2025年世少赛九年级真题试题及附踩分点标注答案

2025年世少赛九年级真题试题及附踩分点标注答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)1.下列关于二次函数$y=2(x-3)^2+1$的说法，正确的是（）A.图象的开口向下B.图象的对称轴是直线$x=-3$C.当$x>3$时，$y$随$x$的增大而增大D.当$x=3$时，$y$有最大值是12.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-4x+m=0$有两个不相等的实数根，则实数$m$的取值范围是（）A.$m<4$B.$m>4$C.$m\leq4$D.$m\geq4$3.如图，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$BC=6$，则$DE$的长为（）A.2B.3C.4D.54.若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(-1,2)$，则这个函数的图象一定经过点（）A.$(2,-1)$B.$(-\frac{1}{2},2)$C.$(-2,-1)$D.$(\frac{1}{2},2)$5.如图，$\odotO$的半径为5，弦$AB=8$，$P$是弦$AB$上的一个动点（不与$A$、$B$重合），则$OP$的取值范围是（）A.$3\leqOP\leq5$B.$3<OP<5$C.$4\leqOP\leq5$D.$4<OP<5$6.已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）与$x$轴交于点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，则抛物线的对称轴是直线（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=2$D.$x=3$7.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，以点$C$为圆心，$r$为半径作圆，当$r=2.4$时，圆$C$与$AB$的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.无法确定8.若关于$x$的分式方程$\frac{2x-a}{x-1}=1$的解为正数，则$a$的取值范围是（）A.$a>1$B.$a<1$C.$a>1$且$a\neq2$D.$a<1$且$a\neq-2$9.如图，四边形$ABCD$是菱形，对角线$AC$、$BD$相交于点$O$，$AC=8$，$BD=6$，点$E$是边$AB$的中点，则$OE$的长为（）A.4B.3C.2.5D.210.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则下列结论：①$abc>0$；②$b^2-4ac>0$；③$a+b+c<0$；④$4a-2b+c>0$，其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总共10题，每题2分)1.一元二次方程$x^2-3x-1=0$的两根为$x_1$，$x_2$，则$x_1+x_2=$______，$x_1x_2=$______。2.已知反比例函数$y=\frac{6}{x}$，当$x>3$时，$y$的取值范围是______。3.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleBAC=120^{\circ}$，$AB$的垂直平分线交$BC$于点$D$，交$AB$于点$E$，若$BC=12$，则$AD=$______。4.抛物线$y=2(x-3)^2+4$的顶点坐标是______。5.若关于$x$的方程$\frac{1}{x-2}+\frac{k}{x+2}=\frac{3}{x^2-4}$有增根，则$k=$______。6.如图，$\odotO$的直径$AB=10$，弦$CD\perpAB$于点$E$，若$BE=2$，则$CD=$______。7.已知二次函数$y=x^2-2x-3$，当$y<0$时，$x$的取值范围是______。8.如图，在平行四边形$ABCD$中，$E$是$AD$边上的中点，连接$BE$并延长交$CD$的延长线于点$F$，若$BC=6$，则$DF=$______。9.若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积为______。10.如图，正方形$ABCD$的边长为4，点$E$在边$BC$上，且$BE=1$，点$P$是对角线$AC$上的一个动点，则$PE+PB$的最小值是______。三、判断题(总共10题，每题2分)1.方程$x^2=4x$的解是$x=4$。（）2.反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）的图象在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。（）3.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。（）4.抛物线$y=-2(x+1)^2-3$的开口向上。（）5.若两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。（）6.方程$x^2+2x+3=0$有两个不相等的实数根。（）7.圆的切线垂直于经过切点的半径。（）8.平行四边形的对角线互相垂直平分。（）9.二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），当$b=0$时，对称轴是$y$轴。（）10.若点$A(1,y_1)$，$B(2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{-1}{x}$的图象上，则$y_1<y_2$。（）四、简答题(总共4题，每题5分)1.已知二次函数$y=x^2-4x+3$，求该函数图象与$x$轴的交点坐标。2.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$边上的中点，$DE\perpAB$，$DF\perpAC$，垂足分别为$E$、$F$。求证：$DE=DF$。3.解方程：$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$。4.如图，已知$\odotO$的半径为$r$，弦$AB$的长也为$r$，求弦$AB$所对的圆心角和圆周角的度数。五、讨论题(总共4题，每题5分)1.讨论二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象与性质，以及如何通过图象确定$a$、$b$、$c$的取值范围。2.谈谈相似三角形在实际生活中的应用，并举例说明。3.讨论在解分式方程时，为什么会产生增根，以及如何检验增根。4.说说圆的切线的判定方法有哪些，并举例说明如何运用这些方法进行证明。答案1.选择题答案：-1.C-2.A-3.A-4.A-5.A-6.A-7.B-8.C-9.C-10.C2.填空题答案：-1.3，-1-2.$0<y<2$-3.4-4.$(3,4)$-5.$\frac{3}{4}$-6.8-7.$-1<x<3$-8.6-9.$15\pi$-10.53.判断题答案：-1.×-2.×-3.√-4.×-5.√-6.×-7.√-8.×-9.√-10.×4.简答题答案：-1.令$y=0$，则$x^2-4x+3=0$，分解因式得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，所以交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$。-2.因为$AB=AC$，所以$\angleB=\angleC$，又因为$D$是$BC$中点，$DE\perpAB$，$DF\perpAC$，根据角平分线性质可得$DE=DF$。-3.方程两边同乘$x(x-3)$得$2x=3(x-3)$，解得$x=9$，经检验$x=9$是原方程的解。-4.因为弦$AB$的长等于半径$r$，所以$\triangleAOB$是等边三角形，圆心角$\angleAOB=60^{\circ}$，圆周角为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$。5.讨论题答案：-1.二次函数图象是抛物线，$a$决定开口方向，$a>0$开口向上，$a<0$开口向下；对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$；$c$是与$y$轴交点纵坐标。通过图象开口方向看$a$，对称轴位置结合开口方向确定$b$，与$y$轴交点确定$c$。-2.相似三角形在生活中用于测量物体高度等。比如利用标杆和影子构成相似三角形，通过已知标杆高度