北师大版八年级数学下册《第五章分式与分式方程》单元测试卷（带答案解析）

第第页北师大版八年级数学下册《第五章分式与分式方程》单元测试卷（带答案解析）一．选择题（共9小题）1．若分式的值为零，则m的取值为（）A．m＝±1 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m的值不存在2．使分式的值为整数x的整数的值有（）个．A．5 B．4 C．3 D．23．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（）A．﹣1 B．1或0 C．1 D．1或﹣14．若关于x的一元一次不等式2x+m＜5至少有1个正整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为（）A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣35．若分式方程无解，则整数m的值为（）A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．﹣2或16．已知关于x的分式方程有增根，则a的值为（）A．﹣1 B．﹣2或 C．﹣1或﹣2 D．﹣1或7．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（）A．k≠1 B． C．k＞且k≠1 D．k＜且k≠8．已知关于x的方程有整数解，且﹣4≤m＜3，则所有满足条件的整数m的和是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣49．下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题20分，他能得的分数是（）①；②；③；④；⑤；A．40分 B．60分 C．80分 D．100分二．填空题（共2小题）10．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木2000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前4天完成任务．则实际每天植树棵．11．轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是千米/时．三．解答题（共9小题）12．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于x的方程的解为正数，求符合条件的整数a值的和．13．化简：，并取一个你喜欢的数代入，求出代数式的值．14．2025年11月9日至21日，第十五届中华人民共和国全国运动会在广州、香港、澳门三座城市同时举行，与运动会吉祥物“喜洋洋”、“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心出售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．（1）求每个A种挂件的价格；（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．15．某网店购进水果后再销售．甲种水果的进价比乙种水果每件多，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件．（1）求甲、乙两种水果每件的进货单价；（2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由．16．【教材母题】（1）①两个小组同时开始攀登一座450m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰，求这两个小组的攀登速度各是多少？（单位：m/min）②如果山高为hm，第一组的攀登速度是第二组的a倍（其中a＞1），并且比第二组早tmin到达顶峰，直接写出第二组的攀登速度为；（结果用含h、a、t的式子表示）【拓展延伸】（2）如果山高为hm，第一组准备一半路程以v1m/min的速度攀登，另一半路程以v2m/min的速度攀登（v1≠v2）；第二组准备全程以的速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由．17．某工厂要生产一批零件150个，已知乙的工作效率是甲的2倍．（1）设甲每天做零件x个，求乙单独生产这批零件比甲单独生产这批零件少用的天数（用含x的代数式表示）．（2）若这批零件先由甲单独做1天，剩下的由乙来做，乙用的时间比甲单独做完这150个零件所用的时间还少2天，求乙每天所做零件的个数18．乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．19．A、B两城铁路长240千米，为使行驶时间减少20分，需要提速10千米/时，但在现有条件下安全行驶限速100千米/时，问能否实现提速目标．20．2025年6•18年中大促活动中，各大电商分期进行降价促销．某宝店铺热销网红A款服装进行价格促销，促销价比平时售价每件降90元，如果卖出相同数量的A款服装，平时销售额为5万元，促销后销售额只有4万元．（1）该店铺A款服装平时每件售价为多少元？（2）该店铺在6.1﹣6.2第一轮促销中，A款服装的销售情况非常火爆，商家决定为第二轮6.16﹣6.18大促再进一批货，经销A款的同时再购进同品牌的B款服装，已知A款服装每件进价为300元，B款服装每件进价为200元，店铺预计用不少于7.2万元且不多于7.3万元的资金购进这两款服装共300件．请你算一算，商家共有几种进货方案？（3）在6.16﹣6.18促销活动中，A款仍以平日价降90元促销，B款服装每件售价为280元，为打开B款服装的销路，店铺决定每售出一件B款服装，返还顾客现金a元，要使（2）中所购进服装全部售完后所有方案获利相同，a的值应是多少？参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）题号123456789答案BBDCDBDDB1．若分式的值为零，则m的取值为（）A．m＝±1 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m的值不存在【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为零∴|m|﹣1＝0，m﹣1≠0解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．2．使分式的值为整数x的整数的值有（）个．A．5 B．4 C．3 D．2【分析】先把分式的分子分解因式，再进行约分，然后根据分式的值为整数，列出关于x的方程，解方程即可．【解答】解：＝＝＝∵分式的值为整数时∴x﹣1＝±1或±2解得：x＝2或0或3或﹣1∴x的整数的值有4个故选：B．【点评】本题主要考查了分式的值，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．3．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（）A．﹣1 B．1或0 C．1 D．1或﹣1【分析】先解此分式方程，再运用分式的分母不能为0进行求解．【解答】解：方程两边同时乘以（x+2），得mx+x＝2（x+2）解得x＝∴当m﹣1＝0或+2＝0即m＝1或m＝﹣1时此方程无解故选：D．【点评】此题考查了解分式方程的应用能力，关键是能准确解分式方程．4．若关于x的一元一次不等式2x+m＜5至少有1个正整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为（）A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣3【分析】由不等式至少有1个正整数解可得m＜3，再解分式方程可得y＝，且y≠1，可求满足条件的m的值分别为﹣3，﹣2，0，1，2，即可求解．【解答】解：解不等式得x＜∵不等式至少有1个正整数解∴＞1∴m＜3，解分式方程得，y＝∵分式方程的解是非负数∴≥0，且≠1∴m≥﹣3且m≠﹣1∴﹣3≤m＜3且m≠﹣1∴整数m＝﹣3，﹣2，0，1，2∴所有满足条件的整数m的值之和为﹣3﹣2+0+1+2＝﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，解分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式和分式方程的一般步骤．5．若分式方程无解，则整数m的值为（）A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．﹣2或1【分析】对分式方程进行求解整理，然后根据分式无解的情况进行求参数即可．【解答】解：分式方程去分母可得：x＝3（x﹣1）+mxx＝3x﹣3+mx（m+2）x＝3当m+2＝0时，方程无解，此时，m＝﹣2；当x﹣1＝0时，即x＝1时，方程无解，此时m＝1；故选：D．【点评】本题主要考查了解分式方程，根据方程无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况．6．已知关于x的分式方程有增根，则a的值为（）A．﹣1 B．﹣2或 C．﹣1或﹣2 D．﹣1或【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．【解答】解：去分母，得：x﹣2+a（x﹣1）＝2a+2由分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x﹣2＝0所以x＝1或2把x＝1或2代入整式方程，可得a＝﹣或﹣2．故选：B．【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（）A．k≠1 B． C．k＞且k≠1 D．k＜且k≠【分析】首先去分母，化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后结合题目条件即可求出k的取值范围．【解答】解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝3k∴x＝﹣3k+2∵关于x的方程解为正数∴﹣3k+2＞0，且x＝﹣3k+2≠1∴k＜且k≠．故选：D．【点评】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．8．已知关于x的方程有整数解，且﹣4≤m＜3，则所有满足条件的整数m的和是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m的值即可．【解答】解：分式方程变形得：+＝3去分母得：x+m﹣2＝3x﹣3解得：x＝∵方程有整数解，且﹣4≤m＜3∴m＝﹣3，﹣1则所有满足条件的整数m的和是﹣4．故选：D．【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．9．下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题20分，他能得的分数是（）①；②；③；④；⑤；A．40分 B．60分 C．80分 D．100分【分析】根据分式的乘除和加减法则对每个式子进行化简，然后判断即可．【解答】解：根据分式的乘除和加减法则对每个式子进行化简，然后判断如下：∵①，正确②，错误③，错误④，正确；⑤，正确．∴有3题正确，得分为3×20＝60（分）即他能得的分数是60分．故选：B．【点评】本题主要考查了分式的化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．二．填空题（共2小题）10．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木2000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前4天完成任务．则实际每天植树125棵．【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成任务，列出分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（1+25%）x中即可求出结论．【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵依题意得：﹣＝4解得：x＝100经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意∴（1+25%）x＝125即实际每天植树125棵故答案为：125．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．11．轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是20千米/时．【分析】关键描述语为：“顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等”；本题的等量关系为：逆水航行46千米用的时间+顺水航行34千米所用的时间＝静水航行时80千米所用的时间．【解答】解：设船在静水中的速度是x千米/时．则：+＝．解得：x＝20．经检验，x＝20是原方程的解．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．航行问题常用的等量关系为：逆水速度＝静水速度﹣水流速度，顺水路程＝静水速度+水流速度．三．解答题（共9小题）12．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于x的方程的解为正数，求符合条件的整数a值的和．【分析】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出a的取值范围，解分式方程得出x＝，由方程的解为正数且分式有意义得出a的取值范围，综合两者所求最终确定a的范围，据此可得答案．【解答】解：解不等式x﹣1≤，得x≥﹣3解不等式a﹣3x＞0，得x＜a∵不等式组只有4个整数解∴0＜a≤1∴0＜a≤6解分式方程得：x＝∵分式方程的解为正数∴＞0，且≠1解得：a＜5且a≠3综上可得，a的取值范围为0＜a＜5，且a≠3则符合条件的所有整数a的和为：1+2+4＝7．【点评】本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．13．化简：，并取一个你喜欢的数代入，求出代数式的值．【分析】本题的关键是正确进行分式的约分、通分，并准确代值计算．要注意x的取值需使原分式有意义．【解答】解：原式＝•﹣+1＝﹣+2；∴当x＝2时，﹣+2＝﹣+2＝1．【点评】考查了分式的化简求值解答本题的关键是对分式进行化简，代值计算要仔细．14．2025年11月9日至21日，第十五届中华人民共和国全国运动会在广州、香港、澳门三座城市同时举行，与运动会吉祥物“喜洋洋”、“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心出售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．（1）求每个A种挂件的价格；（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．【分析】（1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元，利用数量＝总价÷单价，结合用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；（2）设该游客购买y个A种挂件，则购买（y+5）个B种挂件，利用总价＝单价×数量，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．【解答】解：（1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元根据题意得：﹣＝7解得：x＝25经检验，x＝25是所列方程的解，且符合题意．答：每个A种挂件的价格为25元；（2）设该游客购买y个A种挂件，则购买（y+5）个B种挂件根据题意得：25y+25×（y+5）≤600解得：y≤又∵y为正整数∴y的最大值为11．答：该游客最多购买11个A种挂件．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．15．某网店购进水果后再销售．甲种水果的进价比乙种水果每件多，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件．（1）求甲、乙两种水果每件的进货单价；（2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由．【分析】（1）设乙种水果每件的进货单价为x元，则甲种水果每件的进货单价为（1+）x元，利用数量＝总价÷单价，结合花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙种水果每件的进货单价，再将其代入（1+）x中，即可求出甲种水果每件的进货单价；（2）利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元，设购进甲种水果m件，则购进乙种水果（100﹣m）件，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合进货总价不超过4200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量（进货数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【解答】解：（1）设乙种水果每件的进货单价为x元，则甲种水果每件的进货单价为（1+）x元根据题意得：﹣＝5解得：x＝30经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意∴（1+）x＝（1+）×30＝50．答：甲种水果每件的进货单价为50元，乙种水果每件的进货单价为30元；（2）利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元，理由如下：设购进甲种水果m件，则购进乙种水果（100﹣m）件根据题意得：50m+30（100﹣m）≤4200解得：m≤60设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为w元则w＝（60﹣50）m+（30×2×0.6﹣30）（100﹣m）即w＝4m+600∵4＞0∴w随m的增大而增大∴当m＝60时，w取得最大值，最大值＝4×60+600＝840，此时100﹣m＝100﹣60＝40∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．16．【教材母题】（1）①两个小组同时开始攀登一座450m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰，求这两个小组的攀登速度各是多少？（单位：m/min）②如果山高为hm，第一组的攀登速度是第二组的a倍（其中a＞1），并且比第二组早tmin到达顶峰，直接写出第二组的攀登速度为m/min；（结果用含h、a、t的式子表示）【拓展延伸】（2）如果山高为hm，第一组准备一半路程以v1m/min的速度攀登，另一半路程以v2m/min的速度攀登（v1≠v2）；第二组准备全程以的速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由．【分析】（1）①设第二组的速度为xm/min，则第一组的速度为1.2xm/min，根据第一组比第二组早15min到达顶峰，列出分式方程，解方程即可；②设第二组的速度为ym/min，则第一组的速度为aym/min，根据第一组比第二组早tmin到达顶峰，列出分式方程，解方程即可；（2）分别求出两个小组到达顶峰需要的时间，再比较大小，即可得出结论．【解答】解：（1）①设第二组的速度为xm/min，则第一组的速度为1.2xm/min由题意得：＝+15解得：x＝5经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意∴1.2x＝6答：第一小组的速度为6m/min，第二小组的速度为5m/min；②设第二组的速度为ym/min，则第一组的速度为aym/min由题意得：＝+t解得：y＝经检验：y＝是原分式方程的解故答案为：m/min；（2）第二组先到达顶峰，理由如下：∵第一组准备一半路程以v1m/min的速度攀登，另一半路程以v2m/min的速度攀登（v1≠v2）∴第一组需要的时间t1＝÷v1+÷v2＝（+）＝∵第二组准备全程以的速度攀登∴第二组需要的时间t2＝＝∴t1﹣t2＝﹣＝＝∵v1≠v2∴v1﹣v2≠0∴＞0∴t1＞t2∴第二组先到达顶峰．【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式等知识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．17．某工厂要生产一批零件150个，已知乙的工作效率是甲的2倍．（1）设甲每天做零件x个，求乙单独生产这批零件比甲单独生产这批零件少用的天数（用含x的代数式表示）．（2）若这批零件先由甲单独做1天，剩下的由乙来做，乙用的时间比甲单独做完这150个零件所用的时间还少2天，求乙每天所做零件的个数【分析】（1）设甲每天做零件x个，根据“乙单独生产这批零件比甲单独生产这批零件少用的天数”列出代数式即可；（2）设甲每天做零件x个，则一每天做零件2x个；然后根据等量关系“乙用的时间比甲单独做完这150个零件所用的时间还少2天”列分式方程求解即可．【解答】解：（1）设甲每天做零件x个，则乙每天做零件2x个∴乙单独生产这批零件比甲单独生产这批零件少用的天数为：，即天．答：乙单独生产这批零件比甲单独生产这批零件少用天；（2）设甲每天做零件x个，则乙每天做零件2x个由题意可得：解得：x＝50经检验：x＝50是分式方程的解所以2x＝100．答：乙每天所做零件100个．【点评】本题主要考查了列代数式、分式方程的应用，审清题意、正确列出代数式和分式方程是解题的关键．18．乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．【分析】先设小李所进乌梅的数量为x（kg），根据前后一共获利750元，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．【解答】解：设小李所进乌梅的数量为x（kg），根据题意得：•40%•150﹣（x﹣150）••20%＝750解得：x＝200经检验x＝200是原方程的解解法二：总销售额﹣成本＝获得的利润•（1+40%）•150+（x﹣150）••（1﹣20%）﹣3000＝750x＝200经检验x＝200是原方程的解答：小李所进乌梅的数量为200kg．【点评】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．19．A、B两城铁路长240千米，为使行驶时间减少20分，需要提速10千米/时，但在现有条件下安全行驶限速100千米/时，问能否实现提速目标．【分析】在提速前和提速后，行走的路程并没有发生变化，由此可列方程解答．【解答】解法一解：设提速前速度为每小时x千米，则需时间为小时依题意得：（x+10）（﹣）＝240解得：x1＝﹣90（舍去），x2＝80因为80＜100，所以能