数系的扩充与复数的概念课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.1数系的扩充与复数的概念

1.了解引入复数的必要性.2.了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养.3.理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的含义.学习目标目标导航16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”.解：设其中一个数是

x,则另一个数为10-x.

x(10-x)=40

化简得：(x-5)2=-15该方程无实数解他想：负数为什么不能开方？那么他是怎么解决的呢？情境引入问题1：“数”是万物的本原，这些数是怎么来的吗？重要数集：情境引入

最初，人们为了计数和表示物体的数量，逐渐形成了自然数的概念.自然数包括0和所有正整数，它们是人类最早认识和使用的数.计数的需要自然数情境引入

随着生产和生活的需要，人们逐渐遇到了需要表示相反意义或相反方向的情况，如增加和减少、前进和后退等。为了满足这些需求，负数的概念被引入。负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾情境引入分数的引入，

解决了在整数集中不能整除的矛盾

在整数的基础上，人们发现有些量不能直接用整数来表示，而需要用分数来表示.例如，半个苹果不能用一个整数来表示，所以又因为等额公平分配的需要，产生了分数.情境引入11?

无理数的引入，

解决了开方开不尽的矛盾情境引入①负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾。②分数的引入，解决了在整数集中不能整除的矛盾。③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。

我们要引入怎样的数通过怎样的计算

才能解决负数不能开平方的矛盾呢？情境引入数系的扩充思考：观察数系扩充的过程，都有哪些“规则”？思考：

数系为什么会不断被扩充？扩充的原因是什么？1.引入新数

2.原数集与新数间的四则运算及运算律依然成立自然数集刻画相反意义的量引入了负整数解决测量等分问题引入了分数解决度量正方体对角线等问题引入了无理数计数的需要引入了自然数整数集有理数集实数集情境引入从数系扩充的角度来看（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；无解有解无解有解有解无解（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；

（4）在实数集中求x2+1=0方程的解．无解有解？（1）在自然集中求方程x+1=0的解；自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R【问题1】思考下列解方程问题，你有什么体会？（1）在自然数集中求方程

x+1=0的解；（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；（3）在有理数集中求方程

x2-2=0的解；（4）在实数数集中求方程x2＋1＝0的解.数系的每一次扩充都解决了原有数集中某种运算不能解决的问题．0.数系扩充规则：（1）解决原数系不能解决的问题;（2）运算法则一致：新数集中规定的加法和乘法运算与原数集中规定的运算法则一致；（3）运算律一致：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．【追问1】

数系扩充后，在运算上遵循了什么规则？情境引入：问题探究

情境引入：问题探究

扩充数集引入新数1545年意大利有名的数学“怪杰”卡尔丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时这种数被他称作“诡辩”.几乎过了100年，法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字--虚数，1777年瑞士数学家欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”并用i(imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位。直到1801年，德国数学家高斯系统地使用了i这个符号，于是使之通行于世。历史再现

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实部2.复数的代数形式：通常用字母z

表示，即虚部其中称为虚数单位。3、复数的分类【追问2】两个复数相等的充要条件是什么？两个复数能比较大小吗？（4）复数相等：设a，b，c，d都是实数，那么：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，但两个实数可以比较大小.新知学习

题型1.复数的概念

情境引入：

例题练习题型2.复数的分类【变式】本例中条件不变，当m为何值时，z＞0.【答案】（1）当m=5时，复数z是实数.（2）当m≠5且m≠－3时，复数z是虚数.（3）当m＝3或－2时，复数z是纯虚数.【答案】m＝5.情境引入：

例题练习题型3.复数相等【例3】（1）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值；（2）已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值.

情境引入：

例题练习【练习1】下列说法中正确的是(

)A.复数由实数、虚数、纯虚数构成B.若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0C.在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数D.若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i【练习2】给出下列说法错误的是

.①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．【答案】①②③【答案】C情境引入：

例题练习情境引入：

例题练习情境引入：

例题练习情境引入：课堂小结本节课你学习到了什么？（知识？方法？思想？）通过这节课的学习你有哪些收获呢？知识总结学生反思（1）通过这节课，你学到了什么知识？