数学分析知识点总结

第一章实数集与函数§1教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式（分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引 言要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质1 、 实 数qpq0) p Rx|x为实数--全体实数的集合．1,,n1,,n1x(an；；0 i中其xa数小限正 有于对对于正整数对于正整数x,则记x对于负有限小（包括负整数，则先将y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．00＝例： ；；32.9999；2.0012.00999932.9999利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？bnbnan)1xan)

，y

.其中a0,b0为

ak,b

(k

00bk

．若有akbk,k0,1,，则称x与y相等，记为xy；若a0b0或存在非负整数l，使得bk,k,l而则称x大于y或y小于x分别记为xyyxxy，若按上述规定分别有xy或xy，则分别xyxy（yx规定：任何非负实数大于任何负实数．an实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较an定义2（不足近似与过剩近似

x

为非负实数，称有理数xa.a

为实数x的n位不足近似；xx1

称为实数x的n位过剩近n 01

ann n 10nanan110n似，nan110nanxan

，其n

a0

；n位过剩近似a0.注实数x的不足近似xn当n增大时不减即有；过剩近似xn当n增大时不增，即有．an命题xan

，y

为两个实数，则xy的等价条件bnbnnyn（xnx的nyny的n位过剩近似．命题应用例1．设x,y 为实数，xy，证明存在有理数r，满足xry．2xyxy．令r1x

yrn n为有理数，且xxnryny．即xry．

2 n n3、实数常用性质（（R对0）仍是实数．有序性：a,bR，关系aaab传递性Rab,bac．阿基米德性a,bR,ba0N使得b．稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．一一对应关系R与数轴上的点有着一一对应关系．例2．设a,bR，证明：若对任何正数，有ab，则ab．（ab）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a的绝对值的定义为|a|

a0．2、几何意义

a a0从数轴看，数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离．|xa|x与a之间的距离．3、性质1）|a|a;|a0a0（非负性；2）|aaa|；3）|ahhah，|ahha；4）对任何,bR有|a||b|ab|a||b|（三角不等式；5）|ab||a||b|；6）b

|a|（b0|b|3三、几个重要不等式1、a2b22ab,

1.

sinxx.2、均值不等式:对a1,a2

,,

R,记a2an 1nM()

ni1n

(算术平均值)1n nna1a2na1a2an

(几何平均值)H(a)

i1 n

n

(调和平均值)ni 11 1 1nn

1a2

an ni1

i1有平均值不等式:H()G()M(),即：11annaa12ana1a2nan11a2等号当且仅当a1a2an时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式x)n1nx1x0nN且n2时,有严格不等式(1x)n1证：由1x0且1x

(1x)nn1(1x)n111n(1x)nn n(1x).(1x)nn(1x)n4、利用二项展开式得到的不等式:对h0,由二项展开式(1h)n1nhn(n1)h2n(n1)(n2)h3hn,有 (1h)n上式右端任何一项.［练习］P4．5

一实数及其性质［课堂小结二绝对值与不等式.[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，34§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：掌握邻域的概念；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言了第一章§11、证明：对任何 x

有：(1)|x1||x2

；(2)|x1||x2||x3|2.（

x11(x2)1x2,x1x21）x1x2,x2x3,x2x3）2|x||y|xy|.3、设a,bR，证明：若对任何正数有ab，则ab.4、设x,yR,xy，证明：存在有理数r满足yrx.[引申]1思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）5有限区间设a,bR且ab.区间无限区间

，其中有限区间

xR|ax(a,b)xR|ax[a,b] xR|ax[a,b)半开半闭区间 xR|ax(a,b]xR|x[a,).xR|x(,a].无限区间xR|xa).xR|xa(,a).xR|x.2、邻域a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a语言来表达呢？a的邻域：设aR,0，满足不等式|xax的集为U(a合称为点a的邻域，记作U(a为U(aU(a;)x|xa|(a,a).其中a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.点a的空心邻域Uo(a;)x0xa(a,a)(a,a)a的右邻域和点a的空心右邻域

Uo(a).U(a;)[a,a) U(a)xaxa;U0(a;)(a,a) U0(a)xaxa. 点a的左邻域和点a的空心左邻域U(a;)(a,U0(a;)(a,a)

U(a)xaxa;U0(a)xaxa.（5）邻域U)x|xM,（M；6U()xxM,U()xxM二、有界集与无界集1SR中的一个数集.若存在数M(LxSxM(xLS（下界的数集.数M(LS（下界SS闭区间ab、开区间(a,ba,b为有限数、邻域等都是有界数集，集合E

y

x(,)也是有界数集.若数集S不是有界集，则称S为无界集.(,)

(,0)

(0,)等都是无界数集,集合Ey

y1,x

x(0,1)也是无界数集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）S例1 讨论数集N|的有界性.解：任取n0N，显然有n01，所以N有下界1；NNM,，按定义，对任意N0M，这是不可能的，如取0[M]1MM）则N，且M.综上所述知：N是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2（1）（2）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 有无穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义上确界） 设S是R中的一个数集若数满足对一切xS,7有x（即是S的上界）;(2) 对任何，存在S，使得（即S，则称数S上确界，记作pS.从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.1M

充要条件1）E,xM；2）S,M.20,xE,xMo，与M是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法ME的上确界，即M0MM0.令MM00盾.

EMM0，与M0E的上界矛定义（下确界SR（1xS,有x（即S（2）对任何0S0（即是S，则称数S下确界，记作fS.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.

infS的充要条件：1）E,x；2）＞0，S,x0.上确界与下确界统称为确界. (1)n3（1）S

,则supS1；infS0.n （2）E

y

x(0,).则supS1；infS0.注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.3：A有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设A，A且，则不妨设supAxA有xsupA对，x0A使x0，矛盾.8R

，sup

n1

，inf

n1 n1

n1 2 E则有E 开区间a,b与闭区间a,b有相同的上确界b与下确界a4SA是非空数集，且有S则有supSsup,SA..例5AB是非空数集.若对AB,都有xy,则有supAinfB.证明：yB,

y是A的上界,

supA

sup

是B的下界,supAinfB.6ABSAB.SABSxAxB由A和BAB的下界,有xAx

xmininfA,infB.即mininfA,infB是数集S的下界,infSmininfA,infB.又

SA,

S的下界就是A的下界,infS是S的下界,infS是A的下界,infSinfB.于是有infSmininfA,infB.综上,有infSmininfA,infB.

infSinfA;同理有数集与确界的关系:3⑵为例做解释.确界与最值的关系:设E为数集.EE,但确界未必,确界是一种临界点.非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.若E存在,必有EsupE对下确界有类似的结论.确界原理:Th1.1SSSS有S必有下确界.9这里我们给一个可以接受的说明

ER,E非空，xE，我们可以找到一个整数p，使得p不是E上界，而p1E的上界.然后我们遍查,,p，我们可以找到一个q0，0q09E上p.(q01E上界，如果再找第二位小数q1如此下去，最后得到q1q2E的上确界.（S的元素都为非负数，则存在非负整数n，使得Sxn；Sxn1；把区间(,n]10n.1，ｎ.2ｎ.9,存在11）Sx；2）存在xS，使得x2n.n11．2再对开区间(n.n,n.n

101]10等分，同理存在n，使得1 1 10 2xSx；x2x2

1102继续重复此步骤，知对任何k1,2,，存在nk使得10k10k

x

，xn.n1n2nk1；xkSxknk．因此得到nk．以下证明S．（ⅰ）对任意xS，x；（ⅱ）对任何，存在xS使x．［作业：9 1（1（2； 2；4（2（4；７§3函数概念授课章节：第一章实数集与函数——§3函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念.教学要求：函数的各种表示法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引 言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节10将对此作进一步讨论.一、函数的定义１．定义１ 设MR，如果存在对应法则f，使对D，存在唯一的一个数yM与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f:DMx|y.Dfxyfxf(x).全体函数值的集合称为函数f的值域，记作f(D).即f(D)y|yf(x),xD.２．几点说明fDMfD到M的函数关xyxf(x.习惯上称x自变量，y为因变量.则.所以函数也常表示为：yf(x),xD.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）f(xx义域不同）

g(x)1,xR\0.（不相同，对应法则相同，定2）(x)x|,x形式不同）.

(x)

x2,xR.（相同，只是对应法则的表达函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的fyf(x”或f”.f本质上是映射，对于aDf(a称为f下aaf(a的原象.11Dy值与它对应，这样定义的xy数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.二、函数的表示方法主要方法：解析法（公式法、列表法（表格法）和图象法（图示法）.可用“特殊方法”来表示的函数.分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.1x,例如 sg x,（符号函数）1x,（借助于sgnx可表示f(x)|x|,即f(x)|x|xsgnx）.用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数例 １）y[x]（取整函数）比如：[3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有xxx1,即0xx1.与此有关一个的函数yxx x（非负小数函数）图是一条大锯，画出图看一看.２）狄利克雷（Dirichlet）函数0,D(x)0,这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman）函数1,xppqN,pR(x)q q q,x,(,三 函数的四则运算fxgxD上的和、差、积运算如下：

D

Dfg在HH(x)f(x)g(x),xD.；G(x)f(x)g(x),xD；F(x)f(x)g(x),xD12Dg(x)0

D\xg(x)0,xD2，可在DfgL(x)

f(x),xD.g(x)注：１）若D，则f与g不能进行四则运算.２）为叙述方便，函数f与g的和、差、积、商常分别写为：fg,

fg,

fg, f.g四、复合运算１．引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为m的物体自由下落，速度为v，则功率E为E1mv212vgt

E

mg2t2.2f(v1mv2vgt，把v(t代2入f，即得f(v(t))1mg2t2.2这样得到函数的过程称为“函数复合，所得到的函数称为“复合函数[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；yf(u)arcsinu,uD[1,1],ug(x)2x2,xER.的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.．定义（复合函数） 设有两个函数yf(u),uD,ug(x),xE，xE f(x)x

E

xEgD内唯一一个值u，而ufyExyyf(g(xxEyfg)(xxE.简记为fgfgfgu为中间变13量.例子例 y域.

f(u) u

ug(x)1x2.

求fg(x)

fg(x).并求定义例 ⑴f(1x)x2xf(x).⑵ fx1x21. 则 xx2 xx2f(x)( )1x21x2

B. x2

C. x2

D. x2例讨论函数yf(u)进行复合，求复合函数.4 说明

u,u[0,)与函数ug(x)

,xR能否u,u,例 如

ys i

v

， 复 合 成 ：ys i nx1 x,.时也要注意定义域的变化.①y

1x2,xyu,u

z,z1x2.x21a②x21a

yu,u

v,vx21.③yn2xyu,uv2,vn.五、反函数１.引言在函数yf(x)中把x叫做自变量，y叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：f(u)

u,ut2

那么u对于f来讲是自变量，但对t来讲，u是因变量.习惯上说函数yf(x)中x是自变量，y是因变量，是基于y随x的变化现14时变化.但有时我们不仅要研究y随x的变化状况，也要研究x随y的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.２.反函数概念

f:XR是一函数，如果

x1，x2X,由x1x2f(x1)f(x2)f(x1f(x2x2fX1-1fXYYfX)f为满的.若 f:XY是满的1-1的，则称f为1-1对应.f:XR是1-1的意味着yf(x)对固定y至多有一个解xf:XY1-1yYy解x.

f(x)有且仅有一个定义 设f:XY是1-1对应.Y,由y

f(x)唯一确定一个xX,由这种对应法则所确定的函数称为y函数，记为xf1(y).反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域f:XYf1:YX

f(x)的反显然有

f1f

I:XX

(恒等变换）ff1I:YY(f1)1f:XY.

(恒等变换)从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为

yf1(x),这样它的图形与yf(x)的图形是关于对角线yx对称的. y严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数.但1-1对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子f(x)x,

0x13x,

1x2它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行： 0 x

f:XYX和值域Y1-1

yY，解方程

f(xy

xf1(y).15xy

yf1(x).例 求ysh(x)

exex2

：RR的反函数.解 固定y，为

exex，令yy

exz

，方程变为2zyz21z22zy1y21zy21

(舍去y )y21xy21

y21yln(x

x21)sh1(x)，称为反双曲正弦.定理 给定函数yf(x)，其定义域和值域分别记为X和Y，若在Ygy)

g(f(x))x,则有g(y)f1(y).分析：要证两层结论：一是yf(x)的反函数存在，我们只要证它是1-1对应就行了；二是要证g(y)f1(y).证要证yf(x)的反函数存在，只要证f(x)是X到Y的1-1对应.x1，x2X，若f(x1)f(x2)，则由定理条件，我们有g(f(x1))x1x2，即 f:X

g(f(x2))x2是1-1对应.gyf1y

yYxXyf(x.由反函数定义

xf1(y)，再由定理条件g(y)g(f(x))x.g(y)f1(y)|不动点.y例 f:RR，若f(f(x))存在唯一（|）不动点，则f|不动点.y证 存在性，设x*

f[f(x*)]，f(x*)

ff[f(x*)]，f(x*fff(x*x*，f(xx*.xf(xx

f(x)

f(f(x))，y=f(x)y=f(x)y=f-1(x)00说明x是ff的不动点，由唯一性，y=f(x)y=f(x)y=f-1(x)00设函数yf(x),xD.满足：对于值域f(D)中的每一xf(x)yf(D上的函数，称这个函数为f16的反函数，记作16f1:f(DDyxxf1yyf(D.３、注释f有反函数，意ff(Df1f的逆映射，它把f(D)D；函数f

f

f1(f(x))x,xD,f(f1(x))y,yf(D).xf1yyf(Dyx为因变量.x做为自变量的记号，yff1可以改写为yf1(x),xf(D).法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.六、初等函数1.基本初等函数（６类）常量函数 yC（Ｃ为常数；幂函数

yx(R)；指数函数yax(a0,a1)；对数函数

yloagx

0a,；三角函数

ysix

c

tgx；反三角函数

yarcsxiny

, arycsr

tgx.注：幂函数yx(R)和指数函数yax(a0,a1)都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理性质.17定义２．给定实数a0,a1，设x为无理数，我们规定：ax

par|,a infar|r为有理数,当0a1时.r<x这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义ax的缺陷．[问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？”２．初等函数定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数y2sinx

x,y 1 logxsin(),sin(),y

esin

x1x2

,y|x|.DirichletRiemann取整函数等都是非初等函数.注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与xxxx1（１） y

；

yln|sinx|.初等函数的几个特例: 设函数f(x)和g(x)都是初等函数,则（1）

f(

是初等函数, 因

f(x)

f(x)2.(x)(xg(x)和(x)minf(xg(x)都是初等函数,因为 (x)(x),g(x)1f(x)g(x)2

f(x)g(x),(x)minf(x),g(x)

1f(x)g(x)2

f(x)g(x).幂指函数f(x)g(x)f(x)0是初等函数,因为f(x)g(x)

elnf(x)g(x

eg(x)lnf(x).［作业］

15：3；4:（２（３； 5:（２； 7:（３；11§4具有某些特性的函数授课章节：第一章实数集与函数——§4具有某些特性的函数18教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的义；会求一些简单周期函数的周期.教学重点：函数的有界性、单调性.教学难点：周期函数周期的计算、验证.教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成.教学程序：引 言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.一、有界函数1、有上界函数、有下界函数的定义1fDM(LxD有f(x)Mf(x)L)fD（下）M(LfD（1）fD（下）f(D)是一个有上（下）界的数集；（2）又若M(LfD（下）界，则任何大于Ｍ（Ｌ）fD（下）界.所以，函数的上（下）ysinx－11任给一个函数，不一定有上（下）界；由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：f在D上有界f(D)是一个有界集f在D上既有上界又有下界f在D上的有上界函数，也为D上的有下界函数.2、有界函数定义定义2设f为定义在D上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个xD有|f(xMfD（1）f为DfyM和yM之间；（2）f在D上有界f在D上既有上界又有下界；例子：ysinx,ycosx；（3）fD3、例题例 1 证明f

X Mm，使得对X,mf(x)M.证明如果f:

X M>0X

f(x)M，即19Mf(xM,取mMMM即可.反之如果Mm使得Xm

f(x)M，令M0maxM1,m，则f(x)M0，即M00，使得对xX有

f(x)M0，即f:

X 有界.例2．证明例 3．

f(x)1为(0,1]上的无上界函数.xf,g 为 D 上的有界函数.证明：（1）f(x)infg(x)f(x)g(x)；（2）supf(x)g(x)f(x)supg(x).4

f(x)

5x2x2

在R内有界.解法一 由2x23

2x)2(

3)22

2x

2 xx0时,有f(x)

5x 365x2x232x365x2x23

5 3.5x265x26xf(0)

03,xR,总有

f(x)

即f(x)在R内有界.解法二 根.

y 5x , 2x23

x

2yx25x3y0有实数 5224y2

y22524

y2.解法三 令x 3tgt,t,对应x(,).于是 53tgt222253tgt22225 3 3 22tf5 3 3 22t

5sint 1 2x23

3 2

6costsec2t2 5sin26二、单调函数

2

3f(

5sin26

5.263fD

f(x1)f(x2)，fDff(x2fDff(x2fDff(x2fD例5．证明：yx3在(,)上是严格增函数.证明：设xx

，x3x3

x)(x2x

x2)1 2 1

1 2

12 2xx0x0xx3x312 2 1 1 220xx0x2xxx20,x3x312 1 12 2 1 2故x3x30即得证.1 2例6．讨论函数y[x]在R上的单调性.R

1212R上的不是严格增函数.注f可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理1yfxx

（减ff1

f1在其定义域f(D)上也是严格增（减）函数.fD上严格增函数.对f(DxD,f(x)y.下面证明这x只有一个.事实上，对于DxfD上严格增函数，当x

f)

，当 x

f)

，总之

fy .即yf(D),都只存在唯一的一xD,使得f(x)y，从而例7 讨论函数yx2在上反函数的存在性如果yx2在上不存在反函数，在(,)的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8 证明：yax当a1时在Ｒ上严格增，当0a1时在R上严格递减三、奇函数和偶函数定义4. 设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数.若对每一个xD有（1）f(x)f(x)fD（2）f(x)f(x)，则fD注（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称，偶函y轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此f(x)x,x[0,1]没有必要讨论奇偶性. 从奇偶性角度对函数分类： ；非奇非偶函数:y=sinx+cosx y0四、周期函数1、定义f为定义在数集D上的函数，若存在0，使得对一切xD有f(x)f(x)，则称f为周期函数，称为f的一个周期.2、几点说明：若f的周期，则(nNf的周期，所以周期若存在，则21yx,

.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的“基本周期”，简称“周期”.如ysinx，周期为2；任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1）yx1，不是周期函数；2）yC（Ｃ为常数期.第二章数列极限引 言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.,1,,, ,1,,, 234 n

如此，一直无尽地变0.（长（Sr2,lr，但这两个公式从何而来？段的长度.然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破.段，我们可以把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾.辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化.整个圆周似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧.按照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成n个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正n边形.易知，正n边形周长为l2nRsinn n显然，这个ln不会等于l.然而，从几何直观上可以看出，只要正n边形的边数不断增加.这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长.n越大，近似程度越高.但是，不论n多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值.问题并没有最后解决.为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n无限地增大，记为n.直观上n 很明显，当nll，记成limln n即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在3思想在于“极限”.除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想.所以，我们有必要对极限作深入研究.22§1数列极限的概念教学目的限等有关命题.教学要求NN义证明数列的有关命题，并能运用N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述.教学重点：数列极限的概念.教学难点：数列极限的N定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：一、什么是数列1数列的定义律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；,an,若函数f的定义域为全体正整数集合N，则称f:NR为数列.注：1）根据函数的记号，数列也可记为f(n),nN,an,2）f(nf(n,即f()|nNn；3）f(n2数列的例子

，简记为n，(1)n

1 11

1

1 1 1（1）

:,, ,2342

（2）1n:,14,13,15, ； （3）n2:,,,,引言

； （4）1()n:,,,,,二、什么是数列极限用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺；1第1天截下 ，2第2天截下111，22 22311222

1，23第n天截下111，22n1 2n23得到一个数列：

1,1,1,,1,2n2222,1,2n不难看出，数列1的通项1

随着n的无限增大而无限地接近于零.2n2n 2n2n n，若当nanaa称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列.2n据此可以说，数列2n 数列n2,1()n都是发散的数列.一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析.以11为例，可观察出该数列具以下特性： n 随着na111随着n的无限增大，11与n n n1的距离无限减少随着n的无限增大，|111|无限减少|111|会任意n n小，只要n充分大.如：要使|111|0.1，只要n10即可；n要使|111|0.01，只要n100即可；n任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项aN，从该项之后(nN)，|111|.即0,N，当nN时，|111|. n n1 1N解上面的数学式子即得：n1N

[]1即可.这样当nN时，|111|11. n n N 综上所述，数列11的通项11随n的无限增大，11无限接近于1， n n n 即是对任意给定正数，总存在正整数N，当nN时，有|111|.此即 n 111lim111或n,111. n数列极限的定义

n n n24定义1 设n为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得n nN时有|na,则称数列n收敛于a,实数a称为数列n的极限,并记作limaa或aa(nn nnan的极限等于aan趋于an限于取正整nn写成nlimaa或nnana(n).若数列n没有极限，则称n不收敛，或称n为发散数列.[问题]：如何表述n没有极限？举例说明如何用N定义来验证数列极限1

lim

0(p0).nnp

不妨设12

,要使 |1np

－0|<1np

<.11 11

1只要n(

pN=2

)P2 则当n>N时,有|1－0|=1np n

≤((

1 <11)P1)p2 例2 求

limqn0,n

(0q1).证明:

0,

不妨设

qn0qn

nlgqlg（注意这里

q0

g0

nN

nN时，lgq

lgqna就有 qn0， na

limqn0.n3求证nanna

1(a0).na证法1 先设a1，0要na

1

1

1，na只要 1a)，只nananna

nlgalg(1).取Nlga

(1)

nN时，就有

1，即

1.对nanna0a1

b1，则a

n

1 1.nanbnnanb证法2

1h，则a1h)n1

hnnh，0hanan n na

n n n nna0na

1h

,

a，取Na，只要nN，就有na1，即nan

n nna1na

25例4

a nnn!n

(a1).证明: 因为

a aa a a

a a[a] a a

a[a] ，12

n[a][a]1 n n

[a]!

cn

(c

)[a]!ann!ann!

n只要ca 0 0

ca则只要 ，ann!ann!

0

n!ana，即0.

n N

nNnn!2例5 n 0.2n4n证明:4n(13)n1n3n(n1)32n(n1)(n2)333nn(n1)(n2)33

n3.注意到对任何正整数k,

n2k

nkn, 就有2n2n0 4n

6n227n(n1)(n

6n27(n1)(n

n4

6n427n2

2411.27n n于是，对

取Nmax{4,1}..na例6nananna

a1.证法一

1n

有n0.

用Bernoulli不等式，有a

)n1n

11n(an

1或0an1

a1a.n nnana1n1个nna0 1na

1an11a1a.nn例7nnn

n n nnnn1nnnn1n2

n2 时 ，nn0 1nn

1

12n2nn2

2.2n2n2n证二：nnnn

n(nn)nnn2n1nn2n1

1)nn(n1)(nnnn2!nn

（二项式展开）0N22

，则当nN时就有0

1即26nn附：此题请注意以下的错误做法：nnnnnnn

1)n1n(nn

1n111

11n

11

（注意3n2

n n n11不趋于零）n2例8：证明32nn43n2n243n2n24证明：由于

3n24n

（n3）（*）

0

12 n

33n2n243n2n24式是在n3

max{3,[]}，当nN3n3n2n24

3 即

3n22 3nn4总结住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份.4关于数列的极限的N定义的几点说明关于1的作用在于衡量数列通项an与常数a越小，表示接近得越好；而正数可以任意小，说明an与常数a的暂时固定性.尽管N既是任意小的正,21|

a|2中的,2等来代替.从而“|aa”可用“|a

na|”代替；④2 n n正由于是任意小正数，我们可以限定小于一个确定的正数.NN随N定作NN是依赖于的；NN多值性.NN是由唯一确定的，因为对给定的N时能使得当nN时,有|aN101或更大的数时此不等式自然成立.所以NNNNnNnN”也无妨.1nN时有|a“当nNa”nNa,a

U(a;)”27N的项an都落在邻域U(;)U(;)n中N个（有限个）.反之，任给0，若在U(;)之外数列n中N，则当nN时有U(a;，即当nN时有|na，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义：定义任给0U(;)之外数列nn收敛于极限a.1若存在某个00n中有无穷多个项落在U(;0)之外，则n一定不以a为极限；2）数列是否有极限，只与它从某一项之后的去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响.例1．证明n2和()n都是发散数列.,xn,yn,例2．设mnmna，作数列如下：n:1,1,2,2,xn,yn,nn明 limzann

n例3．设n为给定的数列，n为对n增加、减少或改变有限项之后得n与n三、无穷小数列n在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下定义2 若mn0，则称nn11(1)n1

1如n,n2,

,2n都是无穷小数列.

数列n收敛于a的充要条件：定理2.1 数列n收敛于a的充要条件是n为无穷小数列.[作业] 教材P27 3，4，5，7，8⑵.§2 收敛数列的性质教学内容：第二章数列极限——§2 收敛数列的性质.教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法.教学要求（1号性、保不等式性；些定理求某些收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用.教学难点：数列极限的计算.教学方法：讲练结合.教学程序：引 言28n上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证limaa的方法，nn这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.一、收敛数列的性质性质1（极限唯一性） 若数列{an}收敛，则它的极限唯一.证一b都是数列{an的极限，则由极限定义，对0，N1,N2，当nN1时，有

ana；

nN2时，有

anb取 NN1,N2)，则当nN时有|ab||(anb)(ana)||ana||anb|2由的任意性，上式仅当ab时才成立.证二（反证假设an}a,banaanb且ab故不妨设ab，取ba0n n由定义，，当nN时

2aaaaab1又N2

1，当nN2时

n nanban

2bab2因此，当nN1N2

aban 2

矛盾，因此极限值必唯一.性质2（有界性）如果数列{an}收敛，则{an}必为有界数列.即M0，使对n有

|an|Mn证明：设ana取10使得当nNn

ana1即 |an||aana1|ana|29令Mmax(1|a|,|a1|,|a2|,,|aN|)则有对n

|an|M即数列{an}有界注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如{(1)n}②在证明时必须分清何时用取定3.2必须用取定N随在变，找到的M也随在变，界M的意义就不明确了.性质3（保序性）设limana，limanb，n n（1）若ab，则存在N使得当nN时有anbn（2）若存在N，当nN时有anbn，则ab（不等式性质）证明（1）取ab0N，当nN时|aaab从而a

2 aabab

1 n 2n 2 2又存在N，当nN时|b

bab

babab2 2

2 n 2 2当nN1N2

aban 2 nn（2（反证）如ab，则由⑴知必N当nN时ann这与已知矛盾推论（）anab则NnNannnlimana0，则N，当nN时an与n思考：如把上述定理中的anbnlimanlimbn？

换成anbn

，能否把结论改成n

nana例：设an0（n,,，若mana，则m ana证明：由保序性定理可得

na0

n30anann

若a0，则0，N，当nN时有a2ana1 ana1

即若a0，则0，N2，当nN2时有|anaaana| ana

||ana|

|ana|anan aa四则运算法则若{an}}{an{an}{anbn}也都收敛，且

lim(anbn)limanlimbn，limanbnlimanlimbn特别地，n

n

n

n

n

nnlimcann

cn

nc

n

0则{annbnn

limannbn

ann nlimbnn证明：由于an算的结论即可.

abn(1)bn，bnn

an1bn1b

，故只须证关于和积与倒数运设manamnb0N1

nN1

ana；N2，当nN2时

nbnb

n取Nmax(N1,N2)，则当nN时上两式同时成立.（1）

|anbnab||(ana)bna(bnb)||ana||bn||a||bnb|由收敛数列的有界性，M0，对n有|bn|M故当nN时，有

|anbnab|(M|a|)n由的任意性知limanbnn（2）

limbb0nnn31

0及k0，对N0

有|bn

|k（如可令k|b|）2取 NN0,N2

， 则

nN 时 有|11|bnb||bnb| bn b |bnb| k|b| k|b|由的任意性得

lim11nbn b用归纳法，可得有限个序列的四则运算：N Nx(k)limx(k)，n

nk1N

kN

nnlimx(k)limx(k).n

nk1

k

nn N换成，一般不成立.事实上k

或k

本身也是一种极限，两种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.性质5（两边夹定理或迫敛性）设有三个数列{an}、{bn}、{cn}，如N，当nN时有ancnbn，且limanlimbnl，则limcnln

n

n证明：证明：n

anbnl0，N1,N2n当nNn

lanl；当nN2

lbnl取N0max(N1,N2,N)，则当nN0时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有nN0时

lancnbnl

|cnl|即limcnlnn法.n推论：若N，当nN时有acnbn（或bncna）且limbnnnlimcann32n例n

na0（a0）an!证明：使得ka，从而当nk时有ana0 n!

a1

a ak k

an

aakk! nk由于lim

akaak

a0由推论即可得结论nk!n k!nn例：设

，

，…，

是 m 个正数，证明nanaaan n1 2nmn

,

,,am)naaan n1 2nm证明Anaaan n1 2nm

nmAnmnm1nmn

1，由迫敛性得结论.

n

1(ana在证明中,令hnna

10

a(1

)n0

a，由此推出nnnnahn0na由此例也看出由xnznyn和limxnalim

yn,也推出limzna.例2：证证明： 令

1.nnnnnnn1nn

n

n

nn

)n1

n(n1)h2hnn(n1)h2

(n3)，n n 2 0h 2

n 2 nn n1两边夹推出hn0，即nn1.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例；例3： 求极

4n26n12n3n2

n9461解

6n1

n

4.n

3n2n

n319 3例4： 求极

n n2(1a an)n

(0a1).33解 a ann

)n

1an1a

1 .1a

lim(3n1n1

3n1

n1

lim(3

1)lim(11))n )

n

n n

n

nn n3

1)(lim1

lim1)313n

nn

n

nn6：求

anma

kmk

nm1ana

110m0，mk，110m

0，b0knk

bnkb

nkbnb m kanmka

nmk1an1kank

am,mk解：原式limm

m1

1 0 b1k k mn

bkbk1n

b1n

,mk分子分母最高次数相同，为最高次系数之比即：有理式的极限分子最高次低于分母最高次，则为0如lim

2n34n252nn1 nn3n310nn1 nn1例7：n1

n)lim

lim

11n

n

n

11 2111n例8：111n

nmax(a,nmax(a,b)n

a,b).nananbn

a,b)

max(a,b).nanbnnnanbnn2a,b)n极限是个有效的分析工具.但当数列n的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道n没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序要讲的“子列”.2、子列的定义定义1 设n

k

N34nkn1n2nk

，则数列,an,kn ,an,kn 1 2称为数列n的一个子列，简记为k.注1n的子列k的各项都来自n且保持这些项在n中的的先后次序.简单地讲，从n中取出无限多项，按照其在n中的顺序排n（或子列就是从n的数列）.注2 子列k中的k表示k是n中的第k项，k表示k是k中的第kk中的第k项就是n中的第kkkkkn，则ank

n，即kn.注3 数列n本身以及n去掉有限项以后得到的子列，称为n的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为n的非平凡子列.如2k,2k1都是n数列n与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.那么数列n的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理2.8数列{an}收敛的充要条件是：{an}的任何非平凡子列都收敛．n证明：必要性设manak}是an}的任一子列．任给0NkNaka由于nkkkNnkN，从而也有nkna a，这就证明了an}收敛（且与an}有相同的极限．knk充分性考虑{an}的非平凡子列{a2k}，{a2k1}与{a3k}．按假设，它们都收敛．由于{a6k}既是{a2k}，又是{a3k}的子列，故由刚才证明的必要性，k

2kk2k

lima.6k3kk6k3k

（9）又{a6k3}既是{a2k1}又是{a3k}的子列，同样可得a2ka3k

（10）（9）式与（10）式给出

k2k2kk

klima2k1k35所以由课本例7可知{an}收敛．由定理{an}子列与{an}{an}{an}一定发散．例如数列{(1)n其偶数项组成的子列{(1)2n}收敛于{(1)2k1收敛于1，从而{(1)n}发散．再如数列{sinn}，它的奇数项组成的子列{sin2k1}即为{(1)k1}，2 2由于这个子列发散，故数列{sinn}发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散2的有力工具．§3 数列极限存在的条件教学内容：第二章数列极限——§3 数列极限存在的条教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具.教学要求（1CauchyCauchy教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用.教学难点：相关定理的应用.教学方法：讲练结合.教学程序：引 言限（极限的存在性问题；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题nn充分大时，an极限a，故可用an作为a的近似值.本节将重点讨论极限的存在性问题.为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断.n n nn对，即a有界不足以保证a收敛.例如()n.但直观看来，若a有界，又nn（减少）而增大（减少n n 36为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列.一、单调数列定义 若数列n的各项满足不等式nn1(an1)则称n为递（递减）数列.递增和递减数列统称为单调数列．1

(1)n例如：为递减数列；n2为递增数列； 不是单调数列.n

n 二、单调有界定理〔问题〕（1）（2）收敛数列一定单调吗？一个数列n，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了.此即下面的极限存在的判断方法.定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限.an}（1an（2）anA，即an(n).证明：不妨设{an}单调增加有上界，把{an}看作集合，有确界原理，sup{an}存在0（1）nan（2）0n0N使an00由于{an}单调增加，故当nn0时有anan0a aa a aa a a

|an|亦即liman#n例1：a0，证明数列a1n

a，a2

，a3

，……，an

，……收敛，并求其极限.aa a aaaaa2aan1易见an 0，且a2 ，aaaa2aan137从而a2aa

a

两端除以a得a

1an n

n nnaaa，an aaa

an1

故{an}有界即得极限存在a设a

l，对等式a2a

两边取极限，则有lima2lim(aa)n n

n

nn n n1nan1al2lal1n

14a2因{an}为正数列，故l0，因此取l1

14a即为所求极限2n2n

kn（ka1）n)an)cnk

c0

cn1

1(n1nn

11)ka 解记

an

且 c a

a n 1，则NnN

11

1，a n故nN后，{cn}单调递减，又有cn0极限一定存在，设为A由c 11)k

两边取极限得

A1A（a1）A0n1例3

a na1

n11,

a(2

证明数列{a}收敛.n 2 n n1 aan例4 a0.xn12xnxan

求xnnn

(计算

的逐次逼近法, 亦即迭代法).解：由均值不等式,有

x 1xann1 nn1 n

a.

{xn}有下界;xanxn注xanxn

xn a, 有xn1

1a1 1a

12112

( a)2a( a)2a

xn↘,2x2xn 2x2

n 38nx a.nn三、柯西收敛准则1、引言单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则.2、Cauchy收敛准则（Ｃauchy收敛准则数列n0，N，使得当mN时有|.证明

{an}ana

0

nNn时有|ana|/2当n,mN时有|anam||ama||ana|n”先证有界性，取1，则NmN|anam1nN

|anaN1|1|an||aN1|1设Mmax{|a1|,|a2|,,|aN|,|aN1|1}，则n，|an|M再由致密性定理知，{an}有收敛子列{an}，设limankak k0，N1，mN1|/2kK，kK|k

a|/2取Nmax(K,N1)，当nN时有nN1N1NN1 N|anaanan ||an a/2N1 N故 lima故 kCauchy列、基本列（满足Cauchy收敛准则的数列）y0N，当nNPZ有39|anPan3、说明CauchyCauchyCauchy小于预先给定的任意小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.CauchyN定义中an与aan与am之差.其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.例：如数列{an满足|an1anq|anan1|（n且0q1，证明数列{an}收敛.证明：令|x2x1|c0|a

|q|aa

|q2|a

qn1|

x|n1

n

n1

n2 2 1|anpan||anpanp1||anp1anp2||an1an|c(qnp2qnp3qn1)(1qqp1)c

qn11qc ln(1q0（不妨设01q，取N1 c ]，则当nN时，对lnqp

n1|anpan1q

.故由Cauchy收敛准则知数列{xn}收敛.例：证明数列a

111发散n 2 n证明：要证：00，对N，必有m0N，n0N使得

|a amn0 mn

|0设mn则|

1 n1

1n

1m

1 n1

1n

1n(mn)40111mn1nm m m m m因此，如m2n，则|aman|11/21/201/2Nn0N10n0则0N0N且 |a

a 1

111，这说明{a

}不是一个Cauchy数列.m0

m0 2 2n4、应用n例5证明: 任一无限十进小所组成的数列

0.b1b2bn(01)的不足近似值b1,10

b110

b2, 102

b110

b2102

bn,10n

收 敛 . 其 中bi(i1,2,,9)是0,1,,9中的数.证明：令

an

b110

b2102

bn,有10na

bnp

911

1np

n

10n2

10np

10n1

10p1 910n1

1p10.1

1n10nn

p

1q10nq

1. ……n例6：设{xn}收敛.

0q

xqqq2

qnsinnq.

试证明数列关于极限lim1n

1nnn

e

(e

证明留在下节进行.

lim1nlim1

1nkn ,ncnk ,

lim1nlim1

1knn.n1n,

lim1

13n.n n

n n

n

2n412n3n例9： lim .n2n1[作业]教材P38—39 1，3，5，6，10，11；教材P40—41 1（1（3，3，4(1)-(3)(6)(8)，5，10.a（P383（4）提示：考虑ba

1用双逼原理可求得

1,）

n nn1n附：数列1n单调有界证法欣赏: Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一. 1n证法一 （Riemann最先给出这一证法）设xn1n

.应用二项式展 开，得x1n1n(n1)1n(n1)(n2)1n(n1)3211n n n2

n3

nn111111112112

n1，nnnnn2!nnnnn

n!1

111

1 nx 111

1

1

1

2 +n1

n1

n

n11 1 n(n1)!1n11n1;,11,11注意到

1111,

1212,

n1

n1 n

n1

n

n1

n

n1且x 比x多一项 1 11

n0,

x x,

即x↗.n1 n

(n

n1

1 n1

n1 n n0

11111111

1n

12

2

(n1)n1111111111113.

x有界.223n 223n

n1 n n综上,数列{xn}单调有界.证法二 (利用Bernoulli不等式)Bernoulli

(1x)n1nx,

(x

n为正整数), 有42 1n1

1 n1 x n1

11 1

n22nnn1

1

n1

1 x 1n

n1 1 n1n22n1n 1 n n

1 n 1 1 n 11n11(n1)2, 由(n

利用Bernoulli不等 式,有x 1n n33n22n11

1

1. x↗.xn

n1 (n1)2

n33n21 n 1n1xn

yn1n

.可类证yn↘.事实上, 1n1

1 n11 y n

1 1

n1n22n1n1n

n yn1

1

1n2

1

1 1

n2

n22n n1

n1

n1n1

1 n1

n1

n1n21n22n n21n22n

(此处利用了Bernoulli不等 式) n34n24n n34n24n

yn↘.显然有

xnyn.

n,

有xnyny14.

即数列{yn}有上界.证法三 ( 利用均值不等式 ) 在均值不等式1nna1a2anna1a2anni1

(0)

中,令a1a2

n1

1

1,n1

an就有n11n1n1n11n1n1 1n1 1nnnxn1 (n1)1 1nxn1

nxn,n

n1 n xn1xn, 即xn↗.431 1n令a2an11n1,an可仿上证得n3时1n↗, (n1时无意义,

n2时诸=0,不能用均值不等式.) 当n2时, 由11111

11 1 . nn n2nn

n 11n 1n 1 1n 1. 1 .n

由 1 ↗ ↘.n n n 11

11xn

112

nn nn<4.21 2 注: 以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4证法四 (仍利用均值不等式)个 1n 1 1 11 n

1n1n1n

1 < 1

n1

n1n

n2n1

1n1

1 .x