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文档简介
2026年江苏省扬州市仙城联合体初三第一次测试数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.某种超薄气球表面的厚度约为,这个数用科学记数法表示为()A. B. C. D.2.如图是几何体的俯视图,所表示数字为该位置小正方体的个数,则该几何体的正视图是()A. B. C. D.3.这个数是()A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数4.如图,△ABC中,若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式正确的是()A. B.C. D.5.如图是一次数学活动课制作的一个转盘,盘面被等分成四个扇形区域,并分别标有数字6、7、8、1.若转动转盘一次,转盘停止后(当指针恰好指在分界线上时,不记,重转),指针所指区域的数字是奇数的概率为()A.12 B.14 C.16.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A,B,C.现有下面四个推断:①抛物线开口向下;②当x=-2时,y取最大值;③当m<4时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等的实数根;④直线y=kx+c(k≠0)经过点A,C,当kx+c>ax2+bx+c时,x的取值范围是-4<x<0;其中推断正确的是()A.①② B.①③ C.①③④ D.②③④7.某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是()A.10,15 B.13,15 C.13,20 D.15,158.两个一次函数,,它们在同一直角坐标系中的图象大致是()A. B. C. D.9.三个等边三角形的摆放位置如图,若∠3=60°,则∠1+∠2的度数为()A.90° B.120° C.270° D.360°10.如图,AB∥CD,点E在线段BC上,CD=CE,若∠ABC=30°,则∠D为()A.85° B.75° C.60° D.30°11.方程组的解x、y满足不等式2x﹣y>1,则a的取值范围为()A.a≥ B.a> C.a≤ D.a>12.如图,,且.、是上两点,,.若,,,则的长为()A. B. C. D.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.因式分解:x2﹣4=.14.某商场对今年端午节这天销售A、B、C三种品牌粽子的情况进行了统计,绘制了如图1和图2所示的统计图,则B品牌粽子在图2中所对应的扇形的心角的度数是_____.15.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC;②四边形ADEF为菱形;③.其中正确的结论是____________.(填写所有正确结论的序号)16.分解因式:9x3﹣18x2+9x=.17.如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点,那么a的取值范围是_____.18.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BC边上的高AD=6cm,腰AB上的高CE=8cm,则BC=_____cm三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)如图,已知△ABC内接于⊙O,BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G,垂足为F.连接OC.(1)若∠G=48°,求∠ACB的度数;(1)若AB=AE,求证:∠BAD=∠COF;(3)在(1)的条件下,连接OB,设△AOB的面积为S1,△ACF的面积为S1.若tan∠CAF=,求的值.20.(6分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD、BD、CD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=10,OE=3,求tan∠DBC的值.21.(6分)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数的图像与边长是6的正方形的两边,分别相交于,两点.若点是边的中点,求反比例函数的解析式和点的坐标;若,求直线的解析式及的面积22.(8分)如图,已知点D、E为△ABC的边BC上两点.AD=AE,BD=CE,为了判断∠B与∠C的大小关系,请你填空完成下面的推理过程,并在空白括号内注明推理的依据.解:过点A作AH⊥BC,垂足为H.∵在△ADE中,AD=AE(已知)AH⊥BC(所作)∴DH=EH(等腰三角形底边上的高也是底边上的中线)又∵BD=CE(已知)∴BD+DH=CE+EH(等式的性质)即:BH=又∵(所作)∴AH为线段的垂直平分线∴AB=AC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)∴(等边对等角)23.(8分)九(1)班同学分成甲、乙两组,开展“四个城市建设”知识竞赛,满分得5分,得分均为整数.小马虎根据竞赛成绩,绘制了如图所示的统计图.经确认,扇形统计图是正确的,条形统计图也只有乙组成绩统计有一处错误.(1)指出条形统计图中存在的错误,并求出正确值;(2)若成绩达到3分及以上为合格,该校九年级有800名学生,请估计成绩未达到合格的有多少名?(3)九(1)班张明、李刚两位成绩优秀的同学被选中参加市里组织的“四个城市建设”知识竞赛.预赛分为A、B、C、D四组进行,选手由抽签确定.张明、李刚两名同学恰好分在同一组的概率是多少?24.(10分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,AB,DC的延长线交于点E.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)若BE=3,CE=3,求图中阴影部分的面积.25.(10分)“足球运球”是中考体育必考项目之一.兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况,随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,制成了如下不完整的统计图.(说明:A级:8分﹣10分,B级:7分﹣7.9分,C级:6分﹣6.9分,D级:1分﹣5.9分)根据所给信息,解答以下问题:(1)在扇形统计图中,C对应的扇形的圆心角是_____度;(2)补全条形统计图;(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在_____等级;(4)该校九年级有300名学生,请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人?26.(12分)如图,AB是⊙O的直径,点E是AD上的一点,∠DBC=∠BED.(1)请判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)已知AD=5,CD=4,求BC的长.27.(12分)如图1,抛物线y=ax2+(a+2)x+2(a≠0),与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点P(m,0)(0<m<4),过点P作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点M.(1)求抛物线的解析式;(2)若PN:PM=1:4,求m的值;(3)如图2,在(2)的条件下,设动点P对应的位置是P1,将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2,旋转角为α(0°<α<90°),连接AP2、BP2,求AP2+的最小值.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、A【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【详解】,故选:A.本题考查了用科学记数法表示较小的数,一般形式为,其中,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.2、B【解析】
根据俯视图中每列正方形的个数,再画出从正面看得到的图形即可.【详解】解:主视图,如图所示:.故选B.本题考查由三视图判断几何体;简单组合体的三视图.用到的知识点为:主视图是从物体的正面看得到的图形;看到的正方体的个数为该方向最多的正方体的个数.3、D【解析】
由于圆周率π是一个无限不循环的小数,由此即可求解.【详解】解:实数π是一个无限不循环的小数.所以是无理数.
故选D.本题主要考查无理数的概念,π是常见的一种无理数的形式,比较简单.4、C【解析】
根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系,对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解:∵DE∥BC,∴=,BD≠BC,∴≠,选项A不正确;∵DE∥BC,EF∥AB,∴=,EF=BD,=,∵≠,∴≠,选项B不正确;∵EF∥AB,∴=,选项C正确;∵DE∥BC,EF∥AB,∴=,=,CE≠AE,∴≠,选项D不正确;故选C.本题考查了平行线分线段成比例定理;熟练掌握平行线分线段成比例定理,在解答时寻找对应线段是关健.5、A【解析】
转盘中4个数,每转动一次就要4种可能,而其中是奇数的有2种可能.然后根据概率公式直接计算即可【详解】奇数有两种,共有四种情况,将转盘转动一次,求得到奇数的概率为:P(奇数)=24=1此题主要考查了几何概率,正确应用概率公式是解题关键.6、B【解析】
结合函数图象,利用二次函数的对称性,恰当使用排除法,以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案.【详解】解:①由图象可知,抛物线开口向下,所以①正确;
②若当x=-2时,y取最大值,则由于点A和点B到x=-2的距离相等,这两点的纵坐标应该相等,但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等,所以②错误,从而排除掉A和D;
剩下的选项中都有③,所以③是正确的;
易知直线y=kx+c(k≠0)经过点A,C,当kx+c>ax2+bx+c时,x的取值范围是x<-4或x>0,从而④错误.故选:B.本题考查二次函数的图象,二次函数的对称性,以及二次函数与一元二次方程,二次函数与不等式的关系,属于较复杂的二次函数综合选择题.7、D【解析】
将五个答题数,从小打到排列,5个数中间的就是中位数,出现次数最多的是众数.【详解】将这五个答题数排序为:10,13,15,15,20,由此可得中位数是15,众数是15,故选D.本题考查中位数和众数的概念,熟记概念即可快速解答.8、B【解析】
根据各选项中的函数图象判断出a、b的符号,然后分别确定出两直线经过的象限以及与y轴的交点位置,即可得解.【详解】解:由图可知,A、B、C选项两直线一条经过第一三象限,另一条经过第二四象限,
所以,a、b异号,
所以,经过第一三象限的直线与y轴负半轴相交,经过第二四象限的直线与y轴正半轴相交,
B选项符合,
D选项,a、b都经过第二、四象限,
所以,两直线都与y轴负半轴相交,不符合.
故选:B.本题考查了一次函数的图象,一次函数y=kx+b(k≠0),k>0时,一次函数图象经过第一三象限,k<0时,一次函数图象经过第二四象限,b>0时与y轴正半轴相交,b<0时与y轴负半轴相交.9、B【解析】
先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°,用∠1,∠2,∠3表示出△ABC各角的度数,再根据三角形内角和定理即可得出结论.【详解】∵图中是三个等边三角形,∠3=60°,
∴∠ABC=180°-60°-60°=60°,∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2,
∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1,
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴60°+(120°-∠2)+(120°-∠1)=180°,
∴∠1+∠2=120°.
故选B.考查的是等边三角形的性质,熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键.10、B【解析】分析:先由AB∥CD,得∠C=∠ABC=30°,CD=CE,得∠D=∠CED,再根据三角形内角和定理得,∠C+∠D+∠CED=180°,即30°+2∠D=180°,从而求出∠D.详解:∵AB∥CD,∴∠C=∠ABC=30°,又∵CD=CE,∴∠D=∠CED,∵∠C+∠D+∠CED=180°,即30°+2∠D=180°,∴∠D=75°.故选B.点睛:此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理,解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C,再由CD=CE得出∠D=∠CED,由三角形内角和定理求出∠D.11、B【解析】
方程组两方程相加表示出2x﹣y,代入已知不等式即可求出a的范围.【详解】①+②得:解得:故选:B.此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.12、D【解析】分析:详解:如图,∵AB⊥CD,CE⊥AD,∴∠1=∠2,又∵∠3=∠4,∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,即∠A=∠C.∵BF⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,ED=BF=b,又∵EF=c,∴AD=a+b-c.故选:D.点睛:本题主要考查全等三角形的判定与性质,证明△ABF≌△CDE是关键.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、(x+2)(x-2).【解析】试题分析:直接利用平方差公式分解因式得出x2﹣4=(x+2)(x﹣2).考点:因式分解-运用公式法14、120°【解析】
根据图1中C品牌粽子1200个,在图2中占50%,求出三种品牌粽子的总个数,再求出B品牌粽子的个数,从而计算出B品牌粽子占粽子总数的比例,从而求出B品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数.【详解】解:∵三种品牌的粽子总数为1200÷50%=2400个,又∵A、C品牌的粽子分别有400个、1200个,∴B品牌的粽子有2400-400-1200=800个,则B品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数为360×.故答案为120°.本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.15、①②③【解析】
①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC,进而可证出△ADF≌△FEC(SSS),结论①正确;②根据三角形中位线定理可得出EF∥AB、EF=AD,进而可证出四边形ADEF为平行四边形,由AB=AC结合D、F分别为AB、AC的中点可得出AD=AF,进而可得出四边形ADEF为菱形,结论②正确;③根据三角形中位线定理可得出DF∥BC、DF=BC,进而可得出△ADF∽△ABC,再利用相似三角形的性质可得出,结论③正确.此题得解.【详解】解:①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,∴DE、DF、EF为△ABC的中位线,∴AD=AB=FE,AF=AC=FC,DF=BC=EC.在△ADF和△FEC中,,∴△ADF≌△FEC(SSS),结论①正确;②∵E、F分别为BC、AC的中点,∴EF为△ABC的中位线,∴EF∥AB,EF=AB=AD,∴四边形ADEF为平行四边形.∵AB=AC,D、F分别为AB、AC的中点,∴AD=AF,∴四边形ADEF为菱形,结论②正确;③∵D、F分别为AB、AC的中点,∴DF为△ABC的中位线,∴DF∥BC,DF=BC,∴△ADF∽△ABC,∴,结论③正确.故答案为①②③.本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理,逐一分析三条结论的正误是解题的关键.16、9x【解析】试题分析:首先提取公因式9x,然后利用完全平方公式进行因式分解.原式=9x(-2x+1)=9x.考点:因式分解17、a>1【解析】根据二次函数的图像,由抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点,知a>1,故答案为a>1.18、【解析】
根据三角形的面积公式求出=,根据等腰三角形的性质得到BD=DC=BC,根据勾股定理列式计算即可.【详解】∵AD是BC边上的高,CE是AB边上的高,∴AB•CE=BC•AD,∵AD=6,CE=8,∴=,∴=,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC=BC,∵AB2−BD2=AD2,∴AB2=BC2+36,即BC2=BC2+36,解得:BC=.故答案为:.本题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理的应用和三角形面积公式的应用,根据三角形的面积公式求出腰与底的比是解题的关三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)48°(1)证明见解析(3)【解析】
(1)连接CD,根据圆周角定理和垂直的定义可得结论;
(1)先根据等腰三角形的性质得:∠ABE=∠AEB,再证明∠BCG=∠DAC,可得,则所对的圆周角相等,根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论;
(3)过O作OG⊥AB于G,证明△COF≌△OAG,则OG=CF=x,AG=OF,设OF=a,则OA=OC=1x-a,根据勾股定理列方程得:(1x-a)1=x1+a1,则a=x,代入面积公式可得结论.【详解】(1)连接CD,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠ACB+∠BCD=90°,∵AD⊥CG,∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°,∵∠BAD=∠BCD,∴∠ACB=∠G=48°;(1)∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,∵∠ABC=∠G+∠BCG,∠AEB=∠ACB+∠DAC,由(1)得:∠G=∠ACB,∴∠BCG=∠DAC,∴,∵AD是⊙O的直径,AD⊥PC,∴,∴,∴∠BAD=1∠DAC,∵∠COF=1∠DAC,∴∠BAD=∠COF;(3)过O作OG⊥AB于G,设CF=x,∵tan∠CAF==,∴AF=1x,∵OC=OA,由(1)得:∠COF=∠OAG,∵∠OFC=∠AGO=90°,∴△COF≌△OAG,∴OG=CF=x,AG=OF,设OF=a,则OA=OC=1x﹣a,Rt△COF中,CO1=CF1+OF1,∴(1x﹣a)1=x1+a1,a=x,∴OF=AG=x,∵OA=OB,OG⊥AB,∴AB=1AG=x,∴.圆的综合题,考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形,解题的关键是:(1)根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°;(1)根据外角的性质和圆的性质得:;(3)利用三角函数设未知数,根据勾股定理列方程解决问题.20、(1)见解析;(2)tan∠DBC=.【解析】
(1)先利用圆周角定理得到∠ACB=90°,再利用平行线的性质得∠AEO=90°,则根据垂径定理得到,从而有AD=CD;(2)先在Rt△OAE中利用勾股定理计算出AE,则根据正切的定义得到tan∠DAE的值,然后根据圆周角定理得到∠DAC=∠DBC,从而可确定tan∠DBC的值.【详解】(1)证明:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵OD∥BC,∴∠AEO=∠ACB=90°,∴OE⊥AC,∴,∴AD=CD;(2)解:∵AB=10,∴OA=OD=5,∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2,在Rt△OAE中,AE==4,∴tan∠DAE=,∵∠DAC=∠DBC,∴tan∠DBC=.垂径定理及圆周角定理是本题的考点,熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键.21、(1),N(3,6);(2)y=-x+2,S△OMN=3.【解析】
(1)求出点M坐标,利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式,把N点的纵坐标代入解析式即可求得横坐标;
(2)根据M点的坐标与反比例函数的解析式,求得N点的坐标,利用待定系数法求得直线MN的解析式,根据△OMN=S正方形OABC-S△OAM-S△OCN-S△BMN即可得到答案.【详解】解:(1)∵点M是AB边的中点,∴M(6,3).∵反比例函数y=经过点M,∴3=.∴k=1.∴反比例函数的解析式为y=.当y=6时,x=3,∴N(3,6).(2)由题意,知M(6,2),N(2,6).设直线MN的解析式为y=ax+b,则,解得,∴直线MN的解析式为y=-x+2.∴S△OMN=S正方形OABC-S△OAM-S△OCN-S△BMN=36-6-6-2=3.本题考查了反比例函数的系数k的几何意义,待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式,正方形的性质,求得M、N点的坐标是解题的关键.22、见解析【解析】
根据等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质解答即可.【详解】过点A作AH⊥BC,垂足为H.∵在△ADE中,AD=AE(已知),AH⊥BC(所作),∴DH=EH(等腰三角形底边上的高也是底边上的中线).又∵BD=CE(已知),∴BD+DH=CE+EH(等式的性质),即:BH=CH.∵AH⊥BC(所作),∴AH为线段BC的垂直平分线.∴AB=AC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等).∴∠B=∠C(等边对等角).本题考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质,等腰三角形的底边中线、底边上的高、顶角的角平分线三线合一;线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;23、(1)见解析;(2)140人;(1).【解析】
(1)分别利用条形统计图和扇形统计图得出总人数,进而得出错误的哪组;(2)求出1分以下所占的百分比即可估计成绩未达到合格的有多少名学生;(1)根据题意可以画出相应的树状图,从而可以求得张明、李刚两名同恰好分在同一组的概率.【详解】(1)由统计图可得:(1分)(2分)(4分)(5分)甲(人)01764乙(人)22584全体(%)512.5101517.5乙组得分的人数统计有误,理由:由条形统计图和扇形统计图的对应可得,2÷5%=40,(1+2)÷12.5%=40,(7+5)÷10%=40,(6+8)÷15%=40,(4+4)÷17.5%≠40,故乙组得5分的人数统计有误,正确人数应为:40×17.5%﹣4=1.(2)800×(5%+12.5%)=140(人);(1)如图得:∵共有16种等可能的结果,所选两人正好分在一组的有4种情况,∴所选两人正好分在一组的概率是:.本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.24、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)连接OC,如图,利用切线的性质得CO⊥CD,则AD∥CO,所以∠DAC=∠ACO,加上∠ACO=∠CAO,从而得到∠DAC=∠CAO;(2)设⊙O半径为r,利用勾股定理得到r2+27=(r+3)2,解得r=3,再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60°,然后根据扇形的面积公式,利用S阴影=S△COE﹣S扇形COB进行计算即可.【详解】解:(1)连接OC,如图,∵CD与⊙O相切于点E,∴CO⊥CD,∵AD⊥CD,∴AD∥CO,∴∠DAC=∠ACO,∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO,∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB;(2)设⊙O半径为r,在Rt△OEC中,∵OE2+EC2=OC2,∴r2+27=(r+3)2,解得r=3,∴OC=3,OE=6,∴cos∠COE=,∴∠COE=60°,∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=•3•3﹣.本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.也考查了圆周角定理和扇形的面积公式.25、(1)117;(2)答案见图;(3)B;(4)30.【解析】
(1)先根据B等级人数及其百分比求得总人数,总人数减去其他等级人数求得C等级人数,继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得;(2)根据以上所求结果即可补全图形;(3)根据中位数的定义求解可得;(4)总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得.【详解】(1)∵总人数为18÷45%=40人,∴C等级人数为40﹣(4+18+5)=13人,则C对应的扇形的圆心角是360°×1340故答案为:117;(2)补全条形图如下:(3)因为共有40个数据,其中位数是第20、21个数据的平均数,而第20、21个数据均落在B等级,所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级,故答案为:B.(4)估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×440本题考查了条形统计图和扇形统计图的综
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