甘肃省师范大学某中学2024届高考数学押题试卷含解析

甘肃省师范大学附属中学2024届高考数学押题试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

7—1

1.设复数Z满足——=/,则2=（）

z+i

A.1B.-1C.1-/D.1+z

2.设"0.82%Z?=sinl,c=lg3,则。，b,c三数的大小关系是

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<h<aD.h<c<a

3.设i为数单位为通共挽复数'若一!'则）

Lx>0

4.已知符号函数0,/=()/Cr)是定义在/?上的减函数，g(x)=/(x)-f(.ax')(a>l),贝!!()

—1,x<0

A.sgn[g(x)l=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)1

5.在LABC中，内角A,C所对的边分别为“，b,ct。是A3的中点，若。。=1,且

(。一gz?sinA=(c+Z?)(sinC-sinB),则面积的最大值是()

A岳»1「而n2A

A.---B.—---1)•-----

55105

6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

7.已知函岑二仁）二•仔丁十三_二有二个不同的零点□>□>：］j（其中口:<口<：］）则（/_曰?（/_曰（/_司

的值为（）

A.IB._aC.rrD._rr

8.已知函数/（%）=丁+。411乂1£火，若/（—1）=2,则/。）的值等于（）

A.2B.-2C.1+。D.\-a

9.已知函数/（"=（，-。）（融+口，若/（x）NO（x£R）恒成立，则满足条件的。的个数为（）

Ve）

A.0B.1C.2D.3

10.若函数/3）=炉的图象上两点“，N关于直线），=工的对称点在g（x）=ax-2的图象上，则。的取值范围是

（）

A.-8，］）B.（—8,e）C.（0/）D.（0,«）

11.已知椭圆C的中心为原点。，厂（-2遥,0）为。的左焦点，夕为C上一点，满足IOPIHOFI且|PF|=4,则椭

圆。的方程为（）

22222，

A.土+匕=1B.土+匕=1C.二+上=1D.工+±=1

255361630104525

22

12.已知双曲线C：=-与"二1的一条渐近线与直线3x-y+5=0垂直，则双曲线C的离心率等于（）

a~lr

A.V2?B.半C.V10?D.2叵

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票.这3名候

选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比

值)最高可能为百分之________.

“我身边的榜样”评选选票

候选人符号

甲注：

1.同意圆“。”，不同意回“X”.

乙2.等张造果“Q”的个数不想迎2号才为有效果.

丙

14.已知数列｛%｝的各项均为正数，满足(云%,%=1,2,3,，〃—1),若｛4｝是等比数列，

数列｛《J的通项公式q=.

15.若方程优=x(a>0,〃wl)有两个不等实根，则实数。的取值范围是.

16.数列｛。〃｝的前〃项和为S“，数列也｝的前〃项和为4，满足q=2,35„=(/?+m)an(/?GN*,mG/?),且

《女=〃+l.若任意〃wN«,力工(n-7；成立，则实数/I的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=xlnx+x,g(_r)=E.

(1)若不等式/(x)g(x)W底对不中,内)恒成立，求。的最小值；

(2)证明：/(x)+l-x>^(x).

⑶设方程.f(x)-g(x)=x的实根为天.令F(x)=｛Z、若存在玉，X,<x2,使得

8(即，x>/,

^(^)=^(%2),证明：尸(工2)</(2X0_内).

18.(12分)已知函数/(x)=；机■2一l)-lnx(〃z£R).

(1)若汨=1,求证：/(x)>0.

n(ad-be)'

(a+b)(c+d)(4+c)(b+d)

尸（公“0）

0.100.050.0100.005

即2.7063.8416.6357.879

22.（10分）已知｛《J是等差数列，满足q=3,4=12,数列也｝满足仇=4,2=2（）,且也一可｝是等比数

列.

（1）求数列｛q｝和也｝的通项公式；

（2）求数列也,｝的前〃项和.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

利用复数的四则运算即可求解.

【详解】

z—i

由----=i=>z-i=i（z+i）=>（］-i）z=i-\=>z=-1.

z+i

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.

2、C

【解析】

利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将b,c与、士,二比较即可.

V52

【详解】

由〃=0.82°'>0.8°'

1八.1.乃百门R

—<b=sin1<sin—=——=J—<.-,

23214V5

c=Ig3<1g>/io=—lgl0=-^,

所以有c<b<a.j&C.

【点睛】

本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等

价转化.

3、A

【解析】

由复数的除法求出z,然后计算z。

【详解】

13-Z_31.

3+7-(3+7x3^)-lo-To7

-3131、/3\2/1、21

Az-z=(------/)(——0=(—)+(—)二—

101()1010101010

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的乘除法运算，考查共轨复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键.

4、A

【解析】

根据符号函数的解析式，结合/(x)的单调性分析即可得解.

【详解】

根据题意，g(x)=f(x)-f(ax),而/(x)是H上的减函数，

当x>0时，xVor,则有f(x)>/(ax),则g(x)=/(x)-f(ax)>0,此时sgmg(x)1=1,

当x=0时，x=axt则有/(x)=f(ar),则g(x)=f(x)-f(.ax)=0,此时sg〃[g(x)]=0,

当xVO时，则有f(x)V/(ar),则g(x)=/(x)-f(ax)<0,此时sg〃[g(x)]=-1,

综合有：sgnlg(x)J=sg/i(x)；

故选：A.

【点睛】

此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.

5、A

【解析】

根据正弦定理可得卜—；小"化+勿(〜)，求出cosC,根据平方关系求出sinC.由2cos+CB两端平方,

求，必的最大值，根据三角形面积公式S='c必sinC,求出面积的最大值.

2

【详解】

.A/C中，(〃一3人sinA=(c+/?)(sinC-sinB),

由正弦定理可得—；“〃=(c+〃)(c—〃)，整理得。2=/+〃—；刈，

由余弦定理c?二c『+b2-2abcosC»得cosC=；,丫Ce(O,^),sinC=~~~,

。是43的中点，且CO=1,

•*-2co=CA+CO,,(2CQ『=(C4+C町，即4c炉=c/+CB?+2cA£8，

222

即4=/J?+a+2bacosC=a+b+-ab>lab+—ab=—abt

当且仅当。=%时，等号成立.

5

.,._A3C的面积S=—ahsinC<—=

22545

所以aA8C面积的最大值为姮.

5

故选：

【点睛】

本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.

6、A

【解析】

根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.

【详解】

由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：

可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4,

^V=lx（4x4）x4=—.

3

故选：A

【点睛】

本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.

7、A

【解析】

令9口'构造=中要使函数二（0=,仔/；号_:有三个不司的零点二二二J其中二,（口＜*，则方

程二；十二匚一二=0需要有两个不同的根口/•二」则二=二；+＜二解得二＞评二＜_*结合口的图象,

0（0）=1

并分二＞小二vt两个情况分类讨论,可求出。%J,马）q耳的值.

【详解】

令:，构造--口'求导得17m当：!〈河口向乂；当：!＞..时T（D＜G

丁匚3（3）=下1（D）=下

故二（二;在一工〃共单调递增，在工+幻上单调递减，且二VC时，二（二）〈小二〉£时，二（二）＞小___

一」」；E4二一"：

可画出函数口心的图象（见下图），要使函数__；.一_有三个不同的零点一二二〈其中一＜□〈二.）,

二（二）=便十-二

则方程二•一二二一二一-需要有两个不同的根口〃匚j（其中二.v匚?，则二=二二+j二＞0，解得二！或二＜—4，且

/.善)’(,一用勃=0一口/口-口十二口一⑸+5计口/口祝二,

(/+0一2"=」

若nv一4，即-_——>/，由于.，故.»故nv―4不符合题意，舍去.

［三1:.T：二©…二⑴=:□,+口臼<4」《

故选A.

【点睛】

解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.

8、B

【解析】

由函数的奇偶性可得，/(I)=-/(-D=-2

【详解】

**f(x)=x3+asinx

其中g(x)=V为奇函数，"x)=〃sinx也为奇函数

，/(x)=g(x)+f(x)也为奇函数

A/(1)=-/(-1)=-2

故选：B

【点睛】

函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数土奇函数;奇函数；②奇函数x奇函数二偶函数;

③奇函数。奇函数;偶函数：④偶函数土偶函数二偶函数；⑤偶函数x偶函数二偶函数；⑥奇函数x偶函数=奇函数；⑦奇函

数+偶函数=奇函数

9、C

【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当4=0,②当③当。>0,考查方程"的解的个数，综合①②③得

ae

解.

【详解】

①当。=0时，f(x)=eK-'>0..0,满足题意，

②当avO时，/一4>0，3.v0G(一--f+a>),ar+-!-<0,故/(*)..0(ra/?)不恒成立，

aee

③当。>0时，设g(x)=e'-Q,h(x)=ax+-

ef

令g(x)=e"-Q=O，得X=/i(x)=ar+-=0,得工=---,

eae

下面考查方程/，口=-,的解的个数，

ae

设夕(a)=alna,则。'(。)=1+Ina

由导数的应用可得：

甲(a)也在(0」)为减函数，在A,+8)为增函数，

ee

则夕(a),=--,

we

即有一解，

ae

又g(x)=e'—4,万(%)二依+」均为增函数，

e

所以存在1个。使得f(x)..(KxwR)成立,

综合①②③得：满足条件的。的个数是2个，

故选：C.

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的

题型.

10、D

【解析】

由题可知，可转化为曲线g*)=如-2与y=lnx有两个公共点，可转化为方程依-2=Inx有两解，构造函数

/?(.¥)=±12^,利用导数研究函数单调性，分析即得解

x

【详解】

函数/(A)="的图象上两点M,N关于直线y=X的对称点在y=\nx上，

即曲线#(x)=(a一2与)，=Inx有两个公共点,

即方程at-2=lnx有两解,

„2+lnxq

即Q。=------有两解,

x

2+Inx

令h(x)

x

—1—Inx

则h(x)=-----------,

JT

则当时，；

0<x<l//(x)>0当X一时,h\x)<0,

e

故x=l•时〃(x)取得极大值也即为最大值,

e\e)

当xf0时，〃(x)f-oo；当xf十20时，0,

所以0<a<e满足条件.

故选：D

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.

11、B

【解析】

由题意可得c=26,设右焦点为P,由|OP|=|OF|=|OF，|知，

ZPFF^ZFPO,ZOFT=ZOPFS

所以NPFP+NOPP=NFPO+NOPP,

由NPFP+NOPP+NFPO+NOPF，=180。知，

NFPO+NOPF，=90。，即PFJ_PFl

在R3PFF冲，由勾股定理，得|PF1=JQ〃-PF2=#布>4。=8,

由椭圆定义，得|PF|十|PF，|=2a=4+8=12,从而a=6,得£=36,

于是b2=a2-C2=36-(2泥)Z16,

)2

所以椭圆的方程为工+E=i.

3616

故选B.

点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定

点间的距离时，轨迹是线段(两定点间的连线段)，当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在.

12、B

【解析】

由于直线的斜率k=3,所以一条渐近线的斜率为R=—g,即，=g，所以e=J+§)2=半,选也

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、91

【解析】

设共有选票100张，且1,2,3票对应张数为x,y,z,由此可构造不等式组化简得到z=x+9,由投票有效率越高z越小,

可知Zmg=9,由此计算可得投票有效率.

【详解】

不妨设共有选票100张，投1票的有x,2票的有)'，3票的有z,则由题意可得：

x+2y+3z=88+75+46=209

<x+y+z=\00,化简得：z-x=9,即z=x+9,

x,y、zsN

投票有效率越高，二越小，则x=0,z=9,

故本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为」10苛0-乂9100%=91%.

故答案为：91%.

【点睛】

本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据己知条件构造出变量所满足的关系式.

14、2'i

【解析】

利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.

【详解】

因为所以%=2q,

因为｛〃,』是等比数列，所以数列团〃｝的公比为1.

又以+1-%=q("k,Z=l,2,3,・，〃一1),

所以当i=A时，有4+1=2%.

这说明在己知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以%=2止

故答案为；2'".

【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.

15、\<a<ee

【解析】

由/=/知x>0,故x・ln〃-lnx=O=lna=——•

x

令〃x)=¥(x>0),贝=

当x«O,e)时，.尸(x)>0；当xe(e,+oo)时，/'(x)vO.

所以/(工)在(0,e)上递增，在(e,+00)上递减.

故。<ln〃</(e)=L即1<4<f・

e

,1

16NA<—

2

【解析】

当儿.2时，a〃=S〃-S,i，可得到再用累乘法求出《，再求出"，根据定义求出7；,再借助单调性求

an-\〃T

解.

【详解】

解：当〃=1时，3s।=(1+〃?)％=3%,则〃z=2,3s“=(〃+2)。〃，

当机.2时，3sM=5+1)q-1，

...3an=("+2)a„-(n+1)«„_,,

a”二〃+1

〃一1

••^2n-4=一―+一=+…(当且仅当〃=1时等号成立),

〃+1〃+22〃2

1

故答案为：（-8,g.

【点睛】

本题主要考查已知S“求明,累乘法，主要考查计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）-（2）证明见解析（3）证明见解析

e

【解析】

（1）由题意可得，里把令攵（司二”生，利用导数得上（同在1,包）上单调递减，进而可得结论;

ee

（2）不等式转化为+令心—）=lnx+L〃（x）=4，利用导数得单调性即可得到答案；

xexe

（3）由题意可得也不=白，进而可将不等式转化为尸（为）</（2%—x）,再利用单调性可得

记相（力=幻门-生三，l<x<x。，再利用导数研究单调性可得制式）在（1,%）上单调递增，却

e

机（x）<机（%）=0,即xjnM<2即可得到结论.

【详解】

丫IriV-4-1

(1)/,(x)^(x)>ar2,即(xlnx+x)—>ax2,化简可得一:---<a,

exex

令（卜唱,小人--(lnx+1),因为xNl,所以,〈I,lnx+l>l.

x

所以K（x）KO,Z（x）在［l,+oo）上单调递减，O4M1）=L

e

所以。的最小值为

e

X

(2)要证/(x)+l-x>g(x),即xlnx+1>—^(x>0).

两边同除以，可得人旧>5

设f(x)=lnx+L贝==

在（0,1）上，/（x）＜o,所以z（x）在（0,1）上单调递减.

在（1,例）上,«x）＞0,所以""在上单调递增，所以=

设力（力二十，因为〃⑺在（o,+8）上是减函数，所以碎）＜刈。）=1.

所以，即f（x）+l-x＞g（x）.

（3）证明：方程/（x）—g（x）=x在区间（1,内）上的实根为与，即ln/=」-,要证

厂（工2）〈月（2毛）一再），由尸（％1）=/可知，即要证尸（刀）＜尸（2天）_玉）.

当1cx＜/时，F（x）=xlnx,F'（x）=l+lnx＞0,因而尸（x）在（L/）上单调递增.

当x〉x0时，尸（x）=三，仆力二上三＜0,因而尸（x）在5,*o）上单调递减.

ee

因为％e（l,飞）,所以2%—玉＞须），要证尸（T）〈尸（2/一%［）.

即要证xlnK＜2R—J.

记〃7（x）=xlnx_2?J,1＜x＜x0.

因为111兀）=」^，所以/111%二飞，贝＞〃（%）二/111工0—今=。・

CCC-

X,.1+x-2x..12x-x

m/（Zx）=l+Ex+40-l+mx+尹一f0k

设〃（0=1，当，«QI）时，〃’（，）＞（）.

ee

f£（l,+co）时，〃'⑺＜0,故〃（。1mx

e

iiOY—x

且力（'）＞0，故。＜〃（z）＜一,因为2%—x＞l,所以—v—＜0.

因此加（x）＞0,即风力在。用）上单调递增，

所以加（工）＜相（％0）=0,即xjn内v.

故F（X2）＜F（2x0-xl）得证.

【点睛】

本题考杳函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.

18、（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.

【解析】

(1)m=\,求出/'(X)单调区间，进而求出/(孙伽。0，即可证明结论;

(2)对r(x)之。(或/'*)£())是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出/(x)>(),f。)<0

的解，即可求出结论；

(3)令%(x)=，--^-,xe(1,4-GO),可证〃。)>0/£(1,一)恒成立，而/(1)=0,由(2)得，利W0,/(x)在(1,+co)

xe

为减函数，。<加<L/(x)在(1,/)上单调递减，在(1,y)都存在了。)<0,不满足/(x)>g(x),当〃*/时，

设爪用二!/川/一)一皿工一工+与，KF(1)=O,只需求出产(K)在―)单调递增时〃z的取值范围即可.

2xe

【详解】

(1)m=lf/(x)=^(x2-l)-lnx(x>0),

f\x)=-L+x=£^lt当x£(0,l)时，/Xx)<0,

XX

当xe(l,+8)时，f\x)>0,A/(x)min=/(l)=o,®/(x)>0.

(2)由题知，x>0,f\x)=---1■阳x=—9

XX

①当机W0时，f\x)=nVC_1<0,

X

所以/(加在(0,+8)上单调递减，没有极值；

②当“〉0时，/'(#=皿二1=0,得工=一1

齐

x7

当xejo,,—[时，/(x)<0；当xe।—，-T时,r*)>。，

1V/H)\7m

s)上单调递增.

所以在上单调递减，在

(\Jnn)\\Jfn

1/1、1lnm+:一]〃2,无极大值.

故Ax)在工二丁处取得极小值/-j==-

>/〃z\y)mJ222

(3)不妨令h(x)=L一一；二匕二;，

xexe

设〃(x)=e'T-x,xw(l,+oo),〃'(x)=e'-1—1>0在恒成立,

〃(x)在单调递增，1.〃(x)>"(1)=0,

/.e'T-汇N0在(1收)恒成立，

所以，当xw(l,+»)时,h(x)>0,

由由)知,当加工0j>1时,由戈)在(l,+o。)上单调递减,

/。)<川)=。恒成立；

所以不等式/在。产)上恒成立，只能心。.

当0<〃2<1时，-7=>1,由(1)知f(x)在上单调递减,

7m

所以</(1)=(),不满足题意.

当加工/时，设=-1)-心」+击，

2xa

因为加21,/>1,所以>1,0<-Jq-<1,-1<--[<()，

x3-x2-x+\

F\x)=-----i-nir+—

xx"

CX-DIT

即F(x)>〉()，

%2

所以F。)在(1,+CQ)上单调递增,

又/(1)=0,所以xw(l,+8)时，尸。)>0恒成立,

即/(X)-力。)>。恒成立，

故存在m>h使得不等式-在(1,+oo)上恒成立，

xe

此时"?的最小值是1.

【点睛】

本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻

辑推理、数学计算能力，属于较难题.

19、(0,0)

【解析】

将直线/为极坐标方程和曲线。的参数方程分别化为直角坐标方程，联立直角坐标方程求出交点坐标，结合上的取值范

围进行取舍即可.

【详解】

因为直线/的极坐标方程为eypwR）,

**

所以直线/的普通方程为），=瓜,

JV=2cosa

又因为曲线C的参数方程为‘一.■八（a为参数），

y=I+cosla

所以曲线C的直角坐标方程为y=-x2（xG[-2,2]）,

x=0x=2V3

联立方程1,，解得八或，

y=-,r[y=（）y=6

2

因为一2<xW2,所以卜=2百舍去，

y=6

故尸点的直角坐标为（0,。）.

【点睛】

本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐

标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

20、（1）（；，+8）（2）加<-1或〃

【解析】

（1）根据〃为真命题列出不等式，进而求得实数〃2的取值范围；（2）应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”

真，一真“或”为真，两真“且”才真.

【详解】

（1）VxeR-+1j>x,

且1-16加2<0，

解得m>—

所以当〃为真命题时,实数〃?的取值范围是

(2)由l¥£[2,8],"zlog,x+1NO,可得出w[2,8],/nN-；----

■log.x

m>-I.

・・•当「pvq为真命题，且为假命题时，

・•・〃与9的真假性相同，

m<—

当〃假q假时，有彳4,解得根<一1；

m<-1

1

tn>—1

当〃真g真时，有)4,解得〃心;；

tn>-\

故当力"9为真命题且-P△夕为假命题时，可得根<-1或m>-.

4

【点睛】

本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对

这些知识的掌握水平和分析推理能力.

3

21、(1)列联表见解析，有；(2)分布列见解析，