甘肃省2026届高三第一次模拟考试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页甘肃省2026届高三第一次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数fx=xA．−∞,−1∪0,+∞2．复数z满足i⋅z=1，则A．1−i B．1+i C．3．已知a,b∈R，则“a>A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．根据如图所示的函数图象，当x>0时，以下不等关系正确的是（A．x>exC．ex>x5．由数字1,2,A．24 B．12 C．10 D．66．直线x+y=0与直线A．1010 B．−1010 C．37．已知sinx+π4=A．−7 B．±43 C．±7 8．过抛物线y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦ABA．8 B．16 C．32 D．64二、多选题9．已知a,b为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（A．aB．aC．若c=2D．若cos<d,a10．甲袋中有大小、形状相同的4个红球2个白球，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，则下列选项中的事件发生的概率不小于12的有（

A．甲袋中一次取出两个球，两球均为红球B．乙袋中有放回地取两次球，两球均为白球C．两袋中各取一个球，取出的球中有红球D．先从乙袋中取1球，记下颜色后放回乙袋中，若取出的球为红球则在甲袋中取球，否则继续在乙袋中取球，第二次取出来的是红球11．如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆O1半径为3,CD,EF是底面的两条直径，母线PA．VB．圆锥与球O的交线的轨迹长为πC．若∠O1D．平面AEF截球O三、填空题12．一组数1,1,13．椭圆x2a2+y2b2=1a14．如图，若第1行数字的和记为a1，第2行数字的和记为a2,⋯，第n行数字的和记为an，则an=__________；若数列a四、解答题15．如图，△ABC中，角A(1)求tanB(2)若BC=λ16．如图（1），正方形ABCD的边长为4,E,F分别是边AB,BC(1)证明：O′(2)三棱锥O′−DEF的外接球的球心为O17．甲､乙两人各持有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，规定两人每次同时从对方手中随机抽取1张卡片交换（记为一轮操作）.记ii∈N+轮操作后，甲手里有2张“欢”字卡片的概率为(1)求p1(2)求p618．如图所示，焦点在x轴上的椭圆C的顶点分别为A1,A(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C上任意一点P作四边形A1B1A2B2的内切圆的两条切线PA,(3)若切线PA,PB与椭圆C的另一个交点分别为19．已知函数fx(1)若曲线y=fx在x=π(2)当k=1时，求函数y=(3)证明：对任意k∈R，曲线答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《甘肃省2026届高三第一次模拟考试数学试题》参考答案题号12345678910答案ACACBADBBDBC题号11答案ACD1．A【详解】要使函数fx=x+1x有意义，需使即函数的定义域为−∞2．C【分析】借助复数运算法则计算即可得.【详解】由i⋅z=3．A【详解】若a>b>若a=1,b=故“a>b>4．C【详解】根据图像，当x>0时，函数y=ex的图像在函数y=x5．B【分析】先计算所有数字的全排列，再除以重复数字的排列数即可.【详解】4个数字的全排列数为A4因为有2个相同的数字2，所以需除以重复数字的排列数，故数字1,2,6．A【分析】确定两直线的方向向量，结合向量夹角公式求解即可.【详解】直线x+y=0的斜率直线2x−y+1设两直线的夹角为α，则α∈所以cosα7．D【分析】应用三角恒等变换及平方关系得sinxcosx【详解】由sinx所以(sinx+所以sinxcosx所以(7tanx8．B【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，设出直线AB的方程为y=kx−【详解】由抛物线y2=4由题意知，两条弦所在直线的斜率必存在且均不为0，不妨设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为设Ax因为弦过抛物线焦点，所以设直线AB的方程为y联立方程：y2=4xy则Δ=且x1+x将AB中的k换为−1k所以可得AB当且仅当k=±1则AB9．BD【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解.【详解】由题意得a⋅b=所以a+由a+b⋅又a⋅所以c2=2coscd−a2当d=12时，d−a10．BC【分析】根据古典概型概率公式及独立事件的概率乘法，逐项进行判断即可.【详解】对于A，甲袋中共有大小、形状相同的6个球，从中一次取出2个球，共有C62种取法，两球都是红球，共有所以甲袋中一次取出两个球，两球均为红球的概率为C4对于B，乙袋中有大小、形状相同的1个红球3个白球，从中有放回地取两次球，两球均为白球，则概率为34对于C，甲袋中取得白球的概率为26=1则事件“两袋中各取一个球，取出的球都是白球”的概率为13所以事件“两袋中各取一个球，取出的球中有红球”的概率为1−对于D，若第一次从乙袋中取到红球，概率为14，接着在甲袋中取到红球的概率为4根据独立事件概率乘法公式，其概率为14若第一次从乙袋中取到白球，概率为34，接着在乙袋中取到红球的概率为1根据独立事件概率乘法公式，其概率为34所以事件的“第二次取得红球”的概率为1611．ACD【分析】根据圆锥轴截面是正三角形且底面半径为3，可以计算圆锥的高、母线长，再利用轴截面的几何关系求内切球半径，进而可计算球和圆锥的体积比，可以判断选项A；先确定圆锥与球的交线是一个圆，通过分析球心到圆锥轴截面的距离、球半径，求出交线圆的半径，再计算其周长，可以判断选项B；根据题意可得∠PCO【详解】对于A，画出圆锥的轴截面如图（1）所示.连接PO1，则PO因为轴截面为正三角形且底面圆半径为3，所以PO所以V球故V球对于B，如图（2），易知，圆锥与球O的交线的轨迹为⊙O因为AO2⊥可得PA⋅O故轨迹长为3π对于C，根据三余弦定理可知，cos∠故C正确；对于D，当EF绕着O1旋转时，平面AEF恒过定直线AO1，若要使得平面AE如图（3）过O作直线AO1的垂线，垂足为H,O到平面又因为在△OAO1中，所以平面AEF截球O的截面面积的最小值为12．125/【详解】由题意可知1+1+则方差s213．0【分析】因为双曲线渐近线斜率小于3，据此得到关于a、b的不等式关系，将离心率e转化为关于ba的表达式，即可求出e【详解】对于双曲线y2a2−x2b椭圆中满足b2=a2−c整理得3c2<2a2，两边同除以3所以e的取值范围为014．3×2【详解】由题意可知，an所以Sn15．(1)3(2)3【分析】（1）已知C=π3，a=3（2）先根据向量关系得到角之间的关系，再利用三角函数的两角和公式化简sin∠【详解】（1）因为a=3b又因为C=π3化简得32cosB+1（2）因为BC所以D在BC如图，故∠A所以sin==sin因为∠ADC解得sin∠所以sin∠AD16．(1)证明见解析(2)5【分析】（1）由折叠的性质可得DC⊥CF，DA（2）可将该三棱锥补形为长方体，则长方体体对角线中点即为外接球的球心，在建立适当空间直角坐标系，求出平面ODE与平面【详解】（1）因为在原图中DC⊥C故折叠完得O′D⊥又因为O′E∩所以O′D⊥又因为EF⊂平面O′（2）因为O′假设该长方体的一条体对角线为O′M，则球心O为对角线如图所示，以O′E所在直线为x轴，以O′以O′D所在直线为则E2则EF设平面DEF的法向量为则m⋅EF令z1=1，则x设平面ODE的法向量为则n⋅EO令z2=1，则x设平面ODE与平面DE则cosθ故平面ODE与平面DE17．(1)p1=14，p(2)21【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式，易得p1与q1的值，对于第二轮操作，需要分成“甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片”与“甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片”两类情况分别求解即得p2（2）类比（1）中的第二轮操作，可得pn=1−2【详解】（1）第一轮操作，甲要抽到乙的“欢”字卡片，且同时乙要抽到甲的“喜”字卡片，甲手中才能有2张“欢”字卡片，由独立事件的概率乘法公式，可得p1=1第二轮操作中，若第一轮结束后，甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片，则在第二轮操作后，甲有2张“欢”字卡片的概率为0；若第一轮结束后，甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，则甲有2张“欢”字卡片的概率为14故p2=1（2）由对称性可知pn而只有在n−1n≥2若在n−1n所以当n≥2时，pn则可构造为pn所以pn−16是一个以可得pn−1所以p618．(1)x(2)k1⋅(3)2【分析】（1）根据已知得ab（2）设椭圆上任一点Px0,y0，则x02+3y0（3）讨论切线的斜率，设切线方程并联立椭圆，应用韦达定理及向量数量积的坐标运算求OP【详解】（1）因为∠B1A2B可设椭圆C的方程为x23b2+代入椭圆C的方程得：13b2所以椭圆C的方程为：x2（2）k1根据对称性，易知四边形A1B因为直线A1B2的方程为x−3设椭圆上任一点Px0,当圆的切线斜率存在时，可设过点P的圆的切线方程为y−即kx所以圆的半径r=两边平方化简得：3因为切线PA,P所以k1,k故k1（3）①当直线PE的斜率存在时，设直线PE的方程为：y=因为直线PE为圆x2+y2联立方程y=k1x+显然Δ>0恒成立，x0OP⋅=1+k可得OP⊥O所以F,O,E三点共线，故弦所以当P与A1或A2重合时，②当直线PE或直线PF的斜率不存在时，易得综上可知，|E19．(1)k(2)极大值点有2个，极小值点有1个(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义得出f′（2）分x∈0,π2、π2,（3）求证y=fx【详解】（1）由fx=π当x=π2因为曲线y=fx在x所以f′π2（2）由k=1得fx令gx=f①当x∈0,π2时，cosx>因为f′则∃x1∈0,π2使当0则y=fx在0,x1单调递增，在②当x∈π2,π所以y=fx当x∈π,3π所以y=fx