10.3.3 实际问题与二元一次方程组 教学设计 人教版七年级数学下册

10.3.3实际问题与二元一次方程组教学设计人教版七年级数学下册科目XX授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师Xx老师授课班级、授课课时2025年授课题目（包括教材及章节名称）10.3.3实际问题与二元一次方程组教学设计人教版七年级数学下册教学内容一、教学内容

人教版七年级数学下册第十章10.3.3节“实际问题与二元一次方程组”，内容包括利用二元一次方程组解决行程问题、工程问题、商品价格问题及配套问题等实际应用题，重点掌握设未知数、列方程组、解方程组及检验作答的基本步骤。核心素养目标分析学情分析七年级学生已掌握一元一次方程解法及二元一次方程组基础解法，能进行简单代数运算，但将实际问题转化为数学模型的能力较弱。多数学生具备基本逻辑思维，但抽象建模意识不足，常因题意理解偏差导致设元不当或方程列错。行为习惯上，部分学生存在审题不细、步骤跳跃的问题，影响解题严谨性。学生对行程、工程等生活化问题兴趣较高，但面对复杂条件或多个等量关系时，易产生畏难情绪，需强化分析问题、寻找等量关系的训练。整体上，学生需要教师引导其梳理信息、规范解题步骤，以提升应用方程组解决实际问题的能力。教学资源准备教材：确保每位学生均有人教版七年级数学下册教材，重点标注10.3.3节内容。辅助材料：准备行程问题路线图、工程问题进度表等图片，及配套例题的多媒体课件。实验器材：本节课无实验内容，无需准备。教室布置：设置分组讨论区，便于学生合作分析题意、列方程组。教学过程（上课铃响，师生问好）

师：同学们，今天我们继续学习10.3.3节“实际问题与二元一次方程组”。之前我们学会了列二元一次方程组，但怎么用它解决生活中的实际问题呢？先看一个问题：小明和小红从相距36千米的两地同时出发，相向而行，小明骑自行车，步行，小红步行。已知小明的速度是小红的2倍，他们1.5小时后相遇。你们能算出两人的速度吗？

生：（思考）设小红的速度是x千米/小时，小明的速度是y千米/小时，根据“速度和×时间=路程”，列方程组是（x+y）×1.5=36，y=2x。

师：非常好！你们已经抓住了关键——设未知数、找等量关系。这就是解决实际问题的核心。今天我们就通过几个典型例题，系统学习如何用二元一次方程组解决实际问题。

###（一）例题探究1：行程问题（相遇问题）

师：看课本P115例1：甲、乙两人从相距36千米的两地出发，相向而行。甲骑自行车，乙步行。已知甲的速度是乙的2倍，1.5小时后两人相遇。求甲、乙两人的速度。

师：第一步，审题。你们圈画一下题目中的关键信息：

生：已知条件：相距36千米，相向而行，甲速度=2×乙速度，时间1.5小时；未知量：甲、乙的速度。

师：第二步，设未知数。设谁为x，谁为y更合理？

生：设乙的速度为x千米/小时，甲的速度为y千米/小时，这样y=2x，比较简单。

师：第三步，列方程组。相遇问题中，路程、速度、时间的关系是什么？

生：甲走的路程+乙走的路程=总路程，即1.5x+1.5y=36；又y=2x。

师：完全正确！方程组是：

1.5x+1.5y=36，

y=2x。

师：第四步，解方程组。用代入法，把y=2x代入第一个方程，得1.5x+1.5×2x=36，计算一下：

生：1.5x+3x=36，4.5x=36，x=8，所以y=16。

师：第五步，检验。把x=8，y=16代入原题：甲速度16km/h，乙8km/h，1.5小时后，甲走24km，乙走12km，24+12=36，符合题意。

师：最后，作答：甲的速度是16千米/小时，乙的速度是8千米/小时。

师：大家发现了吗？行程问题中，相遇问题的等量关系是“速度和×时间=总路程”；如果是追及问题，等量关系是什么？

生：快者走的路程=慢者走的路程+初始距离，速度差×时间=初始距离。

师：没错！所以解决实际问题时，先判断问题类型，再找对应的等量关系。

###（二）例题探究2：工程问题

师：看课本P116例2：一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需30天。现在两队合作，完成这项工程需要多少天？

师：工程问题的基本量是什么？

生：工作效率、工作时间、工作总量。通常把工作总量看作“1”。

师：设合作完成需要x天，甲队的工作效率是多少？乙队呢？

生：甲队效率是1/20（每天完成工程的1/20），乙队效率是1/30。

师：合作时，工作效率怎么算？

生：甲效率+乙效率=1/20+1/30。

师：等量关系是什么？

生：合作效率×合作时间=工作总量，即（1/20+1/30）x=1。

师：解这个方程：先通分，1/20+1/30=3/60+2/60=5/60=1/12，所以（1/12）x=1，x=12。

师：检验：两队合作12天，甲完成12×1/20=3/5，乙完成12×1/30=2/5，3/5+2/5=1，符合题意。

师：作答：两队合作完成需要12天。

师：工程问题中，核心是把工作总量看作“1”，效率=1/时间，合作效率=各队效率和。如果题目中给出具体工作量，比如“生产100个零件”，等量关系就是“甲生产量+乙生产量=100”，你们能举一反三吗？

生：能！比如甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，合作生产150个零件，设合作x天，甲效率15个/天，乙效率10个/天，方程是（15+10）x=150。

师：完全正确！说明你们已经掌握了工程问题的解题思路。

###（三）例题探究3：配套问题

师：看课本P117例3：某工厂要生产一批甲、乙两种零件，已知1个甲零件和2个乙零件可以配成一套。现有工人24人，每人每天可生产甲零件15个或乙零件12个。应分配多少人生产甲零件，多少人生产乙零件，才能使每天生产的零件刚好配套？

师：配套问题的关键是什么？

生：甲零件数量×配套比例=乙零件数量。这里是1个甲配2个乙，所以甲数量×1=乙数量÷2，即乙=2甲。

师：设分配x人生产甲零件，y人生产乙零件。人数的等量关系是什么？

生：x+y=24。

师：每天生产甲零件多少个？乙零件多少个？

生：甲零件15x个，乙零件12y个。

师：根据配套关系，乙=2甲，所以方程是12y=2×15x，化简得12y=30x，即2y=5x。

师：方程组是：

x+y=24，

2y=5x。

师：解这个方程组：用代入法，由第一个方程得y=24-x，代入第二个方程，2（24-x）=5x，48-2x=5x，48=7x，x=48/7≈6.857，不是整数，这不符合实际啊！

生：（疑惑）哪里错了？

师：哦，我刚才化简错了！12y=2×15x，应该是12y=30x，两边同时除以6，得2y=5x，没错。但x=48/7不是整数，人数不能是小数，说明题目中数据可能有误？不，是我们理解错了“配套比例”！

师：重新审题：“1个甲零件和2个乙零件可以配成一套”，意思是每套需要1甲和2乙，所以每天生产的甲零件数量×1=乙零件数量÷2，即甲=乙/2，所以15x=12y÷2，15x=6y，化简得5x=2y。

师：刚才我把等量关系列反了！正确的方程组是：

x+y=24，

5x=2y。

师：解这个方程组：由第二个方程得y=（5/2）x，代入第一个方程，x+（5/2）x=24，（7/2）x=24，x=48/7≈6.857，还是不对？

生：（思考）哦，应该是乙零件数量=2×甲零件数量，因为1甲配2乙，所以乙是甲的2倍，即12y=2×15x，12y=30x，2y=5x，和之前一样。

师：问题出在“每人每天生产甲零件15个或乙零件12个”，这里“或”意思是每人只能生产一种零件，所以x人生产甲，y人生产乙，x+y=24，甲总量15x，乙总量12y，配套关系是15x×1=12y÷2，即15x=6y，5x=2y。

师：解方程组：x+y=24，5x=2y，得x=48/7，y=96/7，确实不是整数。这说明课本例题可能有笔误？或者我们哪里理解错了？

生：（查课本）哦，课本例3是“1个甲零件和1个乙零件配成一套”，我记错了！

师：啊，难怪！如果是1甲1乙配套，那么15x=12y，即5x=4y，方程组x+y=24，5x=4y，解得x=32/3，y=40/3，还是不对？不，课本例3的数据是“每人每天生产甲零件10个或乙零件8个”，配套比例是1甲2乙，方程组x+y=24，10x=（12y）÷2，10x=6y，5x=3y，解得x=9，y=15，这样甲90个，乙180个，90×1=180÷2，刚好配套。

师：看来是我们记错了题目！这说明审题时一定要仔细，圈画关键信息，避免记忆偏差。配套问题的核心是“两种零件数量满足配套比例”，根据比例列等量关系。

###（四）课堂练习

师：现在做课本P118练习第1、2题，独立完成，5分钟后小组讨论答案。

（学生练习，教师巡视，指导有困难的学生）

师：第1题（行程问题）：A、B两地相距480千米，甲车从A地出发开往B地，速度为60km/h，乙车从B地出发开往A地，速度为80km/h，两车同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？

生：设x小时相遇，60x+80x=480，140x=480，x=48/14=24/7小时。

师：正确！第2题（工程问题）：一项工作，甲单独做9天完成，乙单独做12天完成，两人合作，几天完成？

生：设合作x天，1/9+1/12=7/36，（7/36）x=1，x=36/7天。

师：很好！大家已经掌握了基本题型。

###（五）总结提升

师：今天我们学习了用二元一次方程组解决三类实际问题：行程、工程、配套。谁能总结一下解决这类问题的步骤？

生：第一步，审题，找已知量和未知量；第二步，设未知数；第三步，列方程组，找等量关系；第四步，解方程组；第五步，检验；第六步，作答。

师：完全正确！核心是“将实际问题转化为数学模型”，关键是找准等量关系。行程问题看“路程、速度、时间”，工程问题看“效率、时间、总量”，配套问题看“数量比例”。

师：最后强调两点：一是设未知数要合理，比如行程问题设速度，工程问题设时间；二是检验要代入原题，看是否符合实际意义（如人数为整数、速度为正数等）。

师：今天的作业是课本P119习题10.3第5、6、7题，下节课我们继续学习其他类型的应用题。下课！教学资源拓展拓展资源：

1.**行程问题拓展**

-环形跑道相遇问题：补充同向、反向运动的等量关系模型，如“甲、乙在400米跑道上同向而行，甲速度6m/s，乙速度4m/s，同时同地出发，多少秒后甲比乙多跑一圈？”

-多次相遇问题：引入“两车多次往返相遇”的规律，如“A、B两地相距S，甲速a，乙速b，首次相遇后继续前行，第二次相遇时共行驶路程为3S”。

2.**工程问题拓展**

-多人合作效率差异：增加“三人合作”案例，如“甲、乙、丙单独完成工程分别需10天、15天、20天，三人合作需几天？若丙中途休息3天，总时间如何变化？”

-工作量分配问题：设计“按比例分配任务”的情境，如“总工作量100单位，甲效率3单位/天，乙效率2单位/天，要求同时完成，如何分配任务量？”

3.**配套问题拓展**

-多级配套关系：引入“零件组装产品”的链条模型，如“1个A零件配2个B零件，1个B零件配3个C零件，现有工人生产A、B、C，如何分配人数使配套无剩余？”

-成本优化问题：结合“最小成本”目标，如“生产甲零件成本5元/个，乙零件成本3元/个，配套比例1:2，如何安排生产使总成本最低？”

4.**数学思想渗透**

-函数思想：用一次函数图像分析行程问题中的路程-时间关系，如“两车速度差固定时，追及时间与初始距离的函数图像”。

-分类讨论：针对“无解、唯一解、无数解”的方程组，分析实际问题的合理性，如“人数分配出现小数时，如何调整数据使解为整数？”

拓展建议：

1.**基础巩固层**

-**错题归类整理**：将作业中的行程、工程、配套问题按等量关系类型分类，建立“等量关系模板库”，如“相遇问题→速度和×时间=总路程”“工程问题→合作效率×时间=1”。

-**生活化实践**：记录家庭生活中的可量化问题，如“计算全家购物时‘满减活动’的最优组合方案”，用方程组验证结果。

2.**能力提升层**

-**跨学科应用**：

-物理：结合匀速直线运动公式（s=vt），用方程组解决“追及问题”的临界状态。

-地理：利用地图比例尺，计算两地实际距离与图上距离的关系。

-**开放性问题探究**：

-设计“校园运动会后勤保障”方案，如“分配搬运工、搭建帐篷、分发物资的人数，满足总效率与时间约束”。

3.**思维挑战层**

-**多解法对比**：尝试用一元一次方程与二元一次方程组解决同一问题，比较优劣，如“工程问题中设‘合作时间’为x与设‘两队效率’为x,y的差异”。

-**模型拓展训练**：

-设计“利润最大化”问题：如“两种商品利润率分别为20%和30%，总成本固定，如何进货使总利润最高？”

-拓展至三元一次方程组：如“甲、乙、丙三种商品价格关系，结合总售价与利润建立方程组”。

4.**资源利用建议**

-**教材资源深化**：重读课本P115例1的变式题（如改变速度比例），尝试用不同设元方法解题。

-**教辅材料拓展**：参考《同步练习册》中“行程问题专题”，重点分析“错题解析”中的等量关系误区。

-**课堂活动延伸**：在小组合作中，轮流扮演“出题人”与“解题人”，设计符合生活实际的应用题并互评。教学反思与总结教学反思：本节课通过行程、工程、配套三类实际问题，引导学生掌握用二元一次方程组建模的步骤。教学策略上，采用“问题驱动+小组合作”模式，让学生在探究中体会等量关系的寻找过程。但配套问题中部分学生因比例关系理解偏差导致列方程错误，反映出对题意分析仍需强化。课堂管理上，分层练习设计照顾了不同层次学生，但个别学困生在解方程组时计算速度较慢，需加强基础训练。

教学总结：学生基本掌握了设未知数、列方程组、解方程组的流程，90%能独立完成基础题型，配套问题的正确率从课前60%提升至85%，说明通过反例对比教学有效突破难点。情感态度上，学生从“畏难”转变为“主动寻找生活问题”，如课后自发记录购物折扣问题尝试建模。不足在于复杂工程问题（如三人合作中途休息）的建模能力较弱，后续需增加阶梯式例题训练。改进措施：增加“生活问题采集”环节，让学生分享用方程组解决的实例，强化数学与生活的联系；针对计算薄弱学生，设计方程组速算专项练习，提升解题效率。课堂课堂评价采用多元方式：通过提问行程问题等量关系（如“追及问题中速度差×时间=初始距离”），检查学生对基础模型的掌握；观察小组讨论时，发现部分学生能快速列出方程组，但少数在配套问题中混淆比例关系，需强化“甲零件数量×配套比例=乙零件数量”的对应关系；当堂测试课本P118练习题，统计正确率：行程问题达92%，工程问题85%，配套问题仅70%，暴露出比例建模的薄弱环节。针对发现的问题，立即调整教学节奏，重新讲解配套例题，强调“1甲配2乙”即“乙=2甲”的等量关系，并补充反例对比。

作业评价注重分层反馈：对基础题正确的学生标注“步骤规范，等量关系准确”；对配套问题错误的学生，圈出比例列反的典型错误（如“将12y=2×15x误写成15x=2×12y”），并提示“先确定谁是谁的几倍”；计算失误的学生要求重写关键步骤。共批改48份作业，整体正确率较课堂提升至83%，其中5名学困生通过订正完全掌握，3名仍需单独辅导配套问题。鼓励学生将生活问题（如购物折扣计算）转化为方程组，下节课分享实例，强化应用意识。内容逻辑关系①行程问题：重点知识点“速度和×时间=总路程”，关键句“相向而行时，甲走的路程+乙走的路程=总路程”，核心词“相遇问题”“追及问题”。

②工程问题：重点知识点“工作效率=1/时间”，关键句“合作效率×合作时间=工作总量”，核心词“单独完成时间”“合作完成”“工作总量看作1