2025~2026学年专题03一次函数与反比例函数数学复习卷（广东专用）（含答案）

//page12026学年专题03一次函数与反比例函数数学复习卷（广东专用）一、填空题

1.已知点在一次函数的图象上，则___________．

2.某个函数具有性质：当时，随的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式：__________．

3.在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是____________．（任意写一个符合条件的数即可）

4.如图，已知直线与都经过轴上的点，分别与轴交于，两点，且，两点关于原点对称，则直线的解析式是____________．

5.声音在某介质中传播的速度随着温度的变化而变化，若用表示声音在该介质中的传播速度，表示温度，则，满足公式：（为常数）．当时，；当时，则______________．

6.关于的方程无解，则反比例函数的图象在第_________________象限．

7.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴正半轴上和轴正半轴上，反比例函数的图象经过的中点，若矩形的面积为，则的值为____________．

8.如图，中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则____________．

9.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为___________________．

10.如图所示，中，为上一点，且．双曲线经过，两点．若．则_________________．

11.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与轴分别交于、两点，对角线在轴上，反比例函数的图象过点并交于点，连接．若，，且的面积为，则的值是____________

12.如图．已知，，是半圆的直径，是半圆弧的中点．若反比例函数的图像经过点，则______________．

13.如图，矩形的两边，在坐标轴上，且，，分别为，的中点，与交于点，且四边形的面积为，则经过点的双曲线的解析式为____________．

14.把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在轴上，斜边与轴的夹角，若，当点，同时落在反比例函数图象上时，则的值为____________．

15.如图，正方形和正方形，点在轴正半轴上，点、在轴正半轴上点在边上，点、落在反比例函数第一象限的图象上，其中点，则的长为____________．

16.如图，把一块含角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点重合，点在轴上，点在函数的图象上．把三角板绕点逆时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，此时点落在函数上的图象上，则的值为____________．

二、单选题

17.下列函数中，值随值的增大而减小的是（

）．A. B. C. D.

18.如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（

）

A. B. C. D.

19.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（

）

A. B. C. D.

20.若直线与直线关于直线对称，则、值分别为（

）A.、 B.、 C.、 D.、

21.一次函数的图象不经过的象限是（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

22.已知直线经过点，则的值等于（

）A. B. C. D.

23.如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（

）

A. B. C. D.

24.如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（

）

A. B. C. D.

25.若点，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A. B. C. D.

26.若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A. B. C. D.

27.已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为（

）A. B. C. D.无法比较大小

28.点，，都在反比例函数的图象上，则（

）A. B. C. D.

29.在反比例函数的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（

）A. B. C. D.

30.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为，当时，的取值范围是（

）

A.或 B.或 C.或 D.或

31.函数与函数在同一平面直角坐标系下的图象可能是（

）A. B.

C. D.

32.如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为，点，均在轴上，且．若的面积为，则的值为（

）

A. B. C. D.

33.如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，且，，反比例函数的图像经过点，若，，则的值是（

）

A. B. C. D.

34.如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直线翻折至，与反比例函数的图象交于点．若，为的中点，则的坐标为（

）

A. B. C. D.

35.如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点．以为对角线作正方形，点在第四象限，过点，，作弧．则图中阴影部分的面积为（

）

A. B. C. D.三、解答题

36.解不等式组：

已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式．

37.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交于点．

（1）求一次函数的表达式；（2）点是轴上一动点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图像于点，连接，若的面积为，求线段的长度．

38.如图，已知直线过点，且与直线相交于点．

（1）求直线的解析式；（2）当且时，自变量的取值范围是______；（3）若双曲线与直线相交于两点，求的面积．

39.阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题．

材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表：

气温声速

材料二：声音的频率是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是．

材料三：声音的波长是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米．声音的频率和波长与声音的传播速度（单位：）满足公式：．（1）当气温为时，声速为________；（2）根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速与气温的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；（3）目前国际通用的钢琴标准音频率为，在室温为的情况下，求钢琴标准音的波长．

40.近年来，我国在人工智能领域的发展呈现出蓬勃发展的态势，近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称）开发的大模型在全球范围内掀起了一股热潮，据悉，训练一个模型时，初始数据量为条，每增加条数据，训练时间延长分钟，假设总数据量为条，训练时间为分钟．（1）求关于的函数关系式；（2）若数据总量为条，求训练的时间；（3）若训练的时间为分钟，求使用的数据总量．

41.综合与实践

【主题】“潮汐车道”设计

【背景素材】某跨海大桥东西走向，双向四条车道，在上下班高峰期经常拥堵，交警部门统计了不同时段双向车流量（辆/分钟），发现时间和汽车流量的变化规律符合一次函数的特征，计划通过“潮汐车道（如图所示，大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向一条机动车道通行）”动态调整车道方向以缓解拥堵．

【原始数据】

时间时时时时时自东向西车流量（辆/分钟）自西向东车流量（辆/分钟）

【实践操作】

步骤：建立车流量模型：根据原始数据，分别表示与、与之间的函数关系；

步骤：交通流量分析：计算时至时每小时的车辆总流量，定义大流量方向车流量为；

步骤：潮汐车道方案设计：根据分析结果，划分需要启用“潮汐车道”的具体时段方式．

【实践探索】（1）求出与、与之间的函数关系；（2）经查阅资料得：当时需要启用“潮汐车道”以改善交通情况．该路段从时至时，如何设置“潮汐车道”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由．

42.如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

某学习小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下：

以对称轴为基准向两边各取相同的长度凳面的宽度

请你帮助小组解决下列问题：（1）已知是的函数，求出该函数关系式．（2）经研究表明，最舒适的凳面宽度为，其中是传统工艺与现代人体工学的理想折中点．现要加工一张凳面宽度为的“四脚八叉凳”，榫眼的位置怎么确定？请说明理由．

43.在气象观测实践课中，同学们利用控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高米的观测台同时上升，秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面米的空中进行了秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度（米）与气球飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）__________米/秒，__________秒；（2）求线段所在直线的函数解析式（不要求写出的取值范围）；（3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为米？（直接写出答案即可）

44.某食用油的沸点远高于水的沸点．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点，在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油在特定条件下均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：时间油温

（1）根据以上信息，判断油温（单位：）与加热的时间（单位：）可能是________函数关系（填写：“一次”或“二次”或“正比例”或“反比例”），并求出与的函数解析式；（2）当加热时，油沸腾了，求出此时的油温．

45.（综合与实践）

项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装问题．其中有一种规格的碗要装入包装盒，获得信息如下：

【信息】碗以及叠放后的尺寸如图：（单位：）

【信息】有两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：）和成本（单位：元）如图：

【问题解决】

任务个碗叠放后的总高度为（单位：），请求出与的关系式．

任务：叠放后的碗可横放，也可竖放，盒最多可放入___________个碗，盒最多可放入___________个碗．

任务．若要买盒或盒若干分装上述规格的碗个，问买这些盒子最少要多少元？

46.小云从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一小段时间后又走到文具店买了些学习用品，在文具店停留一小段时间后散步走回家．小云离家的距离与她所用的时间的关系如图所示，解答下列问题：

（1）小云家离体育场的距离为_____；（2）请求出小云第时离家的距离．

47.某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内（包含元和元），这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．设台灯售价为（元），月销售量为（个）．（1）求出在售价为元范围内（包含元和元）与的函数关系式；（2）为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？（3）商场能否实现平均每月元的销售利润？

48.年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知两地相距米，甲、乙两机器人从地同时出发，沿同一直线同向而行至地．甲机器人前秒钟以米/秒的速度行进，之后速度提升为米/秒；乙机器人始终以米/秒的速度行进．经过秒，两机器人同时到达点．

（1）求，两地之间的距离及的值；（2）分别写出前秒和后秒甲机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象；（3）求两机器人出发多长时间时相距米？

49.一次函数与反比例函数的图象都经过点，求一次函数和反比例函数的解析式．

50.如图，直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点，其中点坐标为．

（1）求反比例函数的解析式；（2）在轴上取一点，当的面积为时，求的值．（3）当时，根据图象直接写出此条件下的取值范围；

51.如图，中，，，其中，．

（1）直接写出线段的中点的坐标；（2）反比例函数的图象过点，与交于点，求的值；（3）点为中反比例函数图象上一动点(点在，之间运动，不与，重合)，过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．

52.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点的坐标为．在中，，．

（1）求和的值；（2）求点的坐标．

53.如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．

（1）求的值和反比例函数的解析式；（2）点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积．

54.矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，与交于点，．根据以下条件，分别求常数的值：

（1）若点的坐标为；（2）若四边形的面积为．

55.如图，中的，，顶点在第四象限，直角边在轴上，是斜边的中点，连接并延长交轴于点，的面积为，已知点在反比例函数的图象上．

（1）求的值；（2）如图，点是点关于直线的对称点，点在过点的射线上，且点位于第三象限内，若的面积是面积的倍，求点的坐标．

56.如图，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得．

（1）探究一：如图，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分：（2）探究二：如图，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积：（3）探究三：如图，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

57.【问题背景】

如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，若反比例函数的图象分别交，于点，．

【构建联系】（1）求证：．（2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，且，求的值．

【深入探究】（3）在的条件下，连接，，求的值．

58.【问题背景】

矩形中，，分别以所在直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．

【构建联系】（1）请连接，则＝______，＝______，与的位置关系为______；（2）当为何值时，以为直径的圆与相切；

【深入探究】（3）在的条件下，点为线段上一动点（包含端点），连接，以线段为边，在所在的直线的右上方作等边，当动点从点运动到点时，点也随之运动，请求出点到点运动路径的最短距离．

59.如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，是边上的一个动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接．

（1）如图，若点是的中点，求点的坐标；（2）如图，若直线与轴、轴分别交于点，点，过作轴交于点，过作轴交于点，与交于点，连接，求证：；（3）如图，将沿折叠，点关于的对称点为点，当点落在矩形内部时，求的取值范围．

60.如图，直线与反比例函数的图象在第一、三象限交于点，，与轴、轴分别交于点，，过点作轴于点，为轴上一点，直线与直线关于直线对称．

（1）若，，点的横坐标为，求反比例函数的解析式．（2）在的条件下，设抛物线的顶点为点，在平面直角坐标系中是否存在点，使最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图，过点作轴交于点，过点作于点，连接．若为定值，求证：的面积为定值．

61.如图，已知反比例函数，点，在轴正半轴上（点在点的左侧），过点，分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点，，连接．

（1）填空：_______；（2）求证：；（3）如图，直线交于点，交延长线于点．点在线段上．

①若点是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值；

②如图，连接．试判断的形状，并说明理由．

62.如图，菱形的边在平面直角坐标系中的轴上，点，点是菱形的边的中点，反比例函数经过点．

（1）求反比例函数的表达式；（2）点为图像上的一动点，过点做轴于点，若点使得和相似，求点的坐标；（3）如图，点在上，连接，，点是线段上的动点，连接，作关于直线的轴对称图形，作的外接圆，当的圆心在菱形上或内部时，求的半径的取值范围．

63.某智能空调的制冷功率（单位：瓦特）与用户设定的温度（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数的取值范围应为（

）A. B. C. D.

64.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（

）

A. B. C. D.

65.反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（

）

．．

．．

66.近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间是反比例函数关系（其中，均为正数），当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距为米．则配制一副度数小于度的近视眼镜，镜片焦距的取值范围是（

）A. B. C. D.

67.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．则表格中_________________．．．．．

68.密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，点在图象上，当时，气体的密度________________．

69.电学中，串联电路电压（伏特）一定时，电流（安培）和电阻（欧姆）成反比例函数关系，当安培时，欧姆，则电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数关系是____________．

70.某数学兴趣小组用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和，当动力臂由增加到时，撬动这块石头可以节省_______________的力．

71.根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压（单位：）一定时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，．

（1）求电流关于电阻的函数关系式；（2）若，求电阻的变化范围．

72.电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率的部分对应值如下表：频率波长

（1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式．（2）当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？

73.如图，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点最长为，在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值如图表所示．

（1）由表格中数据判断与之间是什么函数，并求关于的函数表达式．（2）当的长度为时，求弹簧秤的示数．（3）李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由．

74.综合与实践-项目式学习

【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界．

【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．

【项目素材】

素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点．

素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系：

【项目任务】根据项目素材解决问题：

任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值．

任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为时，测量物体的成像的高度为．（1）请你利用所学的知识求出与的关系式．（2）当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）．

75.某款三明治机制作三明治的工作原理如下：

①预热阶段：开机分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系；

②操作阶段：操作分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题：

（1）预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机分钟时，温度为____；（2）当时，求机器温度与时间的函数关系式；（3）求三明治机工作温度在以上持续时间．

76.某商户购进苹果千克，为寻求合适的销售价格，进行了天试销，

试销情况如下：

第天第天第天第天第天售价（元/千克）销售量（千克）（1）根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）;（2）若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足中的函数关系．在试销天后，该商户决定将这批苹果的售价定为元/千克，但销售天后，该商户为清空库存，计划用不超过天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面天都按新的售价销售且能如期全部售完？

参考答案与试题解析2025-2026学年专题03一次函数与反比例函数数学复习卷（广东专用）一、填空题1.【答案】【解析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．把点代入一次函数解析式，列出关于的方程，通过解方程来求的值．【解答】解：点在一次函数的图象上，

解得：

故答案为：．2.【答案】（答案不唯一）【解析】本题考查了函数的性质，掌握所学的反比例函数、一次函数或二次函数的性质是解题的关键；根据函数的性质写出一个反比例函数、一次函数或二次函数即可．【解答】解：根据题意有：．

故答案为：（答案不唯一）．3.【答案】（答案不唯一）【解析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数增减性与系数的关系是解题关键．根据随的增大而减小，得出，即可作答．【解答】解：在一次函数中，随的增大而减小，

则，

即，

则的值可以是，

故答案为：．4.【答案】【解析】本题考查了待定系数法与一次函数，掌握待定系数法是解题的关键．一次函数的性质；关于原点对称的点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题．【解答】解：当时，，

解得：，

当时，，

，，

，

把代入，则，

把代入，

，

解得：，

直线的解析式为，

故答案为：．5.【答案】【解析】将，代入，求出的值，从而得到公式的具体形式，再求出对应的的值即可．

本题考查一次函数的应用，掌握代入自变量的值求函数值的方法是解题的关键．【解答】解：将，代入，

得，

解得，

，满足的公式为，

当时，．

故答案为：

6.【答案】三【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得，再判断反比例函数图象所在象限即可．【解答】解：关于的方程无解，

，

解得：，

反比例函数图象在第一，三象限，

故答案为：一，三．7.【答案】【解析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质．设点，则，根据矩形的面积为，得出，即可得出答案．【解答】解：点是的中点，四边形是矩形，

设点，则，

矩形的面积为，

解得：，

故答案为：．8.【答案】【解析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．

过点作轴于点，过点作轴于点，得到，，证明，得到，得出，得到，即可得到答案．【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

点分别在反比例函数与的图象上，

，，

，

，，

，

，

，

，

，

故答案为：．9.【答案】【解析】本题考查反比例函数的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，根据点的坐标，求出，结合，得到，即可求出，再求出直线的解析式为，设，代入，求出的值即可．【解答】解：点的坐标为，

，

，

，

，

，

，

，

，

设直线的解析式为，则，

，

直线的解析式为，

设，

代入，得：，即，

解得或（舍去），

，

故答案为：．10.【答案】【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．

过点作轴，过点作轴，垂足为，则，可得，由双曲线经过，两点，得到，设，可求直线，继而得到，那么，即可求解．【解答】解：过点作轴，过点作轴，垂足为，

，

，

，

，

，

，

双曲线经过，两点．

，

，

设，

设直线，

，

解得：，

直线，

当，则，

解得：，

，

，

解得：，

故答案为：．11.【答案】【解析】过点作轴于点，轴于点，设点，则，，可得，，再由，，可得到，，从而得到，进而得到，继而，再由平行四边形的性质，可得，从而得到，再由，即可求解．本题主要考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【解答】解：如图，过点作轴于点，轴于点，

，轴，

设点，则

，，

，

，，

，，，

，

点、在反比例函数的图象上，

，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，即，

，

，

，

解得：，

．

故答案为：

12.【答案】【解析】本题主要考查了求反比例函数解析式、解直角三角形、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．设半圆圆心为，连接，过作于，交于，首先解得的值，进而可得，由三角函数的定义可得，，证明，利用三角形函数解得、的值，易得，然后利用待定系数法求解即可．【解答】解：设半圆圆心为，连接，过作于，交于，如图，

，，

，

，，

，，

为半圆的中点，

，

又，

，

中，，

，解得，

，

，

中，，

，

，

，

，

，

，

把代入，得．

故答案为：13.【答案】【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，反比例函数的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．

过作，交于，过作于，设，，由题意可知：，，，，证明，，，然后根据相似三角形的性质和解方程求出点坐标即可．【解答】解：过作，交于，过作于，

设，，

由题意可知：，，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，即，

，，

，

，

，

，

，

（负值已舍去）

，，

的坐标为，

，

经过的双曲线的解析式就是，

故答案为：．14.【答案】【解析】本题考查反比例函数的图象与性质，解直角三角形，数形结合，求出反比例函数图像上点的坐标是解决问题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，解直角三角形求出、、、，设，则，利用反比例函数图像与性质列方程求解得到，进而得到，即可得到答案．【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

在中，，，

，

，

，，，

，，

，

设，则，

，

解得：，

，

，

故答案为：．

15.【答案】【解析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正方形的性质，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，求出的值，再利用勾股定理进行求解即可．【解答】解：正方形，，

轴，

，

正方形，

设，

，

，

点、落在反比例函数第一象限的图象上，

，

解得：或（舍去）；

，

，

；

故答案为：．16.【答案】【解析】本题主要考查反比例函数与几何综合，作于点，设则得，代入，求出过点作直线轴，垂足为点，作于点，证明作轴于点得设，求出，设，求得，得，故可求出的值．【解答】解：作于点，

是等腰直角三角形，

，

设则，

，

点在上，

，

，

，

，

，

，

过点作直线轴，垂足为点，作于点，

，

，

，

又，

，

，

作轴于点，

点在上，

，

设，

，

，

，

，，

且，

，

解得，，

，

设，

，

，

，

同理可得，

由①②得，

，

，

故答案为：．二、单选题17.【答案】D【解析】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键．【解答】解：、，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故本选项不符合题意；

、，在每一象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意；

、，，随的增大而增大，故本选项不符合题意；

、，，，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意；

故选：．18.【答案】C【解析】本题考查图象法求不等式的解集．利用图象法求不等式的解集即可．【解答】解：由图象可知：时，直线不在直线的下方，

的解集为；

故选：．19.【答案】B【解析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标，先求出点的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解．【解答】解：根据题意得：点的纵坐标为，

把代入，得：，

解得：，

点的坐标为，

一次函数与的图象相交于点，

关于的方程的解是．

故选：．20.【答案】A【解析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于直线的对称点，然后利用待定系数法即可求解．【解答】解：直线与轴的交点为，与轴的交点为；

点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，

把点、代入，

得：，

解得：，，

故选：．21.【答案】D【解析】本题主要考查了一次函数图像的性质，掌握系数，与一次函数图像的位置是解题的关键．

根据系数判断一次函数经过的象限，即可得出答案．【解答】解：一次函数中，，，

该函数图像经过一，二，三象限，

一次函数不经过第四象限．

故选：．22.【答案】D【解析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，属于基础题型，掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．

把点代入函数解析式求解即可．【解答】解：直线经过点，

，解得：；

故选：．23.【答案】B【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式，由题意可得，延长交轴于点，证明，得出，即，再利用待定系数法求解即可．【解答】解：，

，

如图，延长交轴于点，

由题意可得：，

，，

，

，

，

将代入得：，

解得：，

故选：．24.【答案】A【解析】本题考查一次函数与不等式，先求出的值，根据图象法求出不等式的解集即可．【解答】解：把代入，得：，

，

，

，

由图象可知：；

故选．25.【答案】B【解析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键．

根据所给反比例函数解析式，结合反比例函数的性质即可解决问题．【解答】解：因为反比例函数解析式为，,

所以反比例函数位于第一、三象限，且在每个象限内的增大而减小．

又因为点，，，且，

所以，，

所以．

故选：．26.【答案】C【解析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【解答】解：中，，

反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内的增大而减小，

，，都在函数图象上，，

，

，

故选：．27.【答案】A【解析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键；

根据反比例函数的图象和性质可得：反比例函数在二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，进而求解.【解答】解：，

反比例函数在二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，

，

；

故选：28.【答案】D【解析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，根据解析式可判断函数经过的象限，以及每个象限内的增减性，据此可得答案．【解答】解：反比例函数解析式为，，

反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大，

点，，都在反比例函数的图象上，且，

，

故选：．29.【答案】D【解析】本题主要考查了判断反比例函数图象所在象限，判断反比例函数的增减性等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．

先根据反比例函数的解析式判断函数图象所在的象限，再根据其增减性解答即可．【解答】解：反比例函数的解析式为，其中，

反比例函数的图象位于二、四象限，

，，在反比例函数的图象上，

，在第二象限，

又，

，

又在第四象限，

，

，

故选：．30.【答案】B【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．根据反比例函数与一次函数的交点问题解答本题即可．【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为，

点的横坐标为．

根据函数图象可知：当时，的取值范围是或．

故选：31.【答案】B【解析】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键．

分和两种情况讨论，然后根据一次函数和反比例函数所经过的象限逐一判断即可．【解答】解：当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，无符合的图象；

当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合此种条件的图象只有选项，

故选：．32.【答案】D【解析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．

将点的纵坐标代入反比例函数解析式求出，再由建立方程求解即可．【解答】解：是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为，

，

，

，

，

解得：，

故选：．33.【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，的计算，求得点的坐标是解题的关键．【解答】解：，，

四边形是平行四边形，

四边形是矩形，，，

，

，

四边形是菱形；

连接，交于，如图所示：

四边形是菱形，

与互相垂直平分，

，，

，

点到原点的距离为，

点坐标为：．

反比例函数的图像经过点，

，

故选：．

34.【答案】B【解析】本题考查了等腰三角形的性质，折叠性质，解直角三角形，反比例函数的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．

过点作轴于点，由等腰三角形的性质可得，，由折叠性质可知：，从而可证明三点共线，设，则，，所以，，再求出，代入，得出的值即可求解．【解答】解：如图，过点作轴于点，

是等腰三角形，

，

，

，，

由折叠性质可知：，

，，

，

三点共线，

设，

，，

，，

为的中点，

，

，

，

点在的图象，

，

解得：（负值已舍去），

，

故选：．35.【答案】A【解析】由反比例函数的图象经过点，求得反比例函数的表达式为；根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为；设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：反比例函数的图象经过点，

，

反比例函数的表达式为；

四边形是正方形，为对角线，，

点是四边形的中心，

连接，

，

，为所在圆的直径，

所对圆心角的度数为，

，

，

所在圆的半径为；

设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，

，，

，

，

弓形的面积扇形的面积三角形的面积，

图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积．

故选：．三、解答题36.【答案】；【解析】本题考查解一元一次不等式组、求一次函数解析式，正确求解是解答的关键．

先求得每个不等式的解集，再求得公共部分即可求解；

将图象经过的两个点坐标代入函数表达式求解即可．【解答】解：解不等式①，得，

解不等式②，得，

不等式组的解集为；

一次函数的图象经过点与点，

代入解析式得：，

解得：，

一次函数的解析式为：．37.【答案】【解析】（1）点代入，可得点的坐标，再把点，得坐标代入，即可求解；（2）设点的坐标为，则，可得点的坐标为，点的坐标为，从而得到，然后根据的面积为，列出关于的方程，即可求解．【解答】（1）解：把点代入，得：

，解得：，

点，

把点，代入，得：

，

解得：，

一次函数的表达式为；（2）解：设点的坐标为，则，

轴于点，

点的坐标为，点的坐标为，

，

的面积为，，

，

解得：或（舍去），

．38.【答案】【解析】（1）本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，一次函数与不等式，掌握知识点的应用是解题的关键．

先求出，然后利用待定系数法即可求解；

由题意得，然后解出不等式组即可；

联立方程组，求出另一个交点的坐标为，作轴于点，轴于点，然后通过即可求解．【解答】（1）解：把代入得，，

，

把和点代入，

得，

解得，

直线的解析式为；（2）解：且，

，

解得：，

故答案为：；（3）解：联立方程组，得，

解得（舍去）或，

另一个交点的坐标为，

如图，作轴于点，轴于点，

，，，，

．39.【答案】选择一次函数，【解析】（1）根据表格信息即可求解；（2）根据题意，设声速与气温的函数关系为，把代入，运用待定系数法即可求解；（3）根据题意，当室温为的情况时，，再根据即可求解．【解答】（1）解：根据题意，当气温为时，声速为，

故答案为：；（2）解：根据表格信息，声速随着气温的增大而增大，

选择一次函数，

设声速与气温的函数关系为，把代入，

，

解得，，

声速与气温的函数关系为，

当时，，符合题意；（3）解：由可知声速与气温的函数关系为，

室温为时，，

声音的频率和波长与声音的传播速度（单位：）满足公式：，

，

钢琴标准音的波长约为．40.【答案】若数据总量为条，训练的时间为分钟若训练的时间为分钟，使用的数据总量为条【解析】（1）根据每增加条数据，训练时间延长分钟求出关于的函数关系式即可；（2）将代入表达式求解即可；（3）将代入表达式求解即可．【解答】（1）解：依题意得：；（2）解：当时，（分钟）．

答：若数据总量为条，训练的时间为分钟；（3）解：当时，，

解得：．

答：若训练的时间为分钟，使用的数据总量为条．41.【答案】；时到时，可变车道的方向设置为自西向东；时到时，可变车道的方向设置为自东向西【解析】（1）根据表格，易得示与、与之间均为一次函数关系，设出关系式，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出，分别求出，时的范围，进而设置“潮汐车道”通行方式即可．【解答】（1）解：设、为常数，且，

将，和，代入得：

，解得：，

；

设、为常数，且，

将，和，代入得：

，解得：，

；（2），

当时，即：，解得：，

当时，即：，解得：，

时到时，可变车道的方向设置为自西向东；

时到时，可变车道的方向设置为自动向西．42.【答案】榫眼的位置为对称轴两侧处【解析】（1）根据题意得到的变化是匀速的，判断是一次函数，采用待定系数法求解即可；（2）把代入函数关系式，求解即可．【解答】（1）解：由表格可得，每增加，增加，是一个匀速变化的过程，因此是的一次函数．

设该函数关系式为，

当时，；当时，，

，解得，

该函数的解析式为．（2）解：当凳面宽度为，即时，

，

解得，

榫眼的位置为对称轴两侧处．43.【答案】；秒或秒【解析】（1）根据图形计算即可求解；（2）先求得气球乙匀速从米到米所用时间为秒，得到，利用待定系数法即可求解；（3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解．【解答】（1）解：由题意得气球甲的速度为（米/秒），

（秒)．

故答案为：，；（2）解：由图象知，，

气球乙的速度为（米秒），

气球乙匀速从米到米所用时间为（秒），

（秒），

，

设线段所在直线的函数解析式为，

将，代入得：，

解得，

线段所在直线的函数解析式为；（3）解：如图所示：

由题意，，

设直线所在直线的解析式为，

，解得

线段所在直线的函数解析式为，

设线段所在直线的函数解析式为，

把，代入，得

，解得，

线段所在直线的函数解析式为；

线段所在直线的函数解析式为，

当时，由题意得，

解得或（舍去）；

当时，由题意得，

解得（舍去）或，

当时，由题意得，

解得（舍去）或（舍去），

综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为米．44.【答案】一次；【解析】（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可，并运用待定系数法求解即可；（2）把代入函数关系式，求出函数值即可．【解答】（1）解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高，故可知可能是一次函数关系；

设这个一次函数的解析式为

当时，；当时，；

关于的函数解析式为；（2）解：当时，

答：当加热时，油沸腾了，此时的油温为．45.【答案】任务；

任务盒最多可放入个碗，盒最多可放入个碗；

任务元【解析】此题考查了一次函数的应用，不等式的解等知识，根据题意正确列出方程组和不等式是关键．

任务：利用待定系数法求出函数解析式即可；

任务：根据题意进行解答即可；

任务：设盒个，盒个，据题意可得：，进一步分析进行解答即可【解答】解：任务：设关系式为：，

将代入上式得：

解得：

则；

任务：叠放后的碗可横放，也可竖放，盒最多可放入个碗，盒最多可放入个碗．

任务：设盒个，盒个，据题意可得：

，为正整数且尽可能小，故方案有种，分别为、、、、、、、、、

经计算买盒花费最少的方案是：

最少要（元）46.【答案】；小云第时离家的距离时．【解析】（1）观察图象可得小云家离体育场的距离；（2）当时，设，取，代入即可取得的的值，则可以得到相应的函数解析式，再把代入即可解答．【解答】（1）解：由题意得：小云家离体育场的距离为，

故答案为：；（2）解：设从第到第这段时间，小云离家的距离与她所用时间的解析式为，则有：，解得：．

所以，解析式为

当时，．

答：小云第时离家的距离时．47.【答案】这种台灯的售价应定为元商场不能实现平均每月元的销售利润【解析】（1）根据售价上涨金额与销售量减少的关系，由原销售量列出并化简即可解答．（2）依据“利润（售价进价）销售量”，代入售价、进价，量，列出方程，解方程，据售价元的范围，舍去不合题意的解，确定售价．（3）依“利润（售价进价）

销售量润”列方程，整理方程为，计算判别式，判定方程无解，得出不能实现的结论．【解答】（1）解：设台灯售价为（元），月销售量为（个）

这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个，

这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个，列方程得

．（2）解：依题意，得：

，

整理，得：．

解得：，（不合题意，舍去）．

答：这种台灯的售价应定为元（3）解：依题意，得：

，

整理，得：．

，

方程无解．

商场不能实现平均每月元的销售利润．48.【答案】的值为，的值为，图象见解析两机器人出发秒或秒时相距米【解析】（1）根据路程速度时间求出乙在秒内的行程，即，两地之间的距离的值，根据“甲机器人前秒钟的行程后秒的行程，两地之间的距离”列关于的方程并求解即可求得的值；（2）根据路程速度时间分别写出前秒和后秒甲机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象即可；（3）根据路程速度时间写出乙机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式，再根据图象、按照不同的取值范围列关于的方程并求解即可．【解答】（1）解：，两地之间的距离（米），

根据题意，得，

解得，

，两地之间的距离的值为，的值为

（2）解：前秒时，，

当时，，

则后秒时，，

前秒和后秒甲机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式为，

其图象如图所示：

（3）解：乙机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式为，

当时，得，

解得，

当时，得，

解得，

两机器人出发秒或秒时相距米．49.【答案】，【解析】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式，利用待定系数法求解即可，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．【解答】解：反比例函数的图象经过点，

．

反比例函数的解析式为．

一次函数的图象经过点，

，

解得．

一次函数的解析式为．50.【答案】反比例函数解析式为；或；的取值范围为或．【解析】（1）分别求出点的坐标，再结合，得出点的坐标为，再把点的坐标代入，进行计算，即可作答．（2）因为直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点，则，解得，得出，结合的面积为，列式计算，即可作答；（3）由，，运用数形结合思想，即可作答．【解答】（1）解：在直线中，当时，，

点的坐标为，

当时，，

解得：，

点的坐标为，

当时，，

点的坐标为，

将点的坐标代入反比例函数解析式得：，

反比例函数解析式为；（2）解：直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点，

，

得或，

，

，，

，

，

解得或；（3）解：，，

观察图象可得：当时，的取值范围为或．51.【答案】最大值是，此时【解析】（1）先求出的坐标，再用中点坐标公式求解即可；（2）将代入即可的解；（3）延长交轴于点，交于点．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可．【解答】（1）解：，，

．

又，

．

，

点．

又线段的中点是点，，

；（2）解：将代入，得．（3）解：延长交轴于点，交于点．

，，

．

轴，

，．

，

，

，

．

设点的坐标为，，则，．

．

．

当时，有最大值，此时．52.【答案】，；【解析】（1）把代入，求出的值，待定系数法求出的值；（2）作轴，作轴，证明，即可得出结果．【解答】（1）解：把代入，得：；

把代入，得：；（2）作轴，作轴，则：，

，

，

，

，

，，

，，

，，

．53.【答案】；或【解析】（1）先求出的值，利用待定系数法即可求解；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况讨论即可．【解答】（1）解：直线经过点

反比例函数经过

反比例函数的解析式为；（2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，

令，解得：，

，

，，

，，

，

，

，

，即，

①点在线段上，

，

，

，

，

，

与重合，如图，

点在轴上，即点为与轴交点重合，

将代入，则，

，

在反比例函数中，当时，，

，

，

②点在线段的延长线上，

同理得：，，

，

在反比例函数中，当时，，

，

，

综上所述，或

54.【答案】【解析】（1）过点作，则，则，由相似三角形的性质求出点的坐标为，再利用待定系数法求解即可；（2）设点的坐标为，由可得点的坐标为，求出，且点的坐标为，点的坐标为，结合计算即可得解．【解答】（1）解：过点作，则，

，

，

点的坐标为，

，

，，即点的坐标为，

点在反比例函数的图象上，

，即有．（2）解：设点的坐标为，

由可得点的坐标为，

于是，即，

且点的坐标为，点的坐标为，

因此，

，

依题意，，

解得：．55.【答案】【解析】（1）根据题意得到，得到，然后利用代入求解即可；（2）首先求出，然后得出，根据题意得到，如图，过点作，垂足为，交轴于点，得到，进而求解即可．【解答】（1）解：由题意，是斜边的中点

在中，，且

，

点在第四象限

点在反比例函数的图象上

；（2）由题意，点是点关于直线的对称点

把代入，得

在射线的反向延长线上，即，，均在直线上

点是点关于直线的对称点

轴

的面积是面积的倍

如图，过点作，垂足为，交轴于点

，

点的横坐标为

点在直线上

点的坐标为．56.【答案】见解析【解析】（1）本题考查了反比例函数的性质以及正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据，利用表示出的长度，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长是解本题的关键．

探究一：证明平分可转化为证明，即证明是的中点即可，根据、的坐标满足函数的解析式即可证得；

探究二：证明四边形是正方形，证，即可求得，则和的比值是，则可利用的长表示出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得的长，则面积即可求解；

探究三：首先解方程组求得的坐标，作于点，则，利用表示出的长度，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长，即可求得，求得的长，则的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标．【解答】（1）解：探究一：证明：，，

的坐标是，

的坐标是：，

在线上，

，

又的横坐标是，把代入，则，

是的中点，即，

又，

，

在的平分线上，即平分；（2）探究二：解：设正方形的边长是，则，，

则的坐标是：，的坐标是，

则，

．

四边形是正方形．

，，

，

又，

，

，

又平分，

，

，

设，则，

的坐标是，

代入得：，

，

正方形的面积是；（3）解：根据题意得：

解得：或舍去，

则的坐标是．

的横坐标是，则的横坐标是，则，

在中，当时，

，，

如图所示，作于点．

折叠

又

则，

解得：，

在中，，

则，

，

，

把代入中得：，

．57.【答案】证明见解析【解析】（1）根据正方形的性质和反比例函数的性质，即可解答；（2）过点作轴于点，交于点，证明，由相似三角形的性质列方程，即可解答；（3）过点作于点，过点作于点，求得的长，即可解答．【解答】（1）解：证明：设点，，

点，都在正方形上，

，且，

，即．（2）如图，过点作轴于点，交于点，

四边形是正方形，，

，，

，

根据折叠的性质可得，，，

，

轴，

，

，

，

，．

，

，

解得，

点．

把点代入，解得；（3）如图，过点作于点，过点作于点，

，

则四边形为矩形，

由，可知，，，，，

，

，，

，

，

．58.【答案】，，．【解析】（1）连接，由题意设点，得出，进一步得出，并根据三角函数定义得出，进一步分析即可得出答案；（2）由题意分别过的中点，即圆心，以及点作,分别交于点，在中，由勾股定理得，并根据，列出，从而得出答案；（3）由题意将绕点逆时针旋转得到，所在直线为点的运动路径，由点到直线的垂线段最短可得，点到点运动路径的最短距离为的长度，随后进行分析求解即可．【解答】（1）解：连接，由题意设点，

点在反比例函数上，

，

四边形是矩形，

，

，

在中，，

在中，，

，

，

．

故答案为：，，；（2）如图当以为直径的圆与相切，分别过的中点，即圆心，以及点作，分别交于点，

由切线性质可得以为直径的圆与相切时，，

由设点，，，

在中，由勾股定理得，

，

，

，

，

，

，

，

，

，解得，

，以为直径的圆与相切；（3）由题意将绕点逆时针旋转得到，如图，

可知动点从点运动到点时，点从点运动到点，

即所在直线为点的运动路径，由点到直线的垂线段最短可得，

点到点运动路径的最短距离为的长度，

由知，

即点到点运动路径的最短距离为．59.【答案】详见解析【解析】（1）由是的中点，求出，进而求解；（2）证明，即可求解；（3）当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大；若点与点重合，则，即可求解．【解答】（1）解：如图，

四边形是拒形，

轴，轴，

，是的中点，

，

双曲线经过点，

，

，

当时，，

点的坐标为．（2）证明：如图，

点、点都在双曲线上，

、，，

，，，

轴，轴

四边形是矩形

，

，

又

；（3）解：如图，连接、交于点，交于点，

，

随的增大而增大，

当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大，

垂直平分，，

，

，且

，

解得：，

则点，

则．

若点与点重合，则，

的取值范围是．60.【答案】存在，见解析【解析】（1）先求出，，得出，证明．得出，根据，点的横坐标为，求出，得出，即可得出答案；（2）由得，，，，求出抛物线的顶点的坐标为，得出点是直线上一点．证明，作点关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点，连接，此时最大，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．联立，求出点的坐标为．（3）求出，，得出，，证明四边形是矩形，得出．根据，得出，即，设，则，根据点在反比例函数的图象上，得出，根据即可证明结论．【解答】（1）解：当时，直线的解析式为，

把代入得，

把代入得，

解得：，

，，

，

轴，

，

又，

．

，

，点的横坐标为，

，

，

将代入，得，

解得：，

反比例函数的解析式为．（2）解：存在点，使最大．

由得，，，，

直线与直线关于直线对称，

，

，

抛物线的顶点的坐标为，

点是直线上一点．

把代入得：，

解得：，

在直线，

把代入得：，

，

，，，

，

为直角三角形，，

，

作点关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点，连接，如图所示：

根据轴对称可知，，

，

此时最大，

直线，

点在直线上，且，

根据中点坐标可知：点的坐标为，

设直线的解析式为，

将，代入，得，

解得，

直线的解析式为．

联立，

解得，

点的坐标为．（3）证明：把代入得：，

把代入得：，解得：，

，，

，，

轴，，轴，

四边形是矩形，

又直线与直线关于直线对称，

．

根据解析可知：，

，

，

设，则，

，

点在反比例函数的图象上，

，

．

即若为定值，则的面积为定值．61.【答案】见解析①；②直角三角形，见解析【解析】（1）根据的几何意义和三角形面积公式即得；（2）根据，，即得；（3）①设点，，得，得，解得，得点，点得直线的解析式为：，得，由，得四边形为平行四边形，②设点，则点，得，得，同理，设点，则点，设直线交轴于点，连接，得点，轴，得可得，得，是直角三角形．【解答】（1）解：；

故答案为：；（2）证明：点，在反比例上，

，

，

，

（3）解：①设点．

是线段的中点，

．

点在反比例上，

．

．

解得．

点在点的左侧，

．

点，点．

设直线的解析式为，

．

解得：．

直线的解析式为．

，

．

轴，轴，

．

四边形为平行四边形．

由得：，点，点，

．

②是直角三角形，理由如下：

设点，

则点．

．

，

．

．

．

同理，设点，

则点．

，．

．

．

设直线交轴于点，连接．

令，则．

点．

点，

轴．

．

．

，

．

，

．

．

，

．

是直角三角形．62.【答案】或【解析】（1）根据中点坐标公式得出，代入反比例函数解析式，即可求解；（2）根据题意，当和相似，则或，则或，设，代入进行计算即可求解；（3）根据题意得出是等腰直角三角形，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作轴，证明在直线上运动，进而求得根据题意分别求得最小值与最大值，即可求解．【解答】（1）解：点，点是菱形的边的中点，

反比例函数经过点．

；（2）如图，

，

四边形是菱形，

点，点

，

当和相似，则或

或

设，

或

解得：（舍去）或或或（舍去）

当时，，当时，

或（3）解：

是等腰直角三角形，

如图，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作轴，