湖南省郴州市2026年初中学业水平质量监测数学试题附答案

初中学业水平质量监测数学试题一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．日常生活中，若汽车前进500米，记为米，则后退800米应记为（）A．米 B．米 C．米 D．米2．截至2025年3月4日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已突人民币．将数科学记数法表示为（）A． B． C． D．3．如图，该试管的主视图是（）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（）A．a2·a3=a6 B．(a2)3=a6C．(a+b)2=a2+b2 D．5．某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：25，26，26，27，27，27，30，30，则这组数据的众数是（）A．25 B．26 C．27 D．306．如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（）A． B． C． D．7．某市图书馆月份借阅量为万人次，月份借阅量为万人次．设这两个月借阅量的平均增长率为，根据题意列方程为（）A． B．C． D．8．下列命题中，属于假命题的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．对顶角相等C．同位角相等D．平行四边形是中心对称图形9．如图，在中，E为上一点，，与交于点F．下列结论错误的是（）A． B．C． D．10．二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（）A． B．C． D．当时，二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．若分式的值不存在，则．12．有三张材质、大小、背面图案完全相同卡片，分别写了三种不同的化学元素“O—氧”、“K—钾”、“H—氢”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一张卡片，翻到写着非金属元素卡片的概率是．13．直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为．14．五边形的内角和为．15．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．16．给气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则该函数的表达式为．17．如图，在中，，．以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则度．18．如图1，在中，．某数学兴趣小组将三个与全等的三角形，类比“赵爽弦图”摆放得到图2所示，则度．若，的面积为，则的面积是．三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每小题6分，21-22题每小题8分，23-24题每小题9分，25-26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：．20．先化简，再求值：，其中．21．某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）本次调查的学生人数为________人；（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为________度；（3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（4）若该校共有1200名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？22．如图，在四边形中，对角线，相交于点F，且，．过点A作，交的延长线于点C，________．请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求线段的长．23．为增强学生体质，丰富学生课外活动．某学校从一家体育用品商店购买若干个篮球和气排球（每个篮球的价格都相同，每个气排球的价格都相同）．经了解，购买两类球的数量与金额如下：购买篮球（个）购买气排球（个）金额（元）1226034620（1）每个篮球和气排球的价格各是多少元？（2）该校决定从这家体育用品商店购买篮球和气排球共40个，总费用不超过3660元，问这次最多可以购买篮球多少个？24．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某景区山的高度测量工具皮尺，测角仪，水平仪器等模型抽象如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．测量过程与数据信息①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角；②沿着山坡前进到达处；③在处测出山顶的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．（参考数据：，，，，，）请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求坡面的水平距离和垂直距离；（2）求山的高．25．如图，是的外接圆，为直径，点是劣弧的中点，连接，，过点作交的延长线于点，使得．（1）求证：为的切线；（2）求证：；（3）若的半径，，求的长度．26．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，．（1）求抛物线的表达式；（2）求线段的最大值；（3）是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案1．【答案】D【解析】【解答】解：若汽车前进500米，记为+500米，则后退800米应记为-800米，故答案为：D。

【分析】前进和后退是一组相反的数，然后再根据相反数的意义，即可求解。2．【答案】C【解析】【解答】解：．故答案为：C。

【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数，代入数据即可求解。3．【答案】B【解析】【解答】解：根据主视图的定义，从正面看可得：该试管的主视图为：故答案为：B．

【分析】根据主视图的定义：主视图是指在正面内得到的由前向后观察物体的视图。据此即可判断4．【答案】B【解析】【解答】A、原式=a5，错误；B、原式=a6，正确；C、原式=a2+b2+2ab，错误；D、原式不能合并，错误；故答案为：B

【分析】

A、同底幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断即可；

B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断即可；

C、根据（a+b）2=a2+2ab+b2判断即可；

D、不是同类二次根式，不能合并，据此判断即可.

5．【答案】C【解析】【解答】解：在所给数据中，数据27出现了三次，次数最多，故27分为众数．故答案为：C．

【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．利用众数的定义求解，找出数据中出现次数最多的数据即可．6．【答案】C【解析】【解答】解：是四边形的外接圆，，，，故答案为：C．

【分析】根据圆内接四边形对角互补，据此即可求解7．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意列方程为：，故答案为：A．【分析】设1月份的阅读人次为单位“1”，根据“设这两个月借阅量的平均增长率为x”可先求出2月份的阅读量：12（1+x），然后再求出3月份的阅读量：12（1+x）（1+x），然后令其等于20，据此即可求解8．【答案】C【解析】【解答】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，为真命题，不符合题意；B、对顶角相等，正确，为真命题，不符合题意；C、两条直线平行，同位角相等，错误，是假命题，符合题意；D、平行四边形是中心对称图形，正确，是真命题，不符合题意；故答案为：C．

【分析】根据角平分线的性质，对顶角的定义，平行线的性质以及平行四边形的性质，据此即可求解9．【答案】B【解析】【解答】解：∵，∴，，∴，故A选项结论正确，不符合题意；∵，∴，故C选项结论正确，不符合题意；∵，∴，∴；故B选项结论错误，符合题意；∵，∴，故D选项结论正确，不符合题意；故答案为：B．

【分析】根据平行四边形的性质，可得，，进而可得到，；由得到；证明，利用相似三角形的性质可判断B、D选项，据此即可判断

10．【答案】C【解析】【解答】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交，∴，故选项A结论错误，不符合题意；∵该函数图象与x轴有两个交点，∴，故选项B结论错误，不符合题意；∵该函数图象开口向上，对称轴为直线，∴，，即，∵当时，，∴，即，故选项C结论正确，符合题意；∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线，∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间，∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意；故答案为：C．

【分析】观察图形可知，抛物线和y轴交于y轴的下半轴，据此可判断A；图像和x轴交于两点，根据判别式的公式，据此可判断B；根据抛物线的对称轴公式，求出b和a的关系，然后再结合图形，确定a的取值范围，进而即可判断C；观察图形，可知，y有两部分，据此即可求解11．【答案】5【解析】【解答】解：若分式的值不存在，则：，解得：，故答案为：．

【分析】根据分式存在的意义：分母不能为零，反之亦然，据此即可求解12．【答案】【解析】【解答】解：由题意可知：完成事件的总的可能数为3种，而非金属元素的卡片种类共有2种，所以根据概率公式即可求得，故答案为：．【分析】根据概率的公式：用非金属元素的种类除以完成事件的总数，据此即可求解13．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为，即，故答案为：．【分析】根据函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，然后再代入数据即可求解14．【答案】540°【解析】【解答】解：（5﹣2）•180°=540°．故答案为：540°．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可．15．【答案】9【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，即，解得．故答案为：。

【分析】根据一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，代入数据求出关于m的关系式，即可求解。16．【答案】【解析】【解答】解：由题意，设该函数的表达式为，将点代入得：，解得，则该函数的表达式为，故答案为：．【分析】设该函数的表达式为，然后再将将点代入，利用待定系数法，即可求出的值。17．【答案】35【解析】【解答】解：在中，，，∴，∵由题可得：是的角平分线，∴，故答案为：；

【分析】根据作图步骤，可知是的角平分线，然后再根据直角三角形的内角和公式，求出的度数，然后再利用角平分线的性质，即可求出的度数18．【答案】60；【解析】【解答】解：过点作，垂足为点，，且，，且为等边三角形，在图（1）作，垂足为，，设，，，，，，，，即，解得，(负值舍去)，，，，，，在中；为等边三角形，，∴在中，，∴，∴；故答案为：；

【分析】过点作，根据，易得，进而求出的度数，从而证明为等边三角形，设，根据勾股定理：，然后再根据，代入数据，求出AC的值，进而求出AB、BM的值，在中，，代入数据，求解的长度，在中，，根据勾股定理，，代入数据求出BN的值，最后再根据三角形的面积公式：，代入数据即可求解。19．【答案】解：．【解析】【分析】根据平方根、负整数指数幂、绝对值的性质，再根据特殊角的三角函数值，求出各个式子，最后再将各个式子进行相加即可20．【答案】解：原式，，，当时，原式．【解析】【分析】根据分式运算的法则，对分式进行约分化简，最后再将a的值代入求值即可．21．【答案】（1）100（2）108（3）解：选择的人数为：（人，补全统计图如图：（4）解：根据题意得：

=

=300（人．

答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生约为300人．【解析】【解答】（1）解：本次调查的学生人数为（人．故答案为：100；（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所占圆心角的度数为：．故答案为：；【分析】（1）由B的人数除以其人数占被调查人数的百分比，即可求出本次调查的学生人数（2）用A选项的人数除以调查的学生人数，求出A的占比，然后再用360度乘以A选项的占比，即可求出A部分所对应的圆心角的度数（3）用调查的学生人数减去A、B、D的学生人数，即可求出C的人数，然后再补充统计图即可（4）用D选项的学生人数除以调查的学生人数，求出D的占比，然后再乘以学校的学生总人数，即可求解（1）解：本次调查的学生人数为（人．故答案为：100；（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所占圆心角的度数为：．故答案为：；（3）选择的人数为：（人，补全统计图如图：（4）根据题意得：（人．答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生约为300人．22．【答案】（1）解：选择①．证明：四边形的对角线，相交于点，且，，四边形的是平行四边形，，，又，，四边形为矩形．（2）解：由（1）已证明四边形矩形，，，又，．在中，，，．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分，则四边形的是平行四边形，若选择①，可证明，根据矩形的判定可得结论；（2）根据矩形性质求出，进而求出，然后再根据平行线的性质和正切函数的定义可求得，最后再利用勾股定理求得即可求解．23．【答案】（1）解：设每个篮球的价格为元，每个气排球的价格为元，根据题意得：，

解得：，答：篮球每个100元，气排球每个80元．（2）解：设购买篮球个，则购买气排球个，根据题意得：，解得：，答：最多可以购买篮球23个．【解析】【分析】（1）设每个篮球的价格为元，每个气排球的价格为元，根据表格内的信息，建立方程组：，最后再解方程组即可（2）设购买篮球个，则购买气排球个，根据“总费用不超过3660元”建立不等式：，然后再进行求解即可．（1）解：设每个篮球的价格为元，每个气排球的价格为元，根据题意得：，解得：，答：篮球每个100元，气排球每个80元．（2）解：设购买篮球个，则购买气排球个，根据题意得：，解得：，答：最多可以购买篮球23个．24．【答案】（1）解：在中，，，，，

，；；答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和。（2）解：延长交于点，如图所示：则四边形是矩形，设，，，，，，，在中，，，，，即，解得，答：山的高度为。【解析】【分析】（1）在中，根据正弦函数、余弦函数定义：，，代入数据即可求出CH和AH的值。（2）延长交于点，设，根据矩形性质，可得，，代入数据，求出BG的关系式，在中，根据正切函数定义：，代入数据即可求出BD的值。（1）解：在中，，，，，，；；答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和；（2）解：延长交于点，如图所示：则四边形是矩形，设，，，，，，，在中，，，，，即，解得，答：山的高度为．25．【答案】（1）证明：连接，，，，为直径，，，，，，过半径的外端点，且，为的切线；（2）证明：为劣弧的中点，

，

∵，，

，

；（3）解：过点作于点，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵为直径，

∴，

∴，

，

在中，，，

，

∴，

，，，

，

∴，

∴，

，

，，

，，

，

，

，

．【解析】【分析】（）连接，根据OA=OC，可得，又根据，可得，进而由得，即可求证；（）由为劣弧的中点可得，，根据题干信息，易证，进而可得，据此即可证明；（）过点作于点，可证，即得，得到，进而由三角函数定义，可求出得的值，即由勾股定理得，代入数据求出DE的值，又根据角平分线的性质可得，利用的面积可求得的长，用DE减去EF，即可求出DF的长，然后再根据勾股定理：，代入数据即可求