2026届陕西省铜川市高三第二次模拟考试数学试题（含答案）

参照机密级管理★启用前

铜川市2026届模拟预测(二)数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名，准考证号，

座位号填写在本试卷上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。作答非选择题时，将

答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题共58分)

一、单项选择题(本题8共小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求)

1.已知集合A={-1,0,1,2},B={i²+1,i³-1,i⁴+1},其中i为虚数单位，则A∩B=()

A.{0,2}B.{1,2}C.{-1,1}D.{0,1}

2.将棱长为1的正方体的六个面的中点相连接可以得到一个八面体，则这个八面体的体积为()

B.

A.6C.D.

3.若向量a=(4,6),b=(4,16)且a1(2a+ab),则λ的值为()

A.B.C.D.

4.已知函数f(x)的定义域为R,f(1)=0,若f(xy)-f(x)f(y)=f(x+y)-1,则下列说法正确的是()

A.f(0)=1B.

C.函数f(x+1)是奇函数D.函数f(x)+1是偶函数

5.函数图象大致为()

A.B.C.D.

6.已知双曲AB是过右焦点F且垂直于x轴的弦，若点A,B到该双曲线的同一条渐近

线的距离之和为2,则其离心率为()

B.C.D.2

A.

7.已知等比数列{an}与等差数列{bn},满足a₁a₂ag=则

铜川市2026届模拟预测(二)数学试题(第1页共4页)

A.B.C.D.

8.耀州中学的225名同学与王益中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，

重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么耀州中学的沉香和王益中学的李飞出现在同

一个队伍的概率为()

A.1.5%B.3.5%C.5.5%D.7.5%

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全

部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分)

9.已知抛物线E:y=x²的焦点为F.准线为l,过点F作斜率为k的直线与抛物线E交于A,B两点，过AB的中

点M作x轴的垂线和抛物线相交于点P,和准线l相交于点N.则()

A.准线l的方程B.抛物线E过点P的切线与AB所在直线平行

1

C.|MP|=|PN|D.存在k值，使得△OAB的面积值

10.已知数列{an}的首项a₁=3,且满人下列说法正确的有()

A.a₂=2B.数列{nan}为等差数列

C.数列{(an-1)(an+1-1)}的前n项和大于4D.数列{an·an+1}为单调递减数列

11.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<)的图象向左平移后得到函数y=g(x)的图象，若g(x)是偶函数，

则()

A.

B.函数y=f(x)的图象关于点对称

C.函上单调递增

D.函数y=g(x)-f(x)-m在[0,π]上的所有零点之和为,则m的取值范围

第Ⅱ卷(非选择题共92分)

铜川市2026届模拟预测(二)数学试题(第2页共4页)

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.假设n为正整数，如果存在一个完全平方数，使得在十进制下这个完全平方数的各数字之和为n,那

么n就记作好数，(比如7就是一个好数，因为25的各位数字之和为7)那么在1,2,3,…,2017中间

共存在好数的个数为

13.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b²-a²=(bcosA-acosB)²,且三角形ABC的周长

为5(√2+1),则该三角形面积的最大值为_·

14.我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆.在平面上过同一点P有n(n∈N+,n≥3)个共点等圆，

其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点P外无其他公共点，记这n个共点等圆共有f(n)个

交点，若f(n)=211,则n=

四、解答题：(本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应

写出数学语言说明、证明过程、演算步骤)

15.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S₃=2S₂+a₁且azn=2an+1.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设函数f(x)=x+x(1+x)+x(1+x)²+…+x(1+x)a,bn=f(1),求数列{bn}的前n项和Tn.

16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠BAC=120°,AD为∠BAC的角平分线，且AD=2.

(1)若sinB=2sinC,求a的大小；

(2)设M为BC中点，连接AM,△ABC取得最大值时，求线段AM的长度

17.小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2轮，每轮的规则如下：每轮开始时，小明和小红手

中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1张牌相互交换，交换3次后该轮结束.2

轮进行完游戏结束.

(1)记每轮游戏在交换1次后，小明手里王牌的张数为X,求X的分布列及数学期望；

(2)当n=2,k=3定义事件A为“至少有1轮结束后，小明手里的两张牌花色相同”。求事件A的概率

(3)若游戏改为仅进行1轮，交换次数k变为变量。若老师规定：若最终小明手里两张牌相同，则小明获胜并

获得奖金100元；若不同，则小红获胜并获得奖金100元。为了使游戏公平(即双方期望收益相等),交

换次数k应满足什么条件?

18.已知椭圆1)的离心率为左、右焦点分别为F₁,F₂,点M(0,√3)在椭圆上.

(1)求E的方程；

(2)已知E上一点P,且P不在x轴上，直线PF₁,PF₂与E的另一个交点分别为A,B.

铜川市2026届模拟预测(二)数学试题(第3页共4页)

(i)若点P的坐标为(,求直线AB的方程；

(ii)若PF₁=λF₁A,PF₂=μF₂B,求λ+μ的值.

19.如图所示，在直角梯形BCEF中，BFIICE,∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点，且AD//BC,ED=

2AF=4,CD=t(0<t<5),BC+CD=5,将四边形ADEF沿AD向上翻折，连接BE,BF,CE,在翻

折的过程中，设∠EDC=α(0<α<π),记几何体EFABCD的体积为V.

(1)求证：BF//平面CDE;

(2)若平面FBE1平面CBE.

①求证：BF⊥CE;

②当α取得最大值时，求V的值

铜川市2026届模拟预测(二)数学试题(第4页共4页)

铜川市2026届模拟预测(二)数学试题答案

第I卷(选择题共58分)

1234567891011

AAACDBADBCDABDBC

第Ⅱ卷(非选择题共92分)

12.89713.14.21

15.(1)设数列的公差为d,由S₃=2S₂+a₁可知a₁+a₂+a₃=2(a₂+a₁)+a₁,则az=3a₁,--------2

分

又azn=2an+1,令n=1可得az=2a₁+1,------------3分

联立解得a₁=1,az=3,则d=2,------------4分

∴an=2n-1,------------5分

(2)当x≠-1,x≠0时，f(x)=x[1+(1+x)+(1+x)²+…+(1+x)²ᵐ-1]

,当x=-1,x=0时，f(x)=(1+x)²n-1成立，,----------7分

所以f(x)=(1+x)²n-1,------------8分

f(x)=2n(1+x)²#-1,则f(1)=n·22n=n·4”,bn=n·4”-----------9分

Tn=1×4+2×4²+3×4³+…+n·4”,-----------10分

4Tn=1×4²+2×4³+…+n·4n+1,------------11分

------------12分

----------13分

16.(1)3√7;

(2)2

(1)由正弦定理得到b=2c,根据S△ABC=S△ADB+S△CDA得到方程，求出c=3,b=6,根据余弦定理得到

a²=63,求出a;

【详解】(1)因为sinB=2sinC,由正弦定理得b=2c,

因为∠BAC的角平分线交BC于点D,所以∠B分

由S△ABC=S△ADB+S△CDA,得

铜川市2026届模拟预测(二)数学试题答案第1页共5页

------------4分

即bc=2c+2b,所以c=3,b=6,

在△ABC中，由余弦定理------------6分

即a=√63=3√7;-------------7分

(2)由S△ABC=S△ADB+S△CDA,

------------9分

化简得即------------10分

------------11分

当且仅当b=c=4时等号成立，b+c取得最小值，------------12分

此时，△ABC面积-----------13分

------------14分

AM=2------------15分

17.

【详解】(1)交换1次后，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,-------------1分

,------------6分

所以随机变量X的分布列为

X012

P

随机变量X的期望1-------------8分

(2)------------10分----------12分

(3)-----------13分解得k=1----------15分

18.(1)由题知解得a²=4,b²=3,,------------2分

铜川市2026届模拟预测(二)数学试题答案第2页共5页

所以E的方程------------3分

(2)(i)因为F₁(-1,0),F₂(1,0),又,由对称性知A,,-------------4分

,所以,-------------5分

,消y并整理得到7x²-6x-13=0,解得x=-11,-----------7分

当,所以B,,-------------8分

则k所以直线AB的方程即3x-10y-12=0.,-------------10分

(ii)设P(x₀,yo)(yo≠0),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则PF₁=(-1-x₀,-yo),F₁A=(x₁+1,y₁),

又PF₁=λF₁A,则,解得,,------------12分

因为A在椭圆上，则即

则,------------13分

易知λ>0,化简得2x₀=3λ-5,则

又因为PF₂=(1-x₀,-yo),F₂B=(x₂-1,y₂),,-----------14分

又PF₂=μF₂B,则,解得

因为B在椭圆上，则,------------15分

则

易知μ>0,化简得-2xo=3μ-5,得到,-----------16分

,-----------17分

19.(1)根据题意先构建面面平行，即平面ABF//平面DCE,因为BFc平面ABF,BF女平面CDE,所以BF//

平面CDE;

铜川市2026届模拟预测(二)数学试题答案第3页共5页

(2)①过点C作CH⊥EB交EB于点H,先证明CH1平面FBE.得到BF⊥CH,再证BC1平面FAB,得到BF⊥BC,

因为BCnCH=C,则可证BF1平面BCE,进而证得BF⊥CE;

②由题意得E到底面AFB的距离为AD,设点E到DC的高EK,可证EK1平面ABCD,即点E到底面ABCD的高

为EK,在△CDE中使用等面积法可得EK=4sina,进而可使用割补法得几何体EFABCD的体积1

t)sina,取DE的中点S,连接SC,易得SC1平面BCE,即SC⊥CE,在△SDC、△ECD、△SCE中，结合勾股

定理与余弦定理，可得当且仅当t=2√2时等号成立，故当α取得最

大值时，即cosa取得最小值进而可求V的值.

(1)证明：根据题意可知AFⅡDE,ABIⅡCD,

因为AF4平面DCE,DEC平面DCE,所以AF//平面DCE,

同理，因为AB女平面DCE,DCc平面DCE,所以AB//平面DCE,------------1分

又因为AF,AB是平面ABF内的两条相交直线，所以平面ABF//平面DCE,-------------2分

因为BFc平面ABF,所以BF//平面CDE.------------3分

(2)①证明：在平面BCE内过点C作CH⊥EB交EB于点H,

因为平面FBE1平面CBE,平面FBE∩平面CBE=EB,所以CH1平面FBE.

又因为BFc平面FBE,则BF⊥CH;-----------4分

根据题意，平面图形翻折后AD1AB,AD1AF,

且AF,AB是平面FAB内两条相交直线，

所以AD1平面FAB,又BCIIAD,得BC1平面FAB.-------------5分

又BFc平面FAB,则BF⊥BC,

因为CH,BC是平面BCE内两条相交直线，所以BF1平面BCE,------------6分

因为CEc平面BCE,所以BF⊥CE.-------------7分

②直角梯形BCEF中，BFIICE,∠BCE=90°,且ADIBC,

由①可知AD1平面FAB,

由(1)可知由题意平面