人教版初中数学九年级下册《图形的相似》单元教案

人教版初中数学九年级下册《图形的相似》单元教案

一、单元整体分析

（一）课标要求与核心素养指向

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“图形的相似”领域提出了明确要求。本单元内容隶属于“图形与几何”领域，是学生在学习了全等三角形、四边形、圆等知识后，对图形关系认知的进一步深化和拓展。课标强调，学生应通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比的概念；掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”；了解相似三角形的判定定理和性质定理；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。

本单元的学习，旨在发展学生以下核心素养：

1.抽象能力：从具体实物、图片中抽象出相似图形的数学本质，理解“形状相同，大小不一定相同”这一核心特征，形成比例与相似关系的抽象模型。

2.推理能力：经历相似三角形判定定理和性质定理的探索、证明与应用过程，发展合情推理与演绎推理能力，体会几何论证的逻辑性和严谨性。

3.几何直观：运用图形的相似关系分析、想象和解决几何问题，借助比例线段、相似图形进行直观思考和空间想象。

4.模型观念：建立相似三角形模型，并运用该模型解决测量、绘图、物理光学等跨学科实际问题，认识数学模型的应用价值。

5.应用意识：在解决金字塔高度测量、地图绘制、相机成像原理等真实问题中，感悟数学与现实的紧密联系，提升数学应用能力。

（二）教材内容分析与人教版编排逻辑

本单元是人教版九年级下册第二十七章“相似”的核心内容。在此之前，学生已系统学习了三角形、四边形、圆的基本性质，以及全等三角形的判定与性质，具备了基本的几何认知和推理能力。全等是相似当相似比为1时的特例，这种从特殊到一般的关系为本章学习奠定了认知基础。

教材编排遵循“概念—判定—性质—应用—位似”的逻辑主线：

1.相似图形与成比例线段：从生活实例引入相似图形概念，明确相似多边形的定义（对应角相等，对应边成比例）。在此背景下，深入研讨比例的基本性质、合比性质、等比性质以及平行线分线段成比例定理及其推论。这部分内容是整个单元的“基石”，比例关系是沟通相似图形的代数桥梁。

2.相似三角形的判定：这是本章的重点和核心。教材依次介绍了三个判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似（预备定理）；（2）三边成比例的两个三角形相似（SSS）；（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）；（4）两角分别相等的两个三角形相似（AA）。其中，判定定理（4）是应用最广泛、最便捷的判定方法。教材通过探究活动，引导学生发现这些判定条件，并辅以严格的几何证明，实现从合情推理到演绎推理的升华。

3.相似三角形的性质：在判定相似的基础上，研究相似三角形的性质，包括对应角相等、对应边成比例（即相似比）、对应高线、中线、角平分线、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。性质的研究体现了“判定—性质”的几何研究基本范式，其中面积比与相似比平方的关系是学生容易出错的难点，也是体现数学内在和谐之美的亮点。

4.相似三角形的应用：将抽象的相似模型应用于实际问题，如测量旗杆高度、计算河宽、解释光的反射与折射路径等。这部分是数学建模思想的集中体现，要求学生能将实际问题“翻译”为几何图形，并构造相似三角形解决问题。

5.图形的位似：位似是特殊的相似（对应点连线交于一点）。教材从放缩尺、相机成像等实例引入位似概念，学习利用位似进行图形的放大与缩小（在直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换对应坐标的规律）。这是连接相似与后续投影、视图等知识的纽带。

本单元教学重点：相似三角形的判定定理（特别是“两角相等”）和性质定理的理解与应用。

本单元教学难点：复杂图形中识别和构造相似三角形；灵活运用比例线段和相似比解决综合问题；位似变换中坐标规律的理解与应用。

（三）学情诊断与分析

九年级学生具备以下学习基础与可能存在的障碍：

已有基础：

1.知识层面：熟练掌握了全等三角形的判定与性质；了解了比例的基本概念；具备基本的几何作图与识图能力；学习了勾股定理、锐角三角函数等相关知识。

2.能力层面：具备一定的逻辑推理能力和空间想象能力；能够进行小组合作探究；初步具备将实际问题抽象为数学问题的意识。

3.思维层面：处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期，抽象逻辑思维快速发展。

潜在困难与障碍：

1.概念混淆：容易将“相似”与“全等”的概念混淆，忽视“大小可以不同”这一关键；在复杂图形中难以准确找出对应角和对应边。

2.比例关系的复杂性：对平行线分线段成比例定理及其推论的理解和应用存在困难，尤其是在非标准图形中寻找比例关系。

3.模型构造的灵活性：面对测量等应用问题时，缺乏主动构造相似三角形的意识，或者构造模型的方法单一、不优化。

4.符号语言与图形语言的转换：对相似符号“∽”的使用不规范，在证明过程中，书写格式不够严谨。

5.综合应用能力薄弱：将相似知识与函数、圆、三角函数等知识结合时，感到困难，缺乏知识联通的视角。

二、单元学习目标

基于以上分析，确立本单元三维学习目标：

（一）知识与技能

1.理解相似图形、相似多边形、相似比的概念，能识别相似图形。

2.掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质，会进行简单的比例变形。

3.理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并能熟练应用。

4.掌握相似三角形的三个判定定理（AA，SAS，SSS）和一个预备定理，并能运用它们证明两个三角形相似。

5.掌握相似三角形的性质，理解对应线段比、周长比、面积比与相似比的关系，并能进行计算和证明。

6.了解图形的位似及其相关概念，能够利用位似将一个图形放大或缩小，了解平面直角坐标系中位似变换的坐标规律。

7.能够运用相似三角形的知识，解决简单的测量问题和一些实际问题。

（二）过程与方法

1.经历探索相似图形性质、相似三角形判定与性质的过程，进一步发展探究、归纳、类比、演绎等数学思维方法。

2.通过观察、操作、测量、猜想、验证等活动，积累数学活动经验，提高发现和提出问题的能力。

3.在解决实际问题的过程中，体会建立相似三角形模型的方法，感悟数学建模思想。

4.学会在复杂图形中分解出基本图形，运用转化与化归思想解决问题。

（三）情感态度与价值观

1.通过了解相似图形在测量、建筑、艺术、科技等领域的广泛应用，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。

2.在探索和证明相似定理的过程中，体验数学活动的探索性和创造性，感受几何论证的严谨与精确，增强学习几何的信心。

3.在小组合作探究中，学会倾听、表达与交流，培养团队协作精神。

4.通过运用数学知识解决实际问题，增强数学应用意识，激发学习数学的兴趣。

三、单元教学结构图

图表

代码

全屏

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图形的相似单元

相似概念与比例基础

相似三角形的判定

相似三角形的性质

位似变换

相似多边形定义

成比例线段

比例性质

平行线分线段成比例

预备定理

两角相等AA

两边成比例且夹角相等SAS

三边成比例SSS

对应角相等/边成比例

对应线段比=相似比

周长比=相似比

面积比=相似比平方

位似定义与性质

位似作图

坐标系中的位似

核心应用：相似模型解决实际问题

测量问题

证明与计算

跨学科联系

四、单元课时安排（总计约12课时）

课时

主题

核心内容

课型

1

相似图形与比例线段

相似多边形定义；比例的基本性质、合分比性质

新授课

2

平行线分线段成比例

定理、推论及其应用

新授课

3

相似三角形的判定（一）

预备定理及“两角相等”判定法

探究课

4

相似三角形的判定（二）

“两边夹角”与“三边”判定法

探究课

5

相似三角形判定综合练习

判定方法的灵活选择与证明

练习课

6

相似三角形的性质（一）

对应角、边、周长、对应线段的关系

新授课

7

相似三角形的性质（二）

面积比与相似比的关系；性质综合应用

新授课

8

相似三角形的应用（一）

测量问题（旗杆、河宽等）

应用课（可室外）

9

相似三角形的应用（二）

证明与计算中的综合应用

综合课

10

图形的位似

位似的概念、性质与作图

新授课

11

平面直角坐标系中的位似

位似变换与坐标规律

新授课

12

单元复习与评价

知识梳理、综合问题解决、单元测评

复习评价课

五、重点课时教学实施设计

第3课时：相似三角形的判定（一）——从平行到角相等

（一）教学目标

1.探索并理解相似三角形判定的预备定理（平行线截三角形相似）。

2.探究并证明相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。

3.初步掌握利用“AA”判定两个三角形相似的方法，并能进行简单的推理和计算。

4.在探究过程中，发展类比、归纳的合情推理能力和严谨的演绎推理能力。

（二）教学重点与难点

1.重点：“两角分别相等的两个三角形相似”判定定理的理解与应用。

2.难点：判定定理的证明思路分析；在复杂图形中准确识别或构造满足“AA”条件的三角形。

（三）教学准备

1.教师：多媒体课件、几何画板动态课件、三角板。

2.学生：直尺、量角器、学习任务单。

（四）教学过程

环节一：情境再现，温故引新（约5分钟）

1.生活情境：展示一组照片：同一人在不同距离拍摄的肖像照，同一建筑物的远景和近景照片。提问：“这些图片中的图形有什么关系？”（形状相同，大小不同——相似）。“我们如何从数学上严格判断两个三角形相似？”（回顾相似多边形定义：对应角相等，对应边成比例）。定义法虽准确但验证繁琐，我们能否像寻找全等三角形的“捷径”（SSS，SAS，ASA）一样，找到判定三角形相似的简便方法？

2.知识回顾：提问：“在全等三角形中，‘ASA’和‘AAS’的本质是什么？”（两角及夹边或一角对边相等）。“如果只保留‘两角相等’这个条件，去掉‘边相等’的限制，两个三角形的形状会怎样？”（引导学生猜想：形状必然相同，即相似）。由此自然引出本课核心问题：两角分别相等的两个三角形是否一定相似？

环节二：实验探究，发现定理（约15分钟）

活动1：从特殊到一般——平行线带来的相似

1.教师利用几何画板，动态演示：已知△ABC，过AB边上一点D作DE//BC，交AC于点E。

1.拖动点D，观察△ADE的形状变化。（始终与△ABC形状相同）。

2.测量∠A，∠ADE，∠AED，并与∠A，∠B，∠C比较。（∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C）。

3.测量AD/AB，AE/AC，DE/BC。（比值始终相等）。

1.学生根据观察，归纳结论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。教师明确：这是相似三角形判定的“预备定理”，是证明其他判定定理的基础。

2.符号语言规范：∵DE//BC,∴△ADE∽△ABC.

活动2：猜想与验证——脱离平行，角等能否导相似？

1.提出猜想：如果△A‘B’C‘和△ABC满足∠A’=∠A，∠B‘=∠B，那么它们相似吗？为什么？

2.实验验证（小组合作）：

1.任务单上给出∠α=60°，∠β=75°。

2.要求每个学生利用量角器和直尺，画一个△ABC，使得∠A=α，∠B=β，长度自定。

3.小组内交换所画三角形，用量角器测量第三个角，用刻度尺测量三边长度，并计算对应边的比值。

1.汇报交流：小组代表汇报发现：尽管大家画的三角形大小各异，但第三个角都是45°，且任意两个三角形的对应角都相等，对应边的比值都近似相等（存在测量误差）。由此，学生通过实验数据支撑猜想：两角分别相等的两个三角形，对应边成比例，即相似。

2.理性思考：教师引导：“实验存在误差，如何从逻辑上严格证明这个猜想？”启发学生联想活动1中的预备定理。关键思路：能否将两个满足角等条件的三角形，通过平移、缩放等变换，转化为预备定理适用的情形？教师利用几何画板展示“叠合”思想。

环节三：推理证明，构建体系（约10分钟）

1.师生共析证明思路：

1.已知：在△ABC和△A‘B’C‘中，∠A=∠A’，∠B=∠B‘。

2.求证：△ABC∽△A’B‘C’。

3.分析：根据相似多边形定义，需证对应边成比例。我们可以在△ABC的边AB上截取AD=A‘B’，过D作DE//BC…（利用预备定理搭建桥梁）。

1.教师板演完整证明过程（强调作辅助线的目的和证明的规范性）：

证明：在AB上截取AD=A‘B’，过点D作DE//BC，交AC于点E。

∵DE//BC，

∴△ADE∽△ABC(预备定理)。

∴∠ADE=∠B。

又∵∠B=∠B‘，

∴∠ADE=∠B‘。

在△ADE和△A‘B’C‘中，

∠A=∠A’，

AD=A‘B’，

∠ADE=∠B‘，

∴△ADE≌△A’B‘C’(ASA)。

∴△ABC∽△A‘B’C‘。

2.归纳定理：师生共同总结相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。

3.符号语言强化：在△ABC和△A‘B’C‘中，

∵∠A=∠A‘,∠B=∠B’,

∴△ABC∽△A‘B’C‘(AA)。

环节四：初步应用，巩固新知（约12分钟）

例1（直接应用）：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。

求证：(1)△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC。

教学处理：

1.学生独立思考，寻找相等的角。

2.教师提问引导：“要证△ACD∽△ABC，已经有一个公共角∠A，还需要找哪个角相等？”（∠ADC=∠ACB=90°）。“这运用了哪个判定定理？”（AA）。

3.学生板书证明过程，师生共评，强调证明格式。

4.同理完成(2)。并指出：此图包含三个彼此相似的直角三角形（△ACD∽△CBD∽△ABC），这是一个非常重要的基本图形——“双垂直模型”（或“射影定理基本图形”），其中蕴含丰富的比例关系，为后续学习埋下伏笔。

例2（简单综合）：如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F。

求证：△ADF∽△ECF。

教学处理：

1.引导学生从复杂的图形中剥离出待证的两个三角形：△ADF和△ECF。

2.分析已知条件（平行四边形）能提供什么角的关系？（AD//BC，AB//CD）。

3.学生尝试寻找相等的角。（由AD//BC得∠DAF=∠E；由AB//CD得∠ADF=∠ECF或对顶角相等）。

4.请学生口述证明思路，教师板书关键步骤。

课堂练习（学习任务单）：

1.判断题：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。（）

2.如图，∠1=∠2，请添加一个条件______，使得△ABC∽△ADE。

3.（提高）如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D。求证：BC²=2CD·AC。

环节五：课堂小结，提炼升华（约3分钟）

1.知识梳理：通过思维导图形式，引导学生总结本课所学：

1.一条路径：全等（ASA/AAS）→减弱条件（去掉边相等）→猜想相似（AA）→实验验证→利用预备定理证明。

2.一个定理：相似三角形判定定理1（AA）。内容、图形、符号语言。

3.一个基本图形：“双垂直模型”。

1.方法反思：我们是如何发现并证明这个定理的？（观察生活→提出猜想→实验操作→逻辑证明）。体现了数学研究的一般过程。

2.悬念预设：今天我们用“两角相等”判定相似，那么“两边成比例且夹角相等”或“三边成比例”也能判定相似吗？下节课我们继续探究。

（五）板书设计

第3课时相似三角形的判定（一）

一、预备定理

∵DE//BC

∴△ADE∽△ABC

二、判定定理1（AA）

内容：两角分别相等的两个三角形相似。

已知：在△ABC和△A‘B’C‘中，

∠A=∠A‘，∠B=∠B’

求证：△ABC∽△A‘B’C’

证明：（略）

符号语言：∵∠A=∠A‘,∠B=∠B’

∴△ABC∽△A‘B’C’

三、应用

例1：双垂直模型

△ACD∽△ABC∽△CBD

例2：利用平行找等角

第8课时：相似三角形的应用（一）——测量问题

（一）教学目标

1.能运用相似三角形的判定和性质，解决简单的测量高度、宽度等实际问题。

2.经历将实际问题抽象为数学问题（构建相似三角形模型）的过程，发展数学建模能力。

3.通过小组合作设计测量方案，培养解决实际问题的策略意识和创新意识。

4.体会数学与生活的紧密联系，增强应用数学的自信心和成功感。

（二）教学重点与难点

1.重点：构建相似三角形模型解决测量问题。

2.难点：根据实际条件灵活构造相似三角形；测量方案的设计与优化。

（三）教学准备

1.教师：提前勘察校园，选择合适的测量对象（旗杆、教学楼局部高度等）；准备皮尺、测角仪（或自制简易测角仪）、标杆、镜子；多媒体课件。

2.学生：分好学习小组（4-6人一组）；复习相似三角形知识。

（四）教学过程

环节一：创设情境，提出问题（约5分钟）

1.历史故事导入：讲述古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的故事。他是如何在不爬上金字塔的情况下，测算出其高度的？（利用太阳光下影子与物体成比例的原理）。这蕴含着什么数学思想？（相似变换）。

2.现实任务驱动：展示学校旗杆图片。“学校想更换旗绳，需要知道旗杆的确切高度。你能利用所学的数学知识，在不直接爬上去测量的情况下，帮学校测算出旗杆的高度吗？”将学生置于真实问题解决者的角色。

3.头脑风暴：学生自由发言，提出可能的方法（如影子法、镜子法、标杆法、无人机拍照对比等）。教师肯定学生的想法，并指出今天主要探究利用地面工具构造相似三角形的方法。

环节二：方案探究，建立模型（约20分钟）

活动1：影子法（“太阳光法”）

1.原理探究：动画演示：在平行光（太阳光近似平行）照射下，物体、影子与光线构成两个相似的直角三角形。

2.模型抽象：

1.实际问题：测旗杆AB的高度。

2.数学问题：构造包含AB的Rt△ABO，再构造一个与之相似的小Rt△CDO。

3.条件：太阳光是平行光⇒AB//CD⇒∠ABO=∠CDO，且∠AOB=∠COD=90°⇒Rt△ABO∽Rt△CDO(AA)。

4.关系式：AB/CD=OB/OD⇒AB=CD×(OB/OD)。

1.方案设计：小组讨论，需要测量哪些数据？（小标杆CD的长度、标杆影长OD、旗杆影长OB）。需要注意什么？（同时测量，确保太阳角度不变；地面尽量水平）。

2.局限性讨论：没有太阳怎么办？影子落在墙上或不完整怎么办？引导学生思考其他方法。

活动2：镜子法（“反射法”）

1.介绍原理：根据光的反射定律（入射角等于反射角），可以构造相似三角形。

2.操作演示（教师或视频）：在地面放一面镜子，人调整位置，直到在镜子里看到旗杆顶端。此时，光路图中存在两个相似的直角三角形。

3.模型抽象：

1.关键点：人眼（E）、镜子（M）、旗杆顶端（A）满足共线关系（反射路径）。

2.由光的反射定律和垂直关系，可证∠1=∠2，且∠EMN=∠AMB=90°⇒Rt△EMN∽Rt△AMB(AA)。

3.关系式：AB/EN=BM/MN⇒AB=EN×(BM/MN)。

1.所需数据：人眼到地面的高度EN、人到镜子的距离MN、镜子到旗杆底部的距离BM。

2.优点：不受时间（阴天也可）、影子限制。

活动3：标杆法（“构造法”）

1.情境：在没有镜子、影子不明显的情况下。

2.操作：在旗杆前直立一根已知高度的标杆CD，人后退，用一只眼睛（E）使A、C、E三点共线，再确定B、D、E三点共线。

3.模型抽象：证明△EAB∽△ECD(AA)。关系式：AB/CD=EB/ED。需测量CD、EB、ED（或通过测量人、标杆、旗杆之间的水平距离和人眼高间接计算）。

4.方案对比：三种方法各有什么优缺点？（影子法简单但受天气时间限制；镜子法灵活但需要镜子且地面要平；标杆法通用但操作精度要求高）。引导学生理解，根据具体条件选择最优方案是数学建模的重要环节。

环节三：户外实践，测量计算（约25分钟，可调整）

1.安全与纪律教育：明确活动范围、工具使用安全、小组分工（操作员、记录员、计算员、汇报员）。

2.分组实践：各小组选择一种或两种方法，领取相应工具，到指定区域进行实际测量。

1.教师巡视指导，重点关注：方案的可行性、操作的规范性、数据的准确性、小组成员合作的协调性。

2.鼓励小组在完成一种方法后，尝试另一种方法进行验证。

1.数据记录与处理：学生在任务单上记录原始数据，利用相似比例式计算旗杆高度。思考：如何减少误差？（多次测量取平均值；确保标杆竖直；保持镜面水平等）。

环节四：汇报交流，总结反思（约10分钟）

1.成果汇报：各小组代表汇报采用的测量方法、过程、数据及计算结果。展示计算过程。

2.误差分析：对比不同小组、不同方法的测量结果。讨论产生差异的可能原因（测量误差、工具误差、模型理想化假设与实际情况的偏差等）。这是科学探究中至关重要的环节。

3.模型总结：教师引导学生提炼解决此类测量问题的通用思路：

1.实际问题→数学问题（识别或构造相似三角形）→建立模型（找出比例关系）→求解模型（测量必要数据并计算）→回归实际（解释结果，分析误差）。

1.拓展延伸：提问：“如何测量一条河的宽度？”引导学生课后思考，将“测高”模型迁移到“测距”问题。介绍现