5.3二元一次方程组的应用（第2课时借助表格梳理等量关系）（导学案）（解析版）

5.3二元一次方程组的应用导学案第2课时借助表格梳理等量关系1.能借助表格或线段图梳理实际问题中的已知量、未知量及数量关系，熟练按照“审、设、列、解、验、答”步骤列二元一次方程组解决问题.2.通过分析工厂利润、营养品配比等实例，经历“梳理信息—找等量关系—列方程组”的过程，提升分析问题、转化问题的能力.掌握用“表格法”梳理收支、配比类实际问题的关键信息，用“线段图法”分析路程类实际问题的数量关系;熟练按照“审、设、列、解、验、答”六步，列二元一次方程组解决实际问题.准确找出复杂实际问题中的两个等量关系，避免量与量之间的混淆;准确确定复杂问题的核心量，将比例、百分比等关系转化为表格中的表达式，并从中提炼独立的等量关系..第一环节自主学习新知自研：自研课本P121-P122页的内容，思考：【学法指导】温故知新：用二元一次方程组解决问题的一般步骤是什么？”列方程组最关键的一步是什么？一般步骤是“审、设、列、解、验、答”，列方程组最关键的一步是“找等量关系”.情景引入如果问题里有‘去年’‘今年’两个时间，还有‘总收入’‘总支出’‘利润’多个量，直接找等量关系容易乱，有没有办法帮我们理清这些量？今天我们就学习‘借助表格梳理等量关系’.●探究一：二元一次方程组的应用---借助表格梳理等量关系某工厂去年的利润（总收入-总支出）为200万元.今年的总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？◆1.这个问题涉及哪些量？去年的总收入、去年的总支出、今年的总收入、今年的总支出、去年的利润、今年的利润.◆2.这些量之间有怎样的等量关系？（1）去年的利润=去年的总收入-去年的总支出；（2）今年的总收入=去年的总收入×（1+20%）；（3）今年的总支出=去年的总支出×（1−10%）；（4）今年的利润=今年的总收入-今年的总支出.◆3.你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流.年份总收入/万元总支出/万元利润/万元去年xyx﹣y今年(1+20%)x(1−10%)y780◆4.尝试列出方程组，并作答.依题意列方程组得：x−解得：x=2000答：去年总收入2000万元，总支出1800万元.◆5.总结归纳：:在解决问题时，如何梳理其中的关键信息？（1）先明确题目涉及的核心量，确定表格的行或列标题；（2）将题目中的已知量和未知量对应填充到表格的单元格中；（3）在表格里清晰呈现量与量之间的关系，根据表格列方程组.【例题导析】自研下面典例的内容，回答问题：典例分析例1：医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？【分析】设每餐需要甲原料xg,乙原料yg，则有成分甲原料xg乙原料yg所配制的营养品其中所含蛋白质0.5x0.7y0.5x+0.7y其中所含铁质x0.4yx+0.4y等量关系式：（1）甲原料中所含蛋白质+乙原料中所蛋白质=35（2）甲原料中所含铁质+乙原料中所铁质=40【解答】解：设每餐需要甲原料xg、乙原料yg，根据题意，0.5x+0.7y=35，0.5x+0.7y=35，解这个方程组，得：x=28答：每餐用甲原料28g、乙原料30g可以恰好满足患者的需要.第二环节合作探究小组群学A.探讨如何通过借助表格梳理等量关系，从而列出二元一次组来解答实际问题；B.交流例题的解题思路和易错点.C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是(C)A.x+y=B.x+y=C.x+y=D.x+y=2.某公司购买甲、乙两种货物，设甲、乙两种货物的进货价分别为x元和y元。若已知两种货物的进货价共30000元，则可列方程x＋y=30000；若共获利3150元，已知甲种货物的利润率是10%，乙种货物的利润率是11%，则可列方程10%x＋11%y=3150，由此可得方程组x+y=3000010%x+甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h，那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？设甲、乙两人的速度分别是xkm/h和ykm/h，填写下表并求x，y的值.两种情况甲的路程乙的路程甲、乙两人的路程之和第一种情况甲先走2h(2+2.5）x2.5y36第二种情况乙先走2h3x(2+3)y36解：设甲、乙两人的速度分别是xkm/h和ykm/h，根据题意，得（2+2.5）x

+2.5y

=36解方程组，得x=6答：甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h.4.甲、乙两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%.如果甲班学生的体育达标率为87.5%，乙班学生的体育达标率为75%，那么甲、乙两班各有多少名学生?设甲班有x名学生，乙班有y名学生，填写下表并求出x，y的值.人数甲班乙班两班总和学生人数xy100达标学生人数87.5%x75%y81%×100解：设甲班有x名学生，乙班有y名学生，根据题意，得x

+y

=100，解，得x=48答：甲班有48人，乙班有52人.题型一增长率（下降率）或百分比问题1．某农场去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．该农场去年实际生产小麦、玉米各（）吨，A．5，10 B．23，11 C．11.5，5.5 D．11，23【分析】设该农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，由题意：去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论．【解答】解：设该农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，则该农场去年实际生产小麦（1+15%）x吨，玉米（1+10%）y吨，依题意得：x+y=15(1+15%)x+(1+10%)y=17解得：x=10y=5∴（1+15%）x＝（1+15%）×10＝11.5，（1+10%）y＝（1+10%）×5＝5.5．即该农场去年实际生产小麦11.5吨，玉米5.5吨，故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则调价前上衣的单价是（）A．200元 B．480元 C．600元 D．800元【分析】设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，根据“调价前每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，依题意，得：x+y=1000(1+5%)x+(1−10%)y=1000×(1+2%)解得：x=800y=200即调价前上衣的单价是800元，故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．青岛市某实验中学在对口援助边远山区活动中，原计划赠书3000册，由于学生积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，则该校初中部原计划赠书册，高中部原计划赠书册．【分析】设原计划初中部赠书x册，高中部赠书y册，根据原计划赠书3000册和初中部多捐赠的书+高中部多捐赠的书＝3780﹣3000可得方程组，解方程组即可．【解答】解：设原计划初中部赠书x册，高中部赠书y册，依题意有：20%x+30%y=3780−3000x+y=3000解得：x=1200y=1800故答案为：1200；1800．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，为了少出差错，减少运算量，最好根据增加的书数来列等量关系．4．某工厂一月份生产甲、乙两种机器共50台，经过工厂技术调整，计划二月份甲种机器增产10%，乙种机器减产20%，且计划二月份生产这两种机器共52台，则该工厂一月份生产甲、乙两种机器各多少台？【分析】设该厂一月份生产甲机器x台，乙机器y台，根据“计划二月份生产这两种机器共52台”列方程求解即可．【解答】解：设该厂一月份生产甲机器x台，乙机器y台，由题意可知，x+解得：x=4答：该厂一月份生产甲机器40台，乙机器10台．【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．5．某工厂去年总产值比总支出多500万元，由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%．因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？设去年总产值x万元，总支出y万元．根据题意填写下表，并列出方程组，求x，y的值，以及今年的总产值与总支出．总产值总支出差去年xy500今年【分析】设去年计划的总产值是x万元，总支出y万元．根据今年总产值比总支出多950万元，得方程（1+15%）x﹣（1﹣10%）y＝950，求出方程的解即可．【解答】解：设去年计划的总产值是x万元，总支出y万元．根据题意，得(1+15%)x−(1−10%)y=950x−y=500解得：x=2000则（1+15%）×2000＝2300，（1﹣10%）×1500＝1350．答：今年计划的总产值为2300万元，总支出为1350万元．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程．此题中根据增长率，显然设去年的，易于表示今年的对应量．题型二配套问题6．甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（）A．x+y=15180x×2=240y×3B．x+y=15180x×3=240y×2C．x+y=152x=3yD．x+y=15【分析】根据一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，列方程组即可得到结论．【解答】解：根据题意得，x+y=15180x×3=240y×2故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是找到等量关系并列出方程组，难度不大．7．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（）A．50人，40人 B．30人，60人 C．40人，50人 D．60人，30人【分析】设分配x人生产螺栓，y人生产螺帽刚好配套，根据等量关系：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数＝90；螺栓总数×2＝螺帽总数，列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设分配x人生产螺栓，y人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套，根据题意，得：x+y=902×15x=24y解得：x=40y=50即分配40人生产的螺栓，50人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套，故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．8．一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少m3钢材做A部件，多少m3钢材做B部件恰好配成整套这种仪器？【分析】设应用xm3钢材做A部件，ym3钢材做B部件，再根据等量关系“共有6m3钢材”和“一个A部件和三个B部件刚好配成套”列方程组求解即可．【解答】解：设应用xm3钢材做A部件，ym3钢材做B部件，由题意得x+y=63×40x=240y解得x=4y=2刚好配成：240×2÷3＝160（套）．答：应用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，刚好配成160套．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系、列方程组是解题的关键．9．一套格栅灯具由3个圆弧灯罩和2块栅板间隔组成，均可用铝合金板冲压制成，已知1m2铝合金板可以冲压4个圆弧灯罩或12块栅板，现要用11m2铝合金板制作这种格栅灯具，应分配多少平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，多少平方米铝合金板制作栅板？恰好能配成这种格栅灯具多少套？【分析】设应分配x平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，y平方米铝合金板制作栅板，恰好能配成这种格栅灯具，由11m2铝合金板制作这种格栅灯具，一套格栅灯具由3个圆弧灯罩和2块栅板间隔组成，1m2铝合金板可以冲压4个圆弧灯罩或12块栅板，列出方程组解答即可．【解答】解：设应分配x平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，y平方米铝合金板制作栅板，由题意得x+y=114x解得：x=9y=2则4x3答：应分配9平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，2平方米铝合金板制作栅板，恰好能配成这种格栅灯具12套．【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，列出两个方程，组成方程组解决问题．10．在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个．（1）求这个班男生、女生各有多少人？（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？【分析】（1）由题意列出方程组，解方程组解可；（2）分别计算出24名男生和6名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量＝筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：（1）由题意得：x+y=50x=y−2解得：x=24y=26答：这个班有男生有24人，女生有26人；（2）男生剪筒底的数量：24×120＝2880（个），女生剪筒身的数量：26×40＝1040（个），因为一个筒身配两个筒底，2880：1040≠2：1，所以原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套，设男生应向女生支援a人，由题意得：120（24﹣a）＝（26+a）×40×2，解得：a＝4，答：原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套；男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．【点评】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程或方程组．题型三图表信息问题11．根据小亮与小丽的一段对话，求笔和笔记本的单价．【分析】设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合小丽两次购买笔和笔记本的数量及总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，依题意得：4x+5y=468x+4y=44解得：x=1.5y=8答：笔的单价为1.5元，笔记本的单价为8元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某景区游玩，如图是购买门票时，小明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题：（1）他们共去了几个成人，几个学生？（2）小明想要换哪种方式购票？该购票方式是否更合算？请通过计算说明．【分析】（1）设去了x个成人，去了y个学生，根据爸爸说的话，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）计算团体票所需费用，和400元比较即可求解．【解答】解：（1）设去了x个成人，去了y个学生，依题意得：x+y=1440x+0.5×40y=400解得：x=6y=8答：他们共去了6个成人，8个学生．（2）小明想要换团体票购票方式购票，该购票方式更合算，理由如下：若按团体票购票：16×40×0.6＝384（元），∵384＜400，∴按团体票购票更省钱．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．某校准备组织学生到潍坊进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如下表所示，二等座学生票可打7.5折．若所有人员都买一等座单程火车票，共需花费5395元；若所有人员都买二等座单程火车票，在学生享受购票折扣后，总票款为2730元．青岛北﹣潍坊票价一等座二等座83（元）52（元）（1）参加社会实践活动的老师与学生各有多少人？（2）若二等座火车票只能买到30张，则如何购票最省钱？此时总票款是多少元？【分析】（1）设参加社会实践活动的老师有x人，学生有y人，由题意：二等座学生票可打7.5折．若所有人员都买一等座单程火车票，共需花费5395元；若所有人员都买二等座单程火车票，在学生享受购票折扣后，总票款为2730元．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）由二等座学生票可打7.5折，且学生为50人，即可得出最省钱的购票方案．【解答】解：（1）设参加社会实践活动的老师有x人，学生有y人，由题意得：(x+y)×83=539552x+52×0.75y=2730解得：x=15y=50答：参加社会实践活动的老师有15人，学生有50人；（2）若二等座火车票只能买到30张，且30张二等座火车票都为学生票，则需要购买（15+50﹣30）张一等座火车票最省钱，此时总票款为：30×52×0.75+35×83＝4075（元），答：30张二等座火车票都为学生票，再购买35张一等座火车票最省钱，此时总票款为4075元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14．某校八年级（1）班和（2）班的学生一块到航天科普教育基地进行社会大课堂活动，两班学生共104人，其中（1）班学生比（2）班学生少，教育基地门票价格如下：购票张数1～50张51～100张100张以上每张票的价格12元10元8元原计划两班都以班为单位购票，则一共应付1136元，请回答下列问题：（1）八年级（1）班有多少学生？（2）你作为组织者如何购票最省钱？比原计划省多少钱？【分析】（1）根据表格中的数据和两个班人数之间的关系可以列出相应的方程组，从而可以得到八年级（1）班的人数；（2）根据表格中的数据和（1）中的结果，可知两个班一起购买最省钱，从而可以求得可以省多少钱．【解答】解：（1）设八年级（1）班有x人，则八年级（2）班有y人，∵x＜y，∴x+y=10412x+10y=1136∴x=48y=56答：八年级（1）有48人；（2）两个班一起购票最省钱，1136﹣8×104＝1136﹣832＝304（元），即可以节省304元．【点评】本