广东省清远市清城区2026年中考二模数学试题附答案

中考二模数学试题一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．的相反数是（）A． B．2025 C． D．2．下列图形是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．截止至2024年12月底，广东清远市的常住人口约为397万人，397万用科学记数法表示为（）A． B． C． D．4．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（）A． B． C． D．5．下列式子计算正确的是（）A． B．C． D．6．如图，直线，直线与直线分别相交于点和，，垂足为点，若，则的度数是（）A． B． C． D．7．对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（）A．函数图象经过第一、二、三象限B．函数图象经过点C．函数图象与y轴的交点坐标为D．y随x的增大而减小8．如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为（）A． B． C． D．9．如图，在矩形中，，，交于点，交于点，则线段的长是（）A． B． C． D．10．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11．9的算术平方根是．12．．13．点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为．14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为（结果保留根号）．15．在数学课上，某同学用一张如图所示的长方形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形，围成一个圆锥模型，若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径，则此圆锥的高为．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）16．基本概念与代数推理：（1）若两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，则括号里面可填______；（2）请说明，不管取何值，二次根式有意义．17．为了贯彻落实“阳光2小时”，清远某学校准备一次性购买若干个足球和篮球，已知用900元购买足球的数量是用600元购买篮球数量的2倍，且篮球的单价比足球多30元，求足球与篮球的单价．18．如图，在中，点E为中点，交于点D．（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）试判断（1）中得到的四边形的形状，并说明理由．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19．“国家喊你该减肥了”，国家卫生健康委联合民政部等部门启动实施了“体重管理年”行动.某社区积极响应，安装了两款健身器材，方便居民健身活动，并对两款健身器材进行了满意度测评，社区工作人员从居民对两款健身器材的满意度评分中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析．（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，单位：分）抽取的对款健身器材的评分数据中“满意”包含的所有数据：，，，，，；抽取的对B款健身器材的评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．抽取的对款健身器材的满意度评分统计表健身器材平均数中位数众数“非常满意”所占百分比根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：______；（2）若有名居民对款健身器材进行评分，请你估计“满意”的有多少人；（3）社区甲乙两人进行健身活动，用列表或树状图求甲选器材乙选器材的概率．20．如图，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．（1）求，的值，并求反比例函数的解析式；（2）设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标．21．综合与实践【主题】自制环保笔筒【素材】如图，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶．【实践操作】步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸；步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面；步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面；步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒．【实践探索】（1）求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留）（2）如3图，如果想要绳子缠绕笔筒圈，正好从点绕到正上方的点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号）五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）22．抛物线与x轴交于A，两点（A在B的左侧），与y轴交于点．点P在抛物线上，连接．（1）求抛物线的解析式；（2）如1图，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，若，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；（3）如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标．23．如1图，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．（1）观察猜想：1图中，数线段与的量关系是______，位置关系是______；（2）探究证明：如2图在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．把绕点逆时针方向旋转到3图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：在（2）的基础上，把绕点在平面内自由旋转，若，，请你求出周长的最大值．

答案1．【答案】B【解析】【解答】解：的相反数是，故答案为：B。

【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数，称为相反数。据此即可求解。2．【答案】D【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意；故答案为：D。【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，据此即可判断3．【答案】C【解析】【解答】解：397万．故答案为：C。

【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数，据此即可求解4．【答案】A【解析】【解答】解：解不等式：去括号得移项得系数化为1得在数轴上表示为右边的部分（不包括），故答案为：A。【分析】先求出不等式的解集，然后根据在表示解集时，要用实心圆点表示，要用空心圆点表示，据此即可求解。5．【答案】C【解析】【解答】解：A.，故该选项不符合题意；B.，故该选项不符合题意；C.，故该选项符合题意；D.，故该选项不符合题意；故答案为：C。【分析】根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，然后再逐一对各个选项进行分析，即可求解6．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，直线交于点，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：C。【分析】根据直线交于点A，可得，根据平行线的性质以及垂直的定义，可得，，即，由此即可求解。7．【答案】D【解析】【解答】解：对于一次函数，∵，，∴函数图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，故A正确，D错误，当时，，即函数图象经过点，故B正确，当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，故C正确，故答案为：D。【分析】根据一次函数图象的性质，确定函数经过的象限；令y=0，求出x的值，即可求出函数经过的定点坐标；令x=0，求出y的值，即可求出交点坐标；根据一次函数的K值，据此即可求解8．【答案】C【解析】【解答】解：由题意，得：，∴，∴斜坡的坡度为；故答案为：C。【分析】根据勾股定理求出的长，根据斜坡的坡度等于的值，然后再根据正切函数的定义，对AB进行求解即可。9．【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：。【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得，再根据，代入数据，即可求解。10．【答案】B【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，∴该图象经过点；故①正确；由图象可知：，∵对称轴为，∴，∴；故②④错误；∵图象经过点；∴，故③正确；故答案为：B。

【分析】根据二次函数的对称性和A点坐标，即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标；根据图像的开口与y的交点，可确定a和c的范围；然后再根据对称轴的公式，可确定b和a的关系，进而可得bc的符号；再根据图象经过点，将该点坐标代入二次函数的解析式，即可判断11．【答案】3【解析】【解答】解：∵32=9，∴9算术平方根为3．故答案为：3．【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．12．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：。故答案为：。【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，然后再对各个式子进行运算，最后再进行加减运算即可13．【答案】【解析】【解答】解：∵点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，∴所得点的横坐标为：，纵坐标为：，

∴.故答案为：．

【分析】根据点的坐标的平移规律“右加左减、上加下减”即可求解．14．【答案】或【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴四边形是矩形，∴．又∵，∴，故答案为：或。【分析】根据正方形的性质，易得，然后根据平行线的性质，可得，易证四边形是矩形，求出AB的值，最后再根据黄金分割的定义可得，代入数据，即可求出BC的值。15．【答案】【解析】【解答】解：设此圆锥的母线长为R，根据题意得，解得，即在中，，∴由勾股定理，可得，即此圆锥的高为．故答案为：。【分析】设此圆锥的母线长为R，观察图形，可知圆锥的侧面展开图为一扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，求出R的值，在中，根据勾股定理，即可求出OA的长。16．【答案】（1）或（2）解：

不管取何值，二次根式都有意义。【解析】【解答】（1）解：两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，括号里面可填或，故答案为：或。【分析】（1）根据平方差公式的定义，然后再进行求解即可。（2）先对二次根式进行展开，然后再进行运算，最后再根据完全平方的性质，即可求解（1）解：两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，括号里面可填或，故答案为：或；（2）不管取何值，二次根式都有意义．17．【答案】解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，由题意得：，解得：，经检验，为原分式方程的解，并符合题意，所以，篮球的单价为元；答：足球与篮球的单价分别为90元和120元。【解析】【分析】设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用900元购买足球的数量是用600元购买篮球数量的2倍”，建立等量关系，列出分式方程然后再进行求解并检验即可。18．【答案】（1）解：如答图所示，为所求，（2）解：四边形为平行四边形，理由如下：

由（1）得，

∴

∵，

∴四边形为平行四边形。【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法，然后再进行画图即可（2）根据（1）易得，然后再根据平行四边形的判定定理，即可证明。（1）解：如答图所示，为所求，（2）解：四边形为平行四边形，理由如下：由（1）得，∴∵，∴四边形为平行四边形．19．【答案】（1）15（2）解：由题意可得，抽取的人数中“对B款健身器材满意”的有8人，

（人），

答：估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为320人。（3）解：列表如下：甲

乙由表知，共有种等可能得结果，其中甲选器材乙选器材的有1种结果，

∴甲选器材乙选器材的概率为。【解析】【解答】（1）解：由题意得，对A款健身器材“满意”的百分比为：，∴对A款健身器材“比较满意”的百分比：，∴，故答案为：15。

【分析】（1）根据题干信息，找出A款器材在的分数有：，，，，，，一共有6个，然后用6除以20，求出A款器材满意的占比，然后用1分别减去非常满意、满意、不满意的占比，即可求出比较满意的占比。

（2）用对B款健身器材满意的人数除以抽取的总人数，然后再乘以800，即可求解。

（3）根据题意列出表格，然后再根据概率的公式，据此即可求解。（1）解：由题意得，对款健身器材“满意”的百分比为，∴对款健身器材“比较满意”的百分比，∴，故答案为：；（2）解：由题意可得，抽取的人数中“对款健身器材满意”的有人，（人），答：估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为人；（3）解：列表如下：甲乙由表知，共有种等可能得结果，其中甲选器材乙选器材的有种结果，∴甲选器材乙选器材的概率为．20．【答案】（1）解：一次函数的图象经过，两点，，解得：，，，，将代入反比例函数中得：，解得：，反比例函数的解析式为。（2）解：如图，当时，，解得：，，设，则，的面积为，，，，即，解得：或，当的面积为时，点的坐标为或【解析】【分析】（1）将，两点分别代入，即可求出，的值，进而求出、两点的坐标，再将A、B两点的坐标代入，据此即可求出其解析式；（2）令y=0，先求出，C的坐标，设，则，根据，代入数据求出的值，即，求出，即可求解。（1）解：一次函数的图象经过，两点，，解得：，，，，将代入反比例函数中得：，解得：，反比例函数的解析式为；（2）如图，当时，，解得：，，设，则，的面积为，，，，即，解得：或，当的面积为时，点的坐标为或．21．【答案】（1）解：如图所示为笔筒卷的侧面展开图

由题意得：裁剪出的包装纸的面积等于圆柱形的侧面积

∴裁剪出的包装纸的面积为。（2）解：如图所示，作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，，此时最短，即绳子缠绕笔筒圈，所需绳子的长度最短，

∴绕2圈所需绳子的最短长度为【解析】【分析】（1）根据圆柱侧面展开图为长方形，然后再利用圆柱形的侧面积的公式即可求解（2）作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，可得，此时最短，然后再根据勾股定理，求出AE即可（1）解：如图所示为笔筒卷的侧面展开图由题意得：裁剪出的包装纸的面积等于圆柱形的侧面积∴裁剪出的包装纸的面积为（2）解：如图所示，作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，，此时最短，即绳子缠绕笔筒圈，所需绳子的长度最短，∴绕2圈所需绳子的最短长度为22．【答案】（1）解：将、两点代入，

得，

解得：，

∴抛物线的解析式为：。（2）解：∵、，

∴，，即，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∵∠，

∴，即为等腰直角三角形，，

∴，，

设直线的解析式为，

将、两点分别代入得，

，

解得，

∴直线的解析式为；

如图，过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，，

∴，，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

设与y轴的交点为S，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴，，

设直线解析式为，

∴，

∴，

∴直线解析式为，

联立，

解得：

∴点D坐标为

∵，

∴

∴

解得：，

∵点P在第四象限，

∴，

将代入抛物线得：，

∴此时点P坐标为。（3）解：如图，作轴，连接交x轴于点H，

设，直线的表达式为：，

将P，C的坐标代入得，，

解得：，

∴直线的表达式为：，

将代入得，，即，

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

由题可知，，

∴，

将代入得，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得：（舍去）。【解析】【分析】（1）将将、两点代入，建立方程组：，最后再解方程组即可（2）根据B和C的坐标，易得为等腰直角三角形，，得到，，设直线的解析式为，将B和C的坐标代入，求出直线的解析式；过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，，可求出，，，易证

，则可求出E的坐标，设与y轴的交点为S，可得，，求出直线解析式，得到点D坐标为，根据，代入数据即可求解。（3）作轴，连接交x轴于点H，设，直线的表达式为：，将P，C的坐标代入，求出直线的表达式，由可表示，分别求，证，利用相似三角形的性质列出比例式即可求解。（1）解：将、两点代入，得，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）解：∵、，∴，，即，∴为等腰直角三角形，∴，∵∠，∴，即为等腰直角三角形，，∴，，设直线的解析式为，将、两点分别代入得，，解得，∴直线的解析式为；如图，过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，，∴，，，∵，，∴，∴，∴，设与y轴的交点为S，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，联立，解得：∴点D坐标为∵，∴∴解得：，∵点P在第四象限，∴，将代入抛物线得：，∴此时点P坐标为；（3）解：如图，作轴，连接交x轴于点H，设，直线的表达式为：，将P，