2026北师大版数学八年级下册第6章平行四边形1　平行四边形的性质第2课时　平行四边形的对角线的性质及梯形教案

第2课时平行四边形的对角线的性质及梯形教师备课素材示例●归纳导入如图，在纸上画▱ABCD，将它剪下，再在一张纸上沿▱ABCD的边缘画一个与▱ABCD相同的▱EFGH.在它们的中心(两条对角线的交点)钉一个图钉，将▱ABCD绕点O旋转180°后，它能与▱EFGH重合吗？从中你能看出上节课得到的▱ABCD的边、角关系吗？进一步地，你能发现OA与OC，OB与OD的关系吗？可以得到：▱ABCD的对边相等，对角相等．可以发现：OA与OC，OB与OD可以完全重合，即OA＝OC，OB＝OD，这节课我们来继续学习平行四边形的性质．【教学与建议】教学：用实际操作发现平行四边形的性质，既激发了学生学习新知识的积极性和主动性，又让学生感知到数学知识来源于实际生活．建议：让学生在操作观察思维中感知新知识．●复习导入1.图片展示：展示生活中常见的含有等腰梯形的物体图片(如堤坝截面、跳箱、金字塔侧面等)．2．复习提问：(1)什么样的四边形叫作梯形？(一组对边平行，另一组对边不平行的四边形)(2)在梯形中，平行的两边叫作什么？不平行的两边叫作什么？(底、腰)(3)什么是梯形的高？(两底之间的距离)3．引出课题：在两腰相等的跳箱图片上定格．提问：“如果一个梯形的两腰相等，它有什么特殊的性质呢？这就是我们今天要研究的——等腰梯形．”命题角度1利用平行四边形对角线性质进行证明平行四边形的对角线互相平分．理解OA＝OC，OB＝OD，结合平行四边形的其他性质即可解决．【例1】如图，已知▱ABCD和▱EBFD.求证：AE＝CF.证明：连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD和四边形EBFD为平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF.∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.【例2】如图，平行四边形ABCD中，AC，BD交于O点，点E，F分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证明你的结论．解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF.又∵∠FOD＝∠EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴BE＝DF，∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF.命题角度2利用平行四边形对角线性质确定边的范围此类问题考查平行四边形的边及对角线的性质，结合三角形三边关系，确定边的范围．【例3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是(C)A．2cm<OA<4cmB．2cm<OA<6cmC．1cm<OA<3cmD．4cm<OA<8cm命题角度3利用平行四边形对角线互相平分求线段长度解决两条对角线把平行四边形分成的四个小三角形的周长与对角线的关系：相对的两个小三角形周长相等，相邻的两个小三角形周长的差就是平行四边形邻边长度之差．【例4】如图，在平行四边形ABCD中(BC>AB)，对角线AC，BD交于点O.已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为(D)A．5B．6C．7D．8eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例4题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5题图）))【例5】如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为__12__．命题角度4等腰梯形的性质【例6】如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，AD＝4，BC＝10.求腰AB的长．通过作高(AE，DF)，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形．在Rt△ABE中，利用∠B＝60°和BE的长度，即可求出AB.解：分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.在Rt△ABE中，∵∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.∵在等腰梯形中，AB＝DC.又∵AD∥BC，∴AE＝DF.∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).∴BE＝CF.易得EF＝AD＝4.∵BC＝10，∴BE＋CF＝BC－EF＝6.∴BE＝CF＝3.在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°，∴AB＝2BE＝6.高效课堂教学设计1．掌握平行四边形中心对称特征；探索平行四边形的对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算和简单的证明．3．理解梯形及等腰梯形的定义，掌握等腰梯形的轴对称性及两底角相等的性质．▲重点1．探索并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．2．掌握等腰梯形的性质．▲难点1．探索并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．2．运用等腰梯形的性质解决问题．◆活动1创设情境导入新课(课件)首先给大家讲一个故事(课件)：一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，他已经拥有一块近似平行四边形的土地．他决定将这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分得的地少，同学们，老人这样分地合理吗？师：合理不合理关键看平行四边形的对角线有什么性质，这节课我们就来研究平行四边形对角线的性质．◆活动2实践探究交流新知【探究1】探索平行四边形对角线的性质请同学们在纸上画两个全等的▱ABCD和▱EFGH裁剪下来，并连接对角线AC，BD和EG，HF，设它们分别交于点O，O′.把这两个平行四边形叠放在一起，使O，O′重合在一起，在点O处钉一个图钉，将▱ABCD绕点O旋转180°，观察它还和▱EFGH重合吗？你能从中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质？小组合作，得出探究结论：(1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；(2)平行四边形的对角线互相平分．【探究2】平行四边形对角线性质的证明已知：如图，▱ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.求证：OA＝OC，OB＝OD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD(平行四边形的对边相等)，AB∥CD(平行四边形的定义)，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴OA＝OC，OB＝OD.【归纳】平行四边形的对角线互相平分．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB，CD是它的两条对角线，∴OA＝OC，OB＝OD.【探究3】等腰梯形的性质1．动手操作：请学生拿出准备好的等腰梯形纸片．任务一：用量角器量一量等腰梯形的同一底上的两个角(如∠A和∠D，∠B和∠C)，你发现了什么？任务二：将等腰梯形纸片沿它的对称轴对折，你发现了什么？(引导学生发现它是轴对称图形)2．猜想与归纳：学生汇报发现：∠A＝∠D，∠B＝∠C；对折后两边能完全重合．·教师引导学生用文字语言总结猜想：·性质1(边角关系)：等腰梯形同一底上的两个角相等．·性质2(对称性)：等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴．◆活动3开放训练应用举例【例1】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，CD＝4，高为3，则梯形的周长为__2eq\r(10)＋10__【方法指导】由等腰梯形得AD＝BC，∠A＝∠B，证明△AED≌△BFC(AAS)，则有DE＝CF，AE＝BF，再通过勾股定理得AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).【例2】已知▱ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．【方法指导】平行四边形的对边相等，可得到AB＋AD＝30cm，由平行四边形的对角线互相平分可得到OB＝OD，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，实际上就是AB－AD＝5cm，根据AB＋AD＝30cm，AB－AD＝5cm，求出▱ABCD的各边长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm.又∵▱ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，∴AB＝17.5cm，AD＝12.5cm，则AB＝CD＝17.5cm，AD＝BC＝12.5cm.【例3】已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：OE＝OF.【方法指导】利用平行四边形的性质证明△DOE≌△BOF，从而得到所要求证的OE＝OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝BO(平行四边形的对角线互相平分)，AD∥BC(平行四边形的定义)．∴∠ODE＝∠OBF.∵∠DOE＝∠BOF，∴△DOE≌△BOF(ASA).∴OE＝OF.◆活动4随堂练习1．等腰梯形的一个内角是70°，则另外三个内角的度数分别是__70°，110°，110°__．2．如图，在▱ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是__1＜OA＜5__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))3．如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝4，△OCD的周长为12，则▱ABCD的两条对角线长度的和是__16__．4．如图，已知在▱ABCD中，∠BDA＝90°，AC＝12cm，BD＝6cm，求BC的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，OA＝OC＝eq\f(1,2)AC＝6cm，OD＝OB＝eq\f(1,2)BD＝3cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD＝eq\r(OA2－OD2)＝3eq\r(3).∴BC＝AD＝3eq\r(3)cm.5．课本P156随堂练习T1.6．课本P157随堂练习T2.◆活动5课堂小结与作业【学生活动】1．本节课你有哪些收获？你能将平行四边形和等腰梯形的性质进行归纳吗？2．利用平行四边形对角线和等腰梯形的性质可以解决哪些问题？【教学说明】梳理本节课的重要方法