《计数应用题》参考学案2

1/61.4计数应用题学习目标利用排列组合知识，以及两个基本原理解决较综合的计数问题，逐步掌握解决计数问题的常用方法，提高应用意识和分析解决问题的能力。学习过程：一、预习：回顾：简要复习前面所学内容。解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。思考：在前面的学习中我们已经学习过几种常用的解题技巧？练习：1、高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，2名女生分别担任班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？2、2名女生、4名男生排成一排，（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）2名不相邻的不同排法共有多少种？（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）有不同排法共有多少种？3、从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的有多少个？二、课堂训练：解题方法总结：（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素。例如：用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.24B.30C.40D.60分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意即不能多减又不能少减，例如在第一种方法中，也可以用此方法解答。五个数组成三位数的全排列有个，排好后发现0不能排在首位，而且3，1不能排在末尾，这两种不合条件的排法要除去，故有30个偶数。（三）合理分类和准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例如：.五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（）A.120B.96C.78D.72（四）想邻问题——捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元素，与其它元素排列，然后再对相邻的元素内部进行排列。例如：7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余4人共有5个元素做全排列，有种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列（五）不相邻问题——插空法对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。例如：7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？（六）顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.例如：五人排队，甲在乙前面的排法有几种？（七）分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.例如：七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？（八）实验题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。例如：将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（）A.6B.9C.11D.23分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应填3。因而，第一格填2有3种方法。不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。（九）消序例如：名男生，3名女生高矮互不相等，先将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？分析：先在7个位置上任取4个位置排男生，有种排法。剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”排，只有一种排法，（十）住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例如：学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种。(十一)对应例如：在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要99场比赛。（十二）特征分析研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。例如：1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？分析数字特征：6的倍数既是2的倍数又是3的倍数。其中3的倍数又满足“各个数位上的数字之和是3的倍数”的特征。把6分成4组，（3，3），（6），（1，5），（2，4），每组的数字和都是3的倍数。因此可分成两类讨论；三、巩固练习：1、英文字母3个，4个排成一行，有种不同的排法．2、把6张不同颜色的卡片，按每人两张分给3位小朋友，不同的分法共有种．3、（1）6本不同的书分给3个学生，每人2本，有多少种不同的分法？（2）6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？（3）6本不同的书分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？4、有5本不同的书要发给三位同学，要求每人至少一本且全部发完，问共有多少种发法？5、有翻译8人，其中6人会英语，5人会日语，现从中选4人，其中2人翻译英语，2人翻译日语，共有多少种不同的选法？6、从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为，则等于多少？7、书架上有不同的数学书和不同的英语书共7本，现取2本数学书，1本英语书借给3位同学，每人一本，共有72种不同的借法，则数学书与英语书的本数分别为多少？8、甲、乙两校各派三名运动员、一名教练员共8人排成一列，其中教练员必须站在正中间，两校的运动员不能相邻，则所有不同的排法种数为多少?9、在200件产品中有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件是次品的抽法有多少？10、从7名男同学和5名女同学中选出3名男同学和2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理和化学课代表，不同的选法种数为多少？11、空间有6个点，除三点共线外，其它任何三点不共线，则这6个点可确定不同直线的条数是多少？12、五位同学站成一排，甲不站在正中间，乙不站在两端的不同排法有多少种？13、以三棱柱的顶点，共可组成个四面体．14、一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，…，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？