北京市西城区三帆中学2025-2026学年八年级下学期开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市西城区三帆中学八年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.书法是我国传统文化的重要组成部分.下列是“马年吉祥”四个篆体字，其中可以看作轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列运算正确的是（）A.a5-a3=a2 B.（a2）3=a5 C.（-2a）3=-6a3 D.a2•a3=a53.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A.2，2， B.8，15，17 C.1，，2 D.6，8，104.下列式子中是最简二次根式的是（）A. B. C. D.5.下列分式从左到右变形正确的是（）A. B.

C. D.6.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上且到边AB和边BC的距离相等.以点A为圆心，线段AD的长为半径画弧交边AB于点E，联结DE.下列结论中，不一定正确的是（）A.BE=DE

B.BD=BC

C.∠AED=2∠BDE

D.

7.《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文.问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（）A. B.

C. D.8.如图，在锐角△ABC中，△ABC的面积为15，BD平分∠ABC，若E，F分别是BD，BC上的动点，当CE+EF的最小值为6时，AB的长为（）A.3

B.4

C.5

D.6二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.若分式有意义，则实数x的取值范围是

.10.如果，那么xy=

.11.如图，AB，CD相交于点O，AD=CB，添加一个条件使得△AOD≌△COB，可添加的条件是（添加一个即可）

.

12.如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽据此图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形ABCD，中空的部分是一个小正方形EFGH，若AB=10，AF=6，则小正方形EFGH的面积为

.

13.如图，∠AOP=∠OPC=15°，PC∥DO，PD⊥OB，若OC=8，则PD等于______．

14.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.若BE=8，△ABC的周长为36，则△CBD的周长为

.

15.已知a＞6，若正方形M的边长为（a-4），其面积记为SM，长方形N的长为（a-2），宽为（a-6），其面积记为SN，用等式表示SM与SN的数量关系为

.16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是边AB的中点，E是边AC上的动点（不与点A，C重合），连接DE，作DF⊥DE，交BC于点F，连接EF.有下列三个结论：①DE=DF；②AE2+BF2＞EF2；③设△ABC，△DEF的面积分别为S1，S2，则，其中正确的是

（填所有正确结论的序号）.三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

分解因式：

（1）3a2-12ab+12b2；

（2）x2（y-2）-4（y-2）.18.(本小题15分)

计算：

（1）（2x-y）（x+3y）；

（2）；

（3）先化简，再求值：，其中a=2.19.(本小题7分)

解方程：.20.(本小题8分)

如图，AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°

（1）证明：BC=DE；

（2）若点C，D，E共线且满足CA=CD，求∠B的度数.21.(本小题8分)

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°.

（1）用直尺和圆规完成以下作图：作线段BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，在直线DE上截取线段EF（点F在BC下方），使得EF=BC，连接CF；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）根据（1）中作图，若AC⊥CF，证明：BC=2AB.补全以下证明过程：

证明：∵AC⊥CF，

∴∠ACB+∠ECF=90°，

∵∠B=90°，

∴∠A+∠ACB=90°，

∴______，

∵EF垂直平分BC，

∴∠CEF=90°，______=2EC，

∴∠B=∠CEF，

在△ABC和△CEF中，

，

∴△ABC≌△CEF，

∴______，（______）

∴BC=2AB.22.(本小题8分)

如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.按“智慧数”从小到大的顺序逐一列举：3=22-12，5=32-22，7=42-32，8=32-12，9=52-42，11=62-52…

（1）第8个“智慧数”是______.

（2）某数学兴趣小组在上面列举的基础上发现：除1外所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明：

设k是正整数，

∵（k+1）2-k2=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1

又∵k是正整数，

∴2k+1为大于或等于3的奇数.

∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”.

他们还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请你参考上面的方法进行证明.

（3）用含有k的式子表示除1，2，4外的其它非“智慧数”______（k是正整数）.23.(本小题8分)

在△ABC中，AB=BC，∠ABC=α，点D在AC上，连接BD，在BD的上方作∠BDE=α，且BD=ED，连接BE.作点A关于BC的对称点F，连接EF，交BC于点M.

（1）补全图1，连接CF，并写出∠BCF=______（用含α的式子表示）；

（2）如图2，当α=60°时.

①求证：EM=FM；

②写出BM与AD的数量关系，并证明.24.(本小题6分)

在平面直角坐标系xOy中，对于点P和垂直于x轴的直线l,给出如下定义：若点P关于直线l的对称点P′的横坐标和纵坐标相等，则称点P是直线l的“等变换点”.

（1）已知直线l过点A（a,0）且垂直于x轴.点P（b,3）是直线l的“等变换点”，若a=2，则b=______；若b=2，则a=______.

（2）已知点B（4，1），C（4，-1），直线l过点D（k,0）且与x轴垂直，以线段BC为边向右侧作正方形，若该正方形上存在直线l的“等变换点”，则k的取值范围是______；

（3）已知直线l过点M（m,0）且垂直于x轴，过点F（2m,m+1）作FG⊥直线l于点G.若以线段FG为边向下作正方形，若该正方形上存在直线l的“等变换点”，则m的取值范围是______.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】

10.【答案】

11.【答案】∠A=∠C（答案不唯一）

12.【答案】4

13.【答案】4

14.【答案】20

15.【答案】SM-SN=4

16.【答案】①③

17.【答案】3（a-2b）2

（y-2）（x+2）（x-2）

18.【答案】2x2+5xy-3y2

19.【答案】．

20.【答案】∵∠BAD=∠CAE=90°，∠BAD-∠CAD=∠BAC，∠CAE-∠CAD=∠DAE，

∴∠BAC=∠DAE，

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴BC=DE

112.5°

21.【答案】作图：

∠A=∠ECF;BC;AB=CE;全等三角形对应边相等

22.【答案】13

设n是大于1的正整数，

则（n+1）2-（n-1）2

=n2+2n+1-（n2-2n+1）

=n2+2n+1-n2+2n-1

=4n，

∵n是大于1的正整数，

∴n+1和n-1都是正整数，

∴4n是“智慧数”，

又∵4n能被4整除，

∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”

4k+2

23.【答案】

①连接AM，AE，

∵AB=BC，∠ABC=60°，BD=DE，∠BDE=60°，

∴△ABC是等边三角形，△DBE是等边三角形，

∴BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=∠ACB=60°，

∴∠ABC-∠ABD=∠EBD-∠ABD．

即∠DBC=∠EBA，

∴△DBC≌△EBA（SAS），

∴∠EAB=∠DCB=60°，

∴∠EAB=∠ABC，

∴AE∥BC，

∴∠AEM=∠FMC，∠EAM=∠AMC，

∵点A关于BC的对称点是点F，

∴AM=FM，∠AMC=∠FMC，

∴∠AEM=∠EAM，

∴EM=AM，

∴EM=FM．

②AD=2BM，如图

在MC上取点N，使MN=BM，连接FN，

由①得，EM=FM，∠DBC=∠EBA，

∵∠BME=∠FMN，

∴△BME≌△FMN（SAS）．

∴BE=NF，∠EBM=∠FNM，

∵△BDE是等边三角形，

∴BD=BE=