五年级数学下册：最大公因数的应用（第8课时）导学案

五年级数学下册：最大公因数的应用（第8课时）导学案

一、导学案顶层设计框架

（一）学科与学段归属：小学数学五年级下册

（二）课程教材依据：人民教育出版社义务教育教科书·数学五年级下册第四单元“分数的意义和性质”

（三）课时定位：第4单元第8课时公因数与最大公因数第二课时——实际应用

（四）导学案性质：基于“学为中心”理念的探究性学习任务单与教学实施一体化方案

（五）设计哲学：以真实问题为锚点，以数学建模为主线，以跨学科融合为支点，实现从“解题”到“解决问题”的素养跃升

二、教学背景全息分析

（一）课标要求深度解构

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“数与代数”领域明确指出：学生应能找出两个自然数的最大公因数，并能在真实情境中运用最大公因数解决简单的实际问题，形成初步的模型意识和应用意识。本课时正是将“双基”升华为“素养”的关键节点，要求教师摒弃单纯的算法操练，转向情境包裹、任务驱动、意义建构的整合式学习。

（二）教材纵横定位

纵向看：本课承接三年级“长方形、正方形面积计算”、四年级“因数和倍数”，以及本单元前一课时“最大公因数的求法”；横向看：它直接为后续“约分”“通分”及六年级“比的应用”提供逻辑支撑。教材编排仅提供一个铺地砖的例题，但教学中必须以此为原型，生发出分组、裁剪、分段等一系列同构问题，帮助学生完成从特殊到一般的认知飞跃。

（三）学情精准画像

五年级学生已具备求两个数最大公因数的基本技能，但多数学生停留在机械操作层面，对“公因数在现实空间中意味着什么”缺乏直观体验。前测数据显示：约72%的学生能正确计算18和27的最大公因数，但面对“用正方形地砖铺满长18分米、宽12分米的客厅，地砖边长最大是多少”时，有近半数学生不知从何下手。这说明“数量关系”向“空间关系”的转换是本节课的真实起点。同时，学生已有用方格纸模拟铺砖的间接经验，这是可激活的宝贵资源。

（四）跨学科融合触点

1.美术学科：地砖铺设涉及密铺图形的审美与图案设计；

2.劳动学科：收纳盒分割、材料裁剪体现优化思想与节约意识；

3.信息技术：可利用GeoGebra或在线虚拟铺砖工具动态演示公因数与正方形个数的关系；

4.德育渗透：志愿者分组、爱心物资分配等情境自然融入社会责任教育。

三、教学目标层级矩阵（以行为化动词呈现）

（一）基础性目标（人人达成）

1.能在具体情境中识别“求最大公因数”的数学结构，将生活问题转化为数学问题；

2.能运用列举法、短除法或分解质因数法正确计算两个数的最大公因数，并解释结果的实际含义；

3.能规范书写“答语”，完整表述解决问题的过程。

（二）拓展性目标（多数达成）

4.能自主探究“已知正方形地砖边长最大值，求需要地砖块数”的进阶问题，理解“长÷边长”“宽÷边长”与公因数的逻辑关联；

5.能从铺砖问题迁移至分组、剪绳、分段植树等同类问题，归纳出“公因数模型”的共性特征。

（三）挑战性目标（部分达成）

6.能解决三个数的最大公因数实际问题（如三种规格的钢材切割成等长小段）；

7.能在开放性情境中设计“不浪费材料”的最优方案，并说明理由；

8.能用数学语言向同伴或家长讲解“为什么最大公因数对应最大边长、最多组数”。

四、教学重难点精准锁定

【核心难点】理解“公因数是边长、组数、段长的可能性集合，最大公因数对应最大可能值”。此难点在于学生难以将抽象的因数概念与具体的度量单位（分米、人数、厘米）建立一一对应关系。

【高频考点·非常重要】长方形内铺最大正方形地砖问题。历年区统考、期末考中，约25%的应用题以此原型或变式呈现，且常与面积计算、最优方案设计结合考查。

【关键能力·重要】将文字描述转化为直观图示的能力，以及从结果反推条件的逆向思维。

五、教学准备与资源开发

（一）学具包设计

1.方格纸模拟板：每人一张长18格、宽12格的方格纸（每格代表1平方分米），彩色正方形磁片若干；

2.短除法速算卡：含10组常见数的最大公因数练习；

3.平板电脑（选配）：内置GeoGebra铺砖模拟小程序，可自由输入长、宽数据并即时生成铺砌方案。

（二）情境素材库

4.图片素材：居家客厅地砖实拍图、学校合唱队排练队形图、医疗物资装箱图；

5.微视频：工人师傅切割大理石地砖的工艺流程，突出“整块铺满、不切割”的要求。

（三）板书预设结构

左侧留白区用于学生板演，主板书采用“情境—算式—模型”三栏式，右侧生成核心词汇：可能性、不浪费、最大值、公因数。

六、教学实施过程详案（核心篇幅）

（一）启动阶段：情境破冰，唤醒度量直觉（约4分钟）

1.教师活动

教师呈现一幅未完成装修的客厅实景图，地面标注“长36分米，宽24分米”。提问：“如果选用正方形地砖，要求必须整块铺满，不切割地砖，那么地砖的边长可以是多少分米？最大是多少分米？”板书副标题：“铺满的秘密”。

2.学生活动

学生独立思考30秒，部分学生脱口而出“6分米”“12分米”。教师不急于纠正，而是邀请一位学生上台，在磁性方格板上尝试摆放正方形磁片。当学生尝试边长为12分米的磁片时，发现长边恰好3块，宽边恰好2块，铺满成功。教师追问：“12是36和24的什么数？”学生齐答：“公因数。”教师顺势揭示本课核心问题：“今天我们就来研究，公因数在生活中究竟长什么样。”

【非常重要】此处必须让学生动手“摆一摆”，而非仅凭口头计算。触觉经验能将“数”的整除关系转化为“形”的密铺关系，这是跨越认知鸿沟的第一步。

3.设计意图分析

从学生熟悉的家居装修切入，利用直观教具制造认知冲突——部分学生误以为“只要是公因数就能铺”，实际演示后所有公因数都成立，从而自然引出“所有公因数都是可能的边长”。此环节重在铺垫“可能性集合”意识，为后续探究“最大”做足准备。

【热点·生活化】装修选砖是五年级学生能直接接触的生活场景，极易激发代入感，近年试题中频繁出现类似“厨房铺砖”“阳台铺砖”情境。

（二）建构阶段：任务群驱动，深度建模（约22分钟）

1.核心任务一：铺砖问题——从具体计算到模型提炼

（1）【任务发布】

各小组领取任务卡：A组：长30分米，宽18分米；B组：长42分米，宽28分米；C组：长50分米，宽35分米；D组：长24分米，宽16分米。要求：①找出正方形地砖的最大边长；②计算需要多少块地砖；③在方格纸上画出铺砌草图。

（2）【探究支架】

教师巡回指导，针对不同层次学生提供差异化支持：

对于学困生，提示先分别写出长和宽的因数，再圈出公因数；

对于中等生，鼓励尝试短除法并思考“块数怎么求”；

对于优等生，追问“如果地砖边长不是最大公因数，块数会怎样变化？哪种方案最省料？”

（3）【小组汇报与辩论】

A组代表上台展示：30和18的最大公因数是6，地砖边长最大6分米；块数=（30÷6）×（18÷6）=5×3=15块。教师将算式板书在“模型区”，并用红笔圈出“30÷6”“18÷6”。提问：“为什么不是30×18÷（6×6）？”引导学生发现两种算法的一致性，并体会“先分后总”的简洁性。

此时B组提出质疑：“我们组42和28的最大公因数是14，块数=（42÷14）×（28÷14）=3×2=6块。但画图时发现，边长14分米的地砖很大，房间只铺6块，会不会不好看？”此问题引爆课堂，教师抓住契机组织微辩论：数学上的“最大”是否等于生活中的“最优”？学生提出还可以选边长7分米、2分米、1分米的方案。教师总结：“最大公因数对应的是‘最省切割’或‘最大规格’，但实际选择还要考虑美观、成本等因素。数学给出了可能性，生活需要权衡。”

【难点·突破】此环节成功将单纯的算法应用推向辩证思考，学生真正理解了公因数是一组解集，最大公因数是解集中的最大值，而非唯一解。

（4）【模型符号化】

师生共同归纳板书核心公式：

铺砖最大边长=长和宽的最大公因数

地砖块数=（长÷最大公因数）×（宽÷最大公因数）

教师强调：这个模型可以写成——总量分成若干份，份数取决于整除关系。

【高频考点·必会】两步计算：先求最大公因数，再求长边块数、宽边块数并相乘。常见错误是直接求面积再除以地砖面积，虽然结果正确，但丧失了对“公因数”本质的理解，教学中应鼓励两种方法并用并对比。

2.核心任务二：分组问题——模型迁移与反绎

（1）【情境转换】

教师出示少先队大队部通知：“五年级有男生32人，女生24人参加植树活动。如果按男女混合小组，每组男生人数相同、女生人数相同，每组人数最多可以是多少人？这时可以分成几组？”

学生独立审题后，教师引导发现：“这其实就是铺砖问题搬家了——男生数相当于长，女生数相当于宽，每组人数相当于地砖边长。”现场有学生惊呼：“那最多人数就是最大公因数！”教师请学生完成计算：32和24的最大公因数是8，每组最多8人（其中男生4人，女生3人），总组数=（32+24）÷8=7组，或者分别计算男生组数32÷8=4组、女生组数24÷8=3组，共7组。

（2）【深度追问】

“为什么求最多组数时，反而要除以最大公因数？这和铺砖问题求块数是一个道理吗？”学生对比后发现：铺砖是“沿着长摆几块，沿着宽摆几块”，分组是“男生分几组，女生分几组”，结构完全同构。教师板书迁移模型：

最多组数对应的每组人数=最大公因数

总组数=（甲数量+乙数量）÷最大公因数

【重要·关联】此环节价值在于打破情境壁垒，揭示不同现实问题背后相同的数学结构，是培养模型意识的关键步骤。

3.核心任务三：裁剪与分段——三个数的公因数拓展

（1）【挑战升级】

教师呈现进阶题：“有三根钢管，分别长12分米、18分米、30分米。现在要把它们锯成同样长的小段，每段尽可能长，且不能有剩余。每段长多少分米？一共锯成多少段？”

学生尝试后发现需要求三个数的最大公因数。教师引导学生回顾短除法：先用三个数公有的质因数2去除，再用公有的质因数3去除，得商2、3、5，最大公因数为2×3=6。每段长6分米，段数=12÷6+18÷6+30÷6=2+3+5=10段。

（2）【易错预警·一般】

此处学生极易犯两个错误：一是忘记继续除至两两互质；二是误将短除法中的除数全部相乘。教师需规范格式，并强调“三个数的最大公因数是它们全部公有的质因数乘积”，并通过反例（如再增加一根16分米的钢管）说明并非所有组合都有大于1的公因数。

（3）【思维可视化】

利用数轴图将三根钢管并排绘制，不同颜色标注6分米的切割点，直观显示10个分段。此图示强烈冲击学生视觉，将代数结果还原为几何直观，有效降低认知负荷。

（三）内化阶段：分层练习，螺旋巩固（约10分钟）

1.基础性练习（面向全体，独立完成）

【题目1】王阿姨要给厨房铺防滑垫，厨房地面长45分米，宽30分米。她想买正方形防滑垫，不用剪裁就能铺满。防滑垫边长最大是多少分米？需要买多少块？

（独立解答，同桌互批。重点检查短除法书写及答语完整性。）

【必会·高频】此题为课例题完全同构，正确率应达95%以上。

【题目2】五（1）班有42人，五（2）班有36人。在运动会入场式中，两个班要分别组成方队，每队人数相同，且每队人数尽可能多。每队多少人？两个班各可以分成几队？

（学生可能出现两种算法：分别求42和36的最大公因数6，得五（1）班7队，五（2）班6队；或将总人数78人除以6得13队。教师肯定后一种更简洁，但强调必须说明“每队人数仍是6人，并非两队合并成一队”。）

2.变式性练习（小组合作，选做一题）

【A组】用一张长72厘米、宽48厘米的长方形卡纸，剪成若干个同样大的正方形，要求没有剩余。正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个？

（此题为铺砖问题逆向变式——已知长方形，求能剪出的最大正方形个数。）

【B组】把两根彩带分别剪成长度相等的小段，且没有剩余。第一根长56厘米，第二根长40厘米，每小段最长是多少厘米？一共能剪成多少小段？

（两数求公因数后求段数之和，与分组模型完全一致。）

【C组】学校食堂采购三种食材：牛肉30千克，猪肉42千克，鸡肉18千克。现在要用保鲜袋分装，每袋装的同种肉质量相同，且尽量大袋。每袋最多装多少千克？一共装多少袋？

（三个数的最大公因数应用，挑战性较强，需小组互助。）

【热点·素养】此题将数学与劳动教育、营养午餐结合，体现综合育人导向。

3.开放性练习（弹性任务，鼓励挑战）

“如果长方形房间的长和宽都是质数，那么能铺满的最大正方形地砖边长是多少？请举例说明。”学生通过举例发现：两个质数（不相等）的公因数只有1，因此只能选边长为1分米的地砖，块数等于面积。此结论与质数性质完美对接，打通知识隔断墙。

（四）升华阶段：总结梳理，评价反思（约4分钟）

1.师生共建知识图谱

教师引导：“回顾今天研究的三个问题——铺地砖、分组、锯钢管，它们都用到了什么数学知识？”学生归纳出“最大公因数”。教师继续追问：“为什么这些问题都能用最大公因数解决？”学生通过讨论逐步形成共识：这些问题都要求“平均分”且“不浪费”，而“公因数”正好刻画了“可以平均分”的所有可能性，“最大公因数”就是“最大的平均分单位”。

【核心素养·非常重要】此环节实现了从“解题技巧”到“学科本质”的飞跃。学生不再认为最大公因数只是一个计算程序，而是理解它作为“度量单位”的深层含义。

2.自我评价与反思

学生填写导学案尾页的“学习复盘”栏，包含三个问题：

[1]我今天解决了哪几类实际问题？

[2]我在“铺砖问题”向“分组问题”迁移时遇到过困惑吗？如何解决的？

[3]如果给爸爸妈妈讲“为什么最大公因数是最大边长”，我会怎么讲？

教师选取两份典型复盘进行匿名分享，强化元认知策略。

【重要·情感】让学生讲述思维过程，比单纯做对题目更能反映真实理解水平。

（五）延伸阶段：跨界作业，知行合一（融入课前、课后，约1分钟布置）

1.基础巩固作业（全员必做）

完成教材练习十六第4、5、6题，要求用短除法写出计算过程，并完整作答。

2.实践探究作业（选做，二选一）

【作业A·数美融合】测量家中一个长方形桌面（或地垫）的长和宽，计算如果用正方形丝巾铺满，丝巾边长最大是多少厘米？需要多少块？并拍摄一张“数学美”照片上传班级相册。

【作业B·项目式学习】学校图书馆地面长960厘米、宽720厘米，现准备用正方形地砖重新铺装，地砖边长必须是整厘米数，且厂家只生产边长40厘米、60厘米、80厘米、120厘米四种规格。请设计一种最节省材料（即不用切割）且美观的方案，并说明理由。

（此题将数学决策与真实采购限制结合，需要学生先求最大公因数240，然后从给定规格中选取240的因数，如60、80、120，再综合面积、造价、视觉审美给出方案。）

【一般·选做】此作业不强制统一，旨在为学有余力者提供施展空间，同时反哺课堂——次日可邀请几位学生进行“方案发布会”。

七、板书结构全景呈现（过程生成，非预设）

黑板左侧：

——铺砖问题——

长36、宽24

边长可能：1,2,3,4,6,12

最大边长：12（最大公因数）

块数：（36÷12）×（24÷12）=3×2=6块

黑板中部：

——分组问题——

男32、女24

每组最多人数：8（最大公因数）

组数：（32+24）÷8=7组

或32÷8=4组，24÷8=3组，共7组

黑板右侧：

——锯管问题——

12、18、30

短除法：

2|121830

3|6915

235

最大公因数：2×3=6

段数：2+3+5=10段

黑板顶端：

【模型本质】最大公因数=最大“单位”|块数、组数、段数=各量除以单位后相加或相乘

八、教学效果评价与反馈机制

（一）过程性评价工具

1.课堂观察量表：教师手持简表，针对“能否独立完成基础计算”“能否参与小组讨论并提出见解”“能否将铺砖语言转化为分组语言”三个维度随机记录典型行为；

2.即时性理答：对提出“边长为1也是公因数，为什么不选”的学生授予“质疑之星”，对能主动将铺砖块数算法迁移到分组问题的学生授予“迁移之星”。

（二）终结性评价设计

课后5分钟限时测：题目为“把一张长20厘米、宽15厘米的长方形纸剪成同样大的正方形，不准浪费，正方形边长最大是多少厘米？能剪几个？”此题为原模原样的课堂再现，正确率低于90%需启动课后个别辅导。

（三）错例资源化

收集学生作业中典型错误，如“只求了最大公因数，忘记继续求块数”“三个数短除法除到两两互质还继续除”，制作“错例医院”展板，下一课时前3分钟进行会诊。

九、教学反思与优化预案（供教师使用，非呈现于学生任务单）

（一）预设困难与应对

1.情境负迁移风险：部分学生可能误以为所有公因数问题都是“求最大”，在今后学习最小公倍数时产生混淆。对策：在本课总结时刻意埋下伏笔——“今天学的都是‘不浪费’所以要取最大，生活中也有‘下一次