《因数和倍数》（教案）-五年级下册数学人教版

因数与倍数：小学五年级数学探索性教案

一、教学内容分析

本节课选自人教版小学数学五年级下册第二单元，是系统认识数与数之间关系的重要起始课。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，其核心定位在于从“数与代数”领域帮助学生理解整数概念，发展数感和符号意识，并为后续学习公因数、公倍数乃至分数的约分与通分奠定坚实的逻辑基础。知识技能图谱上，它要求学生在理解整除意义的基础上，精准建立因数与倍数的概念，掌握有序、不重不漏地求一个数的因数与倍数的方法。这一对概念互为逆反关系，共同构建起一个数的“构成”与“衍生”两个维度，是单元知识链承上（巩固整数运算）启下的枢纽。过程方法上，本课蕴含着丰富的归纳、类比、有序思考等数学思想方法，需要将其转化为学生操作、观察、猜想、验证的探究活动。其素养价值深远，不仅在于概念本身，更在于通过探索整数内在规律，培养学生的抽象能力、逻辑推理能力和严谨求实的科学态度，感受数学的简洁与和谐之美。

对于五年级学生而言，他们对整数的运算非常熟悉，具备了较好的抽象思维萌芽，但“因数”与“倍数”是一对全新的、抽象的关系性概念，其相互依存性对学生的辩证思维提出了挑战。学生可能受前概念干扰，混淆“因数”与“除法中的除数”，“倍数”与“乘法中的积”，也容易在寻找因数倍数时产生遗漏或重复。因此，教学必须从学生熟悉的乘除法情境出发，搭建具体到抽象的桥梁。我将设计关键性问题链和多元表征（如矩形阵列模型）来暴露学生的思维过程，并通过即时的小组讨论与展示，动态诊断学情。针对不同认知风格的学生，将提供实物操作、图像支撑和符号抽象等多条探索路径，确保每个学生都能在自身“最近发展区”内获得有效发展。

二、教学目标

1.知识目标：学生能结合具体情境，理解因数和倍数的意义，明确两者是在非零自然数范围内、由整除关系所定义的相互依存的一对数。学生能掌握求一个数的因数和找一个数的倍数的基本方法，理解一个数的因数的有限性、倍数的无限性及其特征。

2.能力目标：学生能在探索如何“找全”因数和“找到”倍数的过程中，发展有序思考、全面枚举的能力。能初步运用因数与倍数的知识解决简单的实际问题，并在辨析概念、举例说明中提升数学语言的表达能力和逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观目标：在合作探究与交流分享中，学生能体验到数学知识之间的内在联系以及探索规律的乐趣，感受数学的严谨性。养成乐于思考、勇于质疑、认真细致的学习习惯。

4.数学思维目标：重点发展学生的抽象概括思维（从具体算式中抽离出一般关系）和关系性思维（理解因数与倍数的互逆与依存）。通过“找”的过程，强化有序、不重不漏的数学思想方法。

5.评价与元认知目标：引导学生通过设计“因数卡片”或绘制“倍数射线图”等活动，建立自我检查的策略（如成对找因数、用乘法口诀验证）。学会通过对比、归纳来梳理知识结构，并能在课堂小结中清晰陈述“我学到了什么”以及“我是如何学会的”。

三、教学重点与难点

1.教学重点：理解因数和倍数的意义，掌握求一个数的因数与倍数的方法。确立依据：这两个目标是本节课最核心的知识与技能要求，是《课程标准》中明确规定的“理解”和“掌握”层级。它们是后续学习最大公因数、最小公倍数等所有相关知识的逻辑起点，其理解深度直接决定了整个单元的学习质量。从学业评价角度看，因数和倍数的概念辨析与正确寻找是各类测评中的基础高频考点。

2.教学难点：一是完整、有序地找出一个数的所有因数，特别是如何引导学生自觉、系统地成对寻找；二是深刻理解因数与倍数概念的相互依存性，避免孤立、片面地记忆。预设依据：从认知跨度看，从具体的“除法算式”过渡到抽象的“关系”存在跳跃；从思维特点看，五年级学生的思维有序性和全面性尚在发展之中，易产生遗漏。常见错误如找因数时遗漏“1”和它本身，或认为倍数最大是它本身等，均源于对概念本质和“关系”理解的偏差。突破方向在于提供结构化材料（如小正方形拼长方形），设计引导性问题链，使思维过程可视化、有序化。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（包含动态演示、分类活动、分层练习）；12个完全相同的小正方形磁贴（用于拼长方形模型演示）；为每个小组准备一套（如20个）小正方形学具。

1.2学习材料：设计分层学习任务单（含基础探究、进阶挑战）；设计“因数的奥秘”探究卡。

2.学生准备

2.1学具：直尺、铅笔。

2.2预习：复习乘除法相关知识，并尝试思考：在12÷3=4这个算式中，12、3、4这三个数之间，除了除法关系，还可能存在什么特殊关系？

3.环境布置

3.1座位安排：课前调整为4-6人合作学习小组。

3.2板书记划：预留核心概念区、方法提炼区、学生作品展示区。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境激活与问题驱动

1.1“同学们，生活中我们经常遇到排队分组的问题。比如，五（1）班有12名同学参加广播操表演，老师想把他们排成人数相等的整行，可以怎么排？”（利用课件动态演示：排成1行，每行12人；排成2行，每行6人……）“能用一个乘法算式来表示每种排法吗？”

1.2学生列举：1×12=12，2×6=12，3×4=12。“大家观察这些算式，我们发现，12这个数可以被1、2、3、4、6、12这些数整除。那么，像这样存在整除关系的数，在数学上我们给它们起了专门的名字，叫做‘因数’和‘倍数’。今天，我们就一起来探索这对‘好朋友’的奥秘。”

2.明确路径

“那么，究竟什么是因数，什么是倍数？它们之间是什么关系？怎么才能一个不漏地找出一个数的所有因数，又快又好地找出它的倍数？这就是我们今天要攻克的核心问题。我们将从具体的例子出发，像数学家一样去发现和总结规律。”

第二、新授环节

###任务一：从算式中抽象，初识概念

1.教师活动：聚焦核心算式，如12÷3=4。首先提问：“在这个整数除法算式中，哪个数能被哪个数整除？”引导学生规范表达“12能被3整除”或“3能整除12”。接着，揭示概念：“我们就说，3是12的因数，12是3的倍数。”板书核心关系式。然后，进行概念的“变式”与“辨析”：“根据12÷2=6，你能说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？那么，根据4×3=12这个乘法算式呢？”（强调除法与乘法是表述同一关系的两种方式）。最后抛出辨析题：“能单独说‘3是因数’或‘12是倍数’吗？为什么？”引导学生理解概念是相互依存的一对。

2.学生活动：倾听、模仿表达。尝试根据教师提供的其他算式（如20÷4=5）和乘法算式，反复练习用规范语言叙述因数与倍数关系。在小组内讨论“单独说”为什么不对，并尝试举例说明。

3.即时评价标准：

1.4.能否准确判断两个非零自然数间是否存在整除关系。

2.5.能否用“（）是（）的因数，（）是（）的倍数”的完整句式进行表达。

3.6.在讨论中，是否能结合具体例子说明概念的相互依存性。

7.形成知识、思维、方法清单：

1.8.★概念基石：因数和倍数是在非零自然数的范围内，由整数除法（没有余数）所定义的一种相互依存的关系。不能说单独一个数是因数或倍数。

2.9.▲双重视角：“a×b=c”与“c÷a=b”是表述因数倍数关系的两种等价形式。乘法关注“构成”，除法关注“包含”。

3.10.★语言规范：必须规范表述。例如，对于12÷3=4，应说“3是12的因数，12是3的倍数”。

4.11.教学提示：此阶段应“慢下来”，通过大量举例和反复说，让概念的种子扎实落地。可以幽默地说：“它们就像‘父子关系’，必须说清楚‘谁是谁的爸爸’，不能只喊‘爸爸’。”

###任务二：动手拼图，探究找因数的方法

1.教师活动：提出探究问题：“我们已经知道1，2，3，4，6，12都是12的因数。那么，怎样能保证一个不漏地找出一个数所有的因数呢？让我们请出老朋友——小正方形来帮忙。”布置任务：请用你们手中的小正方形，拼出面积是12的不同长方形（包括正方形），并记录下每行摆几个，摆了几行，写出对应的乘法算式。教师巡视，关注学生是否有序操作。待大部分完成后，请小组代表上台展示拼法和对应的算式（1×12,2×6,3×4）。

2.学生活动：以小组为单位，合作操作小正方形，尝试拼出所有可能的长方形，并将拼法（长、宽）及对应的乘法算式记录在任务单上。观察、讨论这些拼法有什么规律。

3.即时评价标准：

1.4.操作是否有序（如从每行摆1个开始尝试）。

2.5.能否将每一种拼法与一个乘法算式精准对应。

3.6.小组内分工是否明确，交流是否有效。

7.形成知识、思维、方法清单：

1.8.★模型支撑：用面积固定的长方形（行数×每行个数=总数）模型，可以直观地“看”到一个数的所有因数对。这个模型是理解因数的重要脚手架。

2.9.★有序思想：从每行摆1个开始，依次增加每行的个数（1，2，3…），当重复出现时停止。这种方法能确保不重不漏。（教师引导语：“看，我们从‘1’开始，‘一对一对’地找，像朋友手拉手，这样就不会有遗漏了。”）

3.10.★因数特征：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。因数的个数是有限的。

4.11.教学提示：在学生展示后，引导全班观察算式排列，发现“成对出现”的规律，并思考“什么时候找完了？”（当两个因数相等或非常接近时）。

###任务三：挑战新数，固化方法并发现规律

1.教师活动：提出新挑战：“现在，请大家用这种‘有序成对’找朋友的方法，独立找出18的所有因数，记录在任务单上。”巡视，重点关注学困生能否运用方法，学优生能否快速完成。收集典型作品（有序的、无序的、遗漏的）进行投影展示对比。引导学生总结方法步骤：1.从1试起，看能否整除；2.如果能，写出对应的因数对；3.直到两个因数相等或接近为止。

2.学生活动：独立尝试找出18的所有因数（1，2，3，6，9，18）。对比展示的作品，反思自己的方法是否有序、全面。在教师引导下，总结出找因数的一般步骤。

3.即时评价标准：

1.4.能否独立、有序地找出一个数的所有因数。

2.5.在对比他人方法时，能否指出优点或不足。

3.6.能否清晰复述找因数的步骤。

7.形成知识、思维、方法清单：

1.8.★方法程序：找一个数的因数：①从1开始，依次尝试整除；②整除后，写出商，得一对应因数对；③继续尝试，直到重复或超过商为止。

2.9.★检验策略：检查因数是否成对出现，且最小为1，最大为自己。

3.10.▲特殊数的因数：质数（如11）只有两个因数（1和它本身）。平方数（如9，16）的因数个数是奇数个，因为中间有一对相同的因数。

4.11.教学提示：对比展示是关键，让学生看到“有序”带来的优越性。可以点评：“小明同学就像一位严谨的侦察兵，按照顺序搜索，所有‘因数士兵’都被他找出来了！”

###任务四：迁移类推，探索找倍数的方法

1.教师活动：将焦点从“找因数”转向“找倍数”。“我们已经会‘拆解’一个数了。那么，怎么‘创造’出一个数的倍数呢？比如，2的倍数有哪些？”鼓励学生畅所欲言。教师板书学生列举的几个：2，4，6，8…“能写完吗？有什么好办法可以一直写下去？”引导学生发现：可以用这个数依次乘1，2，3，4…强调“依次”和“无数个”。接着，让学生尝试找出3和5的前几个倍数（如5个），并观察这些倍数有什么共同点。

2.学生活动：思考并回答如何得到一个数的倍数。通过列举2、3、5的倍数，体验用乘法“生成”倍数的过程。观察并总结一个数的倍数的特点。

3.即时评价标准：

1.4.能否理解并说出求一个数的倍数就是用这个数依次乘非零自然数。

2.5.列举倍数时是否有序。

3.6.能否正确说出一个数的最小倍数和倍数的个数特征。

7.形成知识、思维、方法清单：

1.8.★生成方法：找一个数的倍数：用这个数依次乘1，2，3，4……。（教师解说：“如果说找因数是‘拆’，那么找倍数就是‘乘’，像坐上了一个乘法小火车，一直往前开，没有终点站。”）

2.9.★倍数特征：一个数的最小倍数是它本身。没有最大倍数。倍数的个数是无限的。写倍数通常加省略号。

3.10.▲关系对比：对比因数与倍数的“找法”和“特征”，在比较中加深理解，构建知识网络。

###任务五：综合辨析，深化理解与应用

1.教师活动：设计一组辨析与应用的“思维体操”。①判断题：a.8的倍数只有16，24，32。（考查“无限性”）b.因为36÷9=4，所以36是倍数，9是因数。（考查“依存性”）②开放题：“我是谁？”——我是一个数，我的最大因数和最小倍数都是15。我是（）。③简单应用题：园艺师要用同样长的篱笆围一个面积是24平方米的长方形花圃（边长是整米数），可以有哪些设计方案？引导学生将生活问题转化为“找24的因数对”。

2.学生活动：独立思考完成辨析题，并说明理由。在开放题中，运用“一个数最大因数和最小倍数都是它本身”的结论解决问题。尝试将应用题的“长和宽”与“24的因数对”建立联系。

3.即时评价标准：

1.4.对概念本质的理解是否到位，能否识别常见错误。

2.5.能否灵活运用因数和倍数的特征解决简单问题。

3.6.能否建立数学模型（找因数）解决实际情境问题。

7.形成知识、思维、方法清单：

1.8.★概念辨析点：区分“倍数”（无限集）与“一个数的倍数”（列举部分）；坚决杜绝“单独说”。

2.9.★核心性质：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。这是一个非常重要的结论，可用于快速判断和解决问题。

3.10.★应用建模：将“等面积的不同长方形边长”问题，转化为“找一个数的所有因数对”的数学模型，这是数学应用价值的初步体现。

第三、当堂巩固训练

本环节设计分层、变式的练习，以提供及时反馈与针对性提升。

1.基础层（全体必做）：

1.2.说一说：根据15÷5=3，说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

2.3.写一写：写出18的所有因数；写出4的5个倍数。

1.4.目的：巩固最基本的概念表述和寻找方法。

2.5.反馈机制：学生口答，全班手势判断（如拇指向上/下）。教师快速扫描书面结果，对普遍性问题进行简短讲评。

6.综合层（多数学生挑战）：

1.7.想一想：一个数是42的因数，同时也是7的倍数。这个数可能是多少？（7，14，21，42）

2.8.选一选：一个数既是9的因数，又是9的倍数，这个数是（）。

1.9.目的：综合运用概念，理解集合交集，巩固核心性质。

2.10.反馈机制：小组内讨论，派代表分享思路。教师展示不同的解题路径（如列举筛选、逻辑推理），并强调有序思考的重要性。表扬能用“最大因数和最小倍数都是本身”快速解决第2题的学生。

11.挑战层（学有余力选做）：

1.12.探究“完美数”：像6这样的数，它所有的真因数（除了它本身以外的因数）之和恰好等于它本身（1+2+3=6）。你能找出20以内的下一个“完美数”吗？（28）

2.13.目的：激发数学兴趣，拓展数论视野，感受数学的奇妙。

3.14.反馈机制：作为趣味拓展，课后分享或数学角展示。教师可简单介绍完美数的背景知识，点燃学生的探究热情。

第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与反思，而非教师单方面复述。

1.知识整合：“同学们，今天我们认识了数学世界里一对重要的‘关系’——因数与倍数。谁能用一句话说说它们的‘家规’（定义前提）？”“现在，请大家在练习本上画一个简单的思维导图或者知识树，把今天学到的主要知识点（定义、关系、找法、特点）整理出来。”请1-2名学生展示并解说自己的知识结构图。

2.方法提炼：“回顾一下，我们是怎么发现并学会这些知识的？用到了哪些好方法？”（从例子中抽象、用模型帮助理解、有序思考、对比归纳等）。

3.作业布置与延伸：

1.4.必做作业（基础性）：完成课本“做一做”及练习二第1、2、3题。

2.5.选做作业（拓展性）：①研究数字“24”，写出它的所有因数，并试着将24写成两个不同因数相加的形式，看看能发现什么？②（探究性）和家人玩一个“因数倍数”拍手游戏：一人说一个数（如6），另一人快速说出它的一个因数或倍数，轮流进行。

“下节课，我们将研究一个数的因数中，哪些比较特别——那就是‘质数’与‘合数’，大家可以先猜猜看，什么样的数会被称为‘质数’呢？”

六、作业设计

1.基础性作业（全体必做）：

1.完成教材课后练习中对应本课的基础题。重点聚焦于：根据算式说关系、正确找出指定数的因数和有限个倍数。

2.设计意图：确保全体学生掌握最核心的知识与技能，为后续学习扫清障碍。

2.拓展性作业（建议大多数学生完成）：

1.【“数字名片”设计】请你为自己喜欢的一个两位数（如18、24、36等）设计一张“数字名片”。名片内容包括：①这个数本身。②它的所有“因数朋友”（按顺序列出）。③它的前5个“倍数伙伴”。④关于这个数的一个有趣发现（如：它是偶数/奇数，它的因数个数，它是不是某个常见数的倍数等）。

2.设计意图：将机械的练习转化为富有创意和个性化的任务，促进学生对一个数的因数、倍数进行综合梳理和应用，并鼓励观察发现。

3.探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

1.【“完美数”探秘小报告】通过查阅资料（书籍、网络在家长指导下），了解什么是“完美数”。记录下你找到的前几个完美数，并验证它们是否符合定义。你还能发现完美数有什么其他有趣的特征或故事吗？将你的发现写成一份简短的小报告或制作成一张小报。

2.设计意图：打通课内与课外，将数学学习延伸到更广阔的领域，培养学生搜集信息、验证探究的能力，感受数学文化的魅力。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.因数与倍数的定义前提：在非零自然数范围内讨论。整除是关系纽带：若a÷b=c（a,b,c均为非零自然数），则b是a的因数，a是b的倍数。

★2.概念的相互依存性：因数和倍数是一对关系，必须说明“谁是谁的”。不能说孤立的一个数是因数或倍数。这是最核心的易错点。

★3.找一个数的因数的方法：核心是有序、成对地找。从1开始试除，能整除则除数和商都是它的因数，直到两个因数接近或重复。（考点：能有序、不重不漏地列出一个数的所有因数。）

★4.一个数因数的特征：最小因数是1，最大因数是它本身。个数是有限的。

★5.找一个数的倍数的方法：用这个数依次乘1,2,3,4…。书写时通常写出几个后加省略号。

★6.一个数倍数的特征：最小倍数是它本身。没有最大倍数。个数是无限的。

★7.关键性质：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。常用来解决填空和判断题。

▲8.与乘除法的联系：乘法算式（a×b=c）和除法算式（c÷a=b）都可以用来表示因数倍数关系。

▲9.模型支撑：用面积一定（如12）的长方形（长×宽）模型，可以直观看到所有因数对（长和宽）。此模型对理解“成对找”非常有帮助。

▲10.特殊数的因数：质数只有2个因数（1和它本身）。合数至少有3个因数。1只有1个因数（它本身），既不是质数也不是合数（后续课内容）。平方数（如9，16）的因数个数是奇数。

▲11.易错辨析：“倍数”是无限的集合，说“一个数的倍数”时，列举的部分只是这个无限集合中的几个元素。常见错误：“8的倍数只有16,24,32。”

▲12.简单应用：将“把一定数量的物品进行平均分组”或“已知面积求整边长的长方形方案”问题，转化为“找一个数的所有因数对”的数学模型。

▲13.拓展知识-完美数：一个数所有的真因数（除去本身）之和等于它本身。如6(1+2+3)，28(1+2+4+7+14)。是数论中有趣的话题。

▲14.有序思考的价值：无论是找因数还是列倍数，有序进行能保证不重复、不遗漏，这是数学严谨思维的体现，应作为重要方法加以强调。

八、教学反思

本教学设计试图在结构化认知模型、差异化学生关照与学科核心素养统领三者间寻找平衡点。回顾假设的教学实施过程，以下进行系统性反思：

（一）目标达成度评估

从知识技能层面看，通过“任务一”到“任务五”的螺旋式递进，特别是“拼长方形”的模型化操作和多次辨析，学生应能较好地理解概念本质，掌握基本方法。能力目标中，“有序思考”在找因数的环节得到了充分训练；但逻辑推理和数学表达的深度，可能在有限的课堂时间内，仅在中上层学生中得到较好发展。情感目标在合作探究和挑战“完美数”等环节有所渗透，课堂氛围的营造至关重要。

（二）核心环节有效性分析

1.导入与概念初建（任务一）：从生活情境和熟悉算式切入，较为自然。但“相互依存性”这一抽象难点，仅通过辨析和强调可能不够。可增加一个“角色扮演”小活动：让三个学生分别代表算式12÷3=4中的三个数，用绳子或卡片标明关系，让“因数”和“倍数”这两个角色必须同时、配对出现，以增强体验。

2.探究找因数方法（任务二、三）：“拼长方形”模型是成功的“脚手架”，它让抽象的“因数对”可视、可触。然而，从具体操作到抽象方法的提炼（“有序、成对”），是思维跃升的关键一步。教学中需预留足够时间让学生“悟”并“说”出规律，而非教师急于告知。对于空间想象或操作有困难的学生，应提供印有方格图的任务单，让他们通过“画”长方形来替代“拼”。

3.差异化实践：学习任务单的分层设计（基础探究与进阶挑战）和巩固练习的分层设置，基本能关照不同层次学生。但对于极少数在抽象概念理解上仍有巨大困难的学生，可能需要准备更前置的铺垫材料