钟时第一次追上丙，丁出发后n分钟第一次遇到丙，乙出发m分钟第一次追上丁，那么n+m＝136。【解答】解：设正方形边长为s，甲、乙、丙、丁的速度依次为v甲、v乙、v丙、v丁。因为甲出发后16分钟第一次遇到乙，所以s＝16（v甲+v乙）即v甲+v乙＝……①因为甲出发后72分钟时第一次遇到丁，所以3s＝72（v甲+v丁）即v甲+v丁＝＝……②因为甲出发后120分钟时第一次追上丙，所以2s＝120（v甲﹣v丙）即v甲﹣v丙＝＝……③②﹣③可得：v丙+v丁＝﹣＝，因为丁出发后n分钟第一次遇到丙，所以n＝s÷（v丙+v丁）＝s÷＝40（分钟），①﹣②可得：v乙﹣v丁＝﹣＝，因为乙出发m分钟第一次追上丁，所以m＝2s÷（v乙﹣v丁）＝2s÷＝96（分钟），所以n+m＝40+96＝136（分钟）。答：n+m＝136。故答案为：136。25．（4分）有一个四位自然数，若将它的千位、百位、十位、个位数字分别单独改为1，则这四个新数均能被7整除．符合条件的四位自然数之和是11318．【解答】解：设四位自然数N＝＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d是数字，a≥1），因为1000（mod7）＝142×7+6（mod7）＝6（mod7），100（mod7）＝14×7+2（mod7）＝2（mod7），10（mod7）＝1×7+3（mod7）＝3（mod7），所以N≡6a+2b+3c+d（mod7）。根据题意可得：千位改1：1000×1+100b+10c+d|7，因为N＝1000a+100b+10c+d，所以100b+10c+d＝N﹣1000a，即1000+（N﹣1000a）≡0（mod7），化简可得：6+（N﹣6a）≡0（mod7），即N﹣6a≡1（mod7），而N≡6a+2b+3c+d（mod7），所以6a+2b+3c+d﹣6a≡1（mod7），即2b+3c+d≡1（mod7）……①百位改1：1000a+100×1+10c+d|7，因为N＝1000a+100b+10c+d，所以1000a+10c+d＝N﹣100b，即100+（N﹣100b）≡0（mod7），化简可得：2+（N﹣2b）≡0（mod7），即N﹣2b≡5（mod7），而N≡6a+2b+3c+d（mod7），所以6a+2b+3c+d﹣2b≡5（mod7），即6a+3