拉普拉斯变换及其简单应用

引言拉普拉斯变换理论（又称为算子微积分）其发展历程可追溯至19世纪末，首先是英国工程师海维赛德发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题REF_Ref21179\r\h[1]，电工领域正面临如复杂电路瞬态分析等棘手计算问题，运算法虽缺乏严密数学论证。后来由法国数学家，天文学家拉普拉斯(1749-1827年)给出严密的数学定义REF_Ref21158\r\h[2]，拉普拉斯给出数学定义的过程中，基于其深厚的数学分析功底，从积分变换角度对其进行严格定义，克服了海维赛德运算法的理论缺陷，称为拉普拉斯变换（简称拉氏变换）方法。他以数学为经济问题的利器，在数学应用过程中孕育并拓展出诸多新方法，拉普拉斯变换便是其中极具代表性的成果。拉普拉斯变换作为一类重要的积分变换，它在物理、控制理论等及各类科学研究与工程领域中有着广泛的应用，尤其是在处理复杂函数和实际问题时展现出了较好的适应性。与傅里叶变换相比，拉普拉斯变换通过引入衰减因子，能处理一些不满足绝对可积条件的信号REF_Ref25072\r\h[3]，如增长型的指数信号等，而傅里叶变换擅长处理周期信号，它在求解微分方程时，通常适用于求解无穷域或在无初始条件的问题，但也受限于无穷域或在无初始条件的情境REF_Ref25993\r\h[4]。当处理微分方程问题时，采用拉普拉斯变换将常系数线性微分方程变成代数式，能够降低初值问题的运算复杂程度，先对微分方程进行拉普拉斯变换得到象函数代数方程，解出方程后，最后通过逆变换得出原微分方程的解REF_Ref29534\r\h[5]，这个方法还可以扩展到微分方程组。其核心优势来源于线性性质与微分性质，使得复杂系统的数学建模与分析更为有效，例如自动控制系统的稳定性探究以及振动系统分析等场景。此外，掌握拉普拉斯变换及其在求解线性微分方程和微分方程组中的应用REF_Ref32761\r\h[6]，这对于解决数学与工程领域的复杂问题具有重要意义。

1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是在傅里叶变换基础上发展而来的，它是属于连续时间函数的一种积分变换，它能够把微分、积分运算转化成较为简单的代数运算。傅里叶变换要求函数满足狄利克雷条件，还得在整个定义域内绝对可积REF_Ref424\r\h[7]，这在实际应用中对变换的限制。拉普拉斯变换引入了衰减指数函数和单位阶跃函数REF_Ref424\r\h[7]，引入的衰减指数函数就像函数套上了一个“缰绳”，当函数随时间增长时，衰减指数函数能让其在积分运算中快速衰减，使积分更易收敛。单位阶跃函数则规定了函数的起始作用时间，只考虑的情况，符合众多实际系统从某一时刻开始工作的特性。比如在电路系统中，开关闭合后电路才开始有响应，用单位阶跃函数就能很好地描述这种情况。通过这两个函数，拉普拉斯变换突破了傅里叶变换的局限，极大地拓展了其应用场景，并使之更适合实际需要。本章先研究傅里叶变换的局部特点，进而确立拉普拉斯变换定义，之后探索其基本法则与求解技巧，用微分方程和偏微分方程算例呈现其应用意义。1.1拉普拉斯变换的概念在前面学习的章节中已经提到过，拉普拉斯变换与傅里叶变换类似，傅里叶变换对函数的要求严格：函数需满足狄利克雷条件且在区间内上绝对可积REF_Ref9439\r\h[8]。然而，许多常见的初等函数大多不满足这些条件。为了解决这一问题，拉普拉斯变换通过以衰减因子和时间范围限定这两个方面改进实现理论：也就是对于任意一个不满足上述条件的函数，可以通过一定的方式进行改造其满足傅里叶变换的要求，同时以时间为自变量的函数，往往当时没有意义，或者不需要知道的情况REF_Ref9439\r\h[8]。具体做法是：将与单位阶跃函数相乘。单定义为： ，相乘后得到： .式中。这样当时，在没有定义或者不需要知道的情况下问题解决了；当时，衰减速度很快的函数，即指数衰减函数REF_Ref14031\r\h[9]，可得 .通过一种新的变换，实函数得到复变函数,这就是本节要定义的拉普拉斯变换，简称拉氏变换REF_Ref14031\r\h[9]。 1.2拉普拉斯变换的定义定义1REF_Ref14031\r\h[9]设在上有定义，且积分（是复参变量）对复平面上某一范围内的收敛，则由这个积分确定的函数 ， (1)被称为函数的拉普拉斯变换，记作，即 .在上式式子(1)中的，而。若是的拉普拉斯变换，那么就是的拉普拉斯逆变换（或称为象原函数，记作 .例1REF_Ref14031\r\h[9]求单位阶跃函数 的拉普拉斯变换。解根据定义，当时 故 .因为在拉氏变换中不必考虑时的情况，故记为.例2REF_Ref14031\r\h[9]求指数函数（其中为实数）的拉普拉斯变换。解由定义知 显然积分当时，此积分收敛，且有 ，所以 .1.3拉普拉斯变换的存在定理定义2REF_Ref14031\r\h[9]设函数定义在上，若存在常数和，使得在上 , (2) 那么就称函数的增长为指数级增长，这里的被称为的增长指数。定理1（拉普拉斯变换的存在定理）当函数满足下列条件REF_Ref14031\r\h[9]：（1）的任意有限区间内，函数分段连续，在有限区间中仅有有限个第一类间断点，不存在无限间断点。（2）当时，呈指数及增长，增长指数为（），那么在复平面的半平面区域内，存在。此外，积分式在半平面上绝对收敛且一致收敛，并且是解析函数REF_Ref14031\r\h[9]。在物理与工程技术领域，傅里叶积分定理条件为充分非必要，常见的函数大多能满足要求，有些函数没达到傅里叶积分定理绝对可积标准，却符合拉普拉斯变换存在性定理。下面用例题形式讲解基本函数的拉普拉斯变换。例3REF_Ref14031\r\h[9]求（为实数）的拉普拉斯变换。解法一当时，有 .解法二当时，有 ，因为，，时，，所以 .同理可得 .例4求单位脉冲函数的拉普拉斯变换。解根据上面的陈述，并利用的筛选性质，可得 如果脉冲出现在时刻，有 .例5求函数的拉普拉斯变换。解 .2.拉普拉斯变换的性质这部分关注拉普拉斯变换显著特质，把握这些特质是正确利用拉普拉斯变换解决实际问题的前提，为进一步说明白，下文会聚焦拉普拉斯变换存在定理条件的剖析，其增长指数统一用。2.1线性性质定理2REF_Ref14031\r\h[9]设，是常数，且，，则 . （3）证明因为 .例6REF_Ref14031\r\h[9]求函数的拉普拉斯变换。解 .例7求函数的拉普拉斯逆变换。解因为 由式（3）有 .例8求的拉普拉斯变换.解已知 .所以由线性性质可知 .同样方法可求得 . 2.2微分性质（1）象原函数的微分性质定理3REF_Ref14031\r\h[9]若，则 . （4）证明根据拉普拉斯变换的定义，有 ，对右端积分利用分布积分法，可得 .所以 .推论1REF_Ref14031\r\h[9]若，则对自然数有 . （5）特别地，当时，有 .例9求的拉普拉斯变换。解因为，，，所以 ，再由线性性质 ，所以 .使用同样的方法，可得 .例10求（是自然数）的拉普拉斯变换。解因为，而所以 ， ，而，所以 .（2）象函数的微分性质定理4REF_Ref14031\r\h[9]若，则 . （6）证明对两边求导，由右边在积分号下求导即可得式（6）。一般地，有 . （7）例11求的拉普拉斯变换。解根据式（7）和例9 .使用同样的方法，可得 .2.3积分性质（1）象原函数的积分性质定理5REF_Ref14031\r\h[9]若，则 . （8）证明设，则有 ，且 ，即 .一般地，对次积分有 .（2）象函数的积分性质定理6REF_Ref14031\r\h[9]设，limt→0+f(t)t存在，且收敛，则 . （9）证明为了简便，取在正实轴，从变到，则 .一般地，有 REF_Ref14031\r\h[9]. （10）例12REF_Ref14031\r\h[9]求函数的拉普拉斯变换。解因为，所以 .推论2REF_Ref14031\r\h[9]如果积分存在，则有 . （11）这一公式，常用来计算某些积分。例如，，则有 .2.4位移性质定理7REF_Ref14031\r\h[9]若，则有 . （12）证明REF_Ref14031\r\h[9]根据定义，有.由此看出，上式右方只是在中把换成，所以 ，.例13REF_Ref14031\r\h[9]求和.解因为，利用位移性质，可得 .由例11，REF_Ref14031\r\h[9].利用位移性质，可得 REF_Ref14031\r\h[9]REF_Ref14031\r\h.使用同样的方法，可得 .2.5延迟性质定理8REF_Ref14031\r\h[9]设，当时，，则对任意非负实数，有 . （13）证明REF_Ref14031\r\h[9] 。由条件可知，当时，，所以上式右端第一个积分为零.对于第二个积分，令，则 .函数，，而是从开，.例14求函数的拉普拉斯变换。解现在已经知道，根据延迟性质，有 .2.6相似性质定理9REF_Ref14031\r\h[9]设，则对有 ，其中.证明根据定义，当时，有 .例15求和.解因为，所以 实际上，由，可直接得到结论。又由于 故由延迟性和相似性，有 .2.7初值和终值定理设是拉氏变换中的象原函数，称和为的初值；称（如果它存在）为的终值.下面两个定理表明，在一定的条件下应用能够确定初值和终值.定理10REF_Ref14031\r\h[9]若，且的存在，则有 . 或写为 REF_Ref14031\r\h[9]. （14）证明REF_Ref14031\r\h[9]根据拉普拉斯变换的微分性质，有 .由于已假定存在，故亦必存在，且两者相等，即 .在前式两端取时的极限，得 ，但 ，交换积分与极限的运算顺序，所以 ，即 .对函数的拉普拉斯变换进行乘法操作，随后算出收敛于特定数值的极限，这样能够确定函数在时的情况，以此来揭示函数在瞬间的变化规则，从而建立函数原点与无穷远点值的联系。定理11REF_Ref14031\r\h[9]若，且sF(s)的所有奇点都在平面上的左半部，则 ，或写为 . （15）证明REF_Ref14031\r\h[9]根据定理给出的条件和微分性质，有 .两边取的极限，得 .但是 ,所以 ，即 .做拉普拉斯变换时，常规做法为先推到再去求出的结果，可实际中函数的解析式没必要清晰明确，重要的是判断函数在或时极限状态，根据这些特征，直接由来求出的两个特定数值，REF_Ref14031\r\h[9].例16REF_Ref14031\r\h[9]若，求和.解根据(14)式及(15)式，有 ， .现在已经知道，即.显然，上面所求结果与直接由所计算的结果是一致的，在运用终值定理时，务必定理需要条件是否得以满足REF_Ref14031\r\h[9]。例如，函数的拉普拉斯变换为，则的奇点位于虚轴上，就不满足定理的条件。虽然有，但，是不存在的。2.8卷积若一个拉普拉斯变换可分解成和之和，其中与分别为与的拉普拉斯变换，那么就是与之和的拉普拉斯变换，那么，如果可分解成与之积，那么是否就是与之积的拉普拉斯变换呢REF_Ref14031\r\h[9]？，即与普通乘积。定义3REF_Ref14031\r\h[9]若已知函数，，则积分 称为函数与的卷积，记为，即 .卷积仍是的函数，而且容易验证卷积满足下列性质：交换律；结合律；分配律；；；卷积的这些性质完全与普通乘积相仿，但是卷积与普通乘积又有很不一样的特征。例如，在普通乘积中有，而对于卷积却不一定成立。定理12REF_Ref14031\r\h[9]设与都存在，则卷积的拉普拉斯变换一定存在，且 .或 .证明 （化为区域的二重积分） （令） .先把两个函数做拉氏变换，与两个函数先卷积后拉氏变换结果无异。下面运用卷积原理对部分函数开展拉氏反变换求解。例17若，求.解因为 ，而 ，，所以 .例18若，求.解因为 ，而 ，所以 .3.拉普拉斯逆变换从前面几节的讨论中，已经知道了可以利用拉普拉斯变换的性质并根据一些已知的变换来求象原函数，其中对象函数进行分解（或分离）是比较关键的一步，至于已知的变换则可以通过查表获得。这种方法在许多情况下不失为一种简单而有效的方法，因而常常被使用，但其使用范围毕竟是有限的。下面介绍一种更一般性的方法，它直接用象函数表示出象原函数，即所谓的反演积分，再利用留数求出象原函数REF_Ref14031\r\h[9]。由拉普拉斯变换的概念可知，函数的拉普拉斯变换实际上就是的傅里叶变换，于是当满足傅里叶积分定理的条件时，根据傅里叶变换积分公式REF_Ref14031\r\h[9]，在连续点处有 REF_Ref14031\r\h[9] ，，，,则 ，，令，有 REF_Ref14031\r\h[9]，. （16）这个式子实现象函数到求它的象原函数的通用转换,该积分在数学中称为拉普拉斯反演积分REF_Ref14031\r\h[9]，基于拉普拉斯变换运算特点，前文部分推出了某些象函数和象原函数之间的转换关系，针对一些复杂的象函数，推导其拉普拉斯变换需用反演积分公式，此式与（1）式组成对应的积分变换公式，它们一起实现拉普拉斯变换，由于式（16）是一个复变函数的积分性质而言，复变积分求值多数情况很困难，若当符合特定情形时，可以求解该反演积分要应用留数定理REF_Ref14031\r\h[9]。定理13REF_Ref14031\r\h[9]（拉普拉斯反演定理）若是函数的所有孤立奇点（有限个），除这些点外处处解析;适当选取，使所有奇点全在的范围内，且当s→∞时，F(s)→0，则 ，即 . （17）例19REF_Ref14031\r\h[9]求函数的拉普拉斯逆变换。解函数有两个单极点和，由式（16）有， ， ，所以，当时有 .

4.拉普拉斯变换的简单应用如同傅里叶变换，拉普拉斯变换在工程应用与科研领域大量运用，尤其在电工系统、工业自动化、可靠性分析和随机服务系统等方面起到核心作用REF_Ref23881\r\h[10]，考察系统时，普遍用数学模型描述，大量实例表明该建模方式为线性，可通过线性微分、积分、微分积分和偏微分方程刻画。这项研究仅牵扯用拉普拉斯变换求解常微分方程的法子，核心环节是用拉普拉斯变换把微分方程改成象函数的代数方程，根据这个代数方程求出象函数，然后再取逆变换就得出原来微分方程的解REF_Ref7854\r\h[11]。4.1解线性常微分方程求解常系数线性常微分方程的求解步骤：（1）对每个方程进行拉普拉斯变换凭借拉普拉斯变换的线性、微分性质，将时域里方程组的每个方程变换到复频域，让微分运算转化为代数运算，得到未知函数的拉普拉斯变换代数方程组。（2）代入初始条件将给定的初始条件代入到经过拉普拉斯变换后的方程组中，确定代数方程组中的常数项。

（3）求解代数方程组通过代数方法，如消元法，矩阵法等，求解得到未知函数的拉普拉斯变换表达式。

（4）进行逆拉普拉斯变换运用拉普拉斯变换表和逆变换途径，将频域表达式转化为时域样式，求解常系数线性微分方程组。例20求微分方程满足初始条件，的解。解设.对方程两边取拉普拉斯变换，由微分性质及初始条件得 .（代数方程）（2）解上述代数方程得，，，它们均为的奇点且为一阶极点。（3）求拉普拉斯逆变换： .例21REF_Ref6583\r\h[13]求方程满足初始条件，的解。解设，对方程两边取拉普拉斯变换，由微分性质及初始条件得： ，解得 .因为，由位移性质有.因为，由位移性质有.所以.上面几个例题是常系数线性微分方程的边值问题，解此类方程，一般是利用原象函数的微分性质和积分性质REF_Ref6583\r\h[13]。下面再介绍几个变系数微积分方程的例子，这一类方程通常是利用象函数的微分性质。如 一般会用到和.例22求方程满足初始条件，的解。解设，对方程两边取拉普拉斯变换得： ，即 ， .将，代入上式并化简，解得 .这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 ，对上式积分后得到 ，得 ，取拉普拉斯逆变换得，由初始条件可得.所以满足初始条件的解为.4.2解积分微分方程例23REF_Ref25530\r\h[14]解积分方程 .解对方程两边作拉普拉斯变换，并注意到原方程中的积分就是未知函数与的卷积，从而由卷积定理REF_Ref6583\r\h[14]得到 .令，则有 ，故 .作拉普拉斯变换，得 .4.3解线性常微分方程组例24REF_Ref9480\r\h[15]求微分方程组 满足初始条件，，的解。解设，，对每个方程两边作拉普拉斯变换，得像方程组 ，满足初始条件，，代入，整理得 ，解此方程组，得 ，作拉普拉斯变换，得所求的解 .观察这些典型算例可知，采用拉普拉斯变换处理线性常微分方程及积分方程系统时存在如下优势：其一，在求解过程中，先推导出包含任意常数的通解，再结合初始条件一并代入，直接得到特解。其二，零初始条件在工程技术场景中极为普遍。基于上述优势，采用拉普拉斯变换求解会更加便捷。反观微分方程的一般求解方法，即便面对零初始条件，也无法实现运算过程的简化。其三，利用拉普拉斯变换来解决常微分方程，比前面学习的方程组解法更为方便。拉普拉斯变换的步骤简明规范，易于在工程技术中实施，凭借这些显著特性，该方法在多个工程领域中被普遍运用。4.4偏微分方程的拉普拉斯解法拉普拉斯变换也是求解一些偏微分方程的方法之一，其计算过程和步骤与求解上述线性微分方程及其傅里叶变换求解偏微分方程的过程及步骤相似REF_Ref26506\r\h[16]。例25REF_Ref26506\r\h[16]利用拉普拉斯变换求解弦振动方程满足初始条件，和边界条件，的解。解关于取拉普拉斯变换，设，.用拉普拉斯变换的微分性质及初始条件，可得 ， .，.这样原定解问题转化为求含有参数的常微分方程的边界问题： 容易得到它的解 .由其边界条件可得，，从而.上式对进行拉普拉斯逆变换得 例26REF_Ref26506\r\h[16]一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0，求杆上温度分布规律。解问题归结为求解定解问题 ，，其边界条件为，.对进行拉普拉斯变换，设，，于是原问题变为 ，.方程通解为.由于表示温度，当时，一定有界，所以赤有界，从而.另外，由边值条件可知，即 ，对进行拉普拉斯逆变换，有 .查表得，易证.而 .所以 .

结论本研究先评估拉普拉斯变换在工程技术及跨学科领域的应用前景，再从其发展起源出发，剖析它的定义和逆变换特性。拉普拉斯变换在傅里叶变换的基础上引入了指数衰减因子和单位阶跃函数，放宽了对函数的限制条件。拉普拉斯变换能够处理更多类型的函数，更好地契合实际应用。其性质丰富了理论体系为实际应用提供了便利。在求解方法上提供了多种手段，比如面对不同类型的函数和问题时，能够选择高效的求解径。在实际使用时，它可把微分和积分运算转化为代数运算，简化了求解流程，特别是对于有不连续函数的方程，拉普拉斯变换比高等数学的一般解法要更出色，能轻松搞定，体现出强大的适应性，拉普拉斯变换凭借独特的理论优势、丰富的性质、多样的求解方式以及广泛的应用，成为连接数学