9.1.2 余弦定理 课件（20）人教B版2019高中数学 必修第四册

第九章解三角形9.1.2

余弦定理9.1

正弦定理与余弦定理1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索掌握余弦定理.2.能解决一些简单的三角形度量问题.1.余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的_________减去这两边与它们夹角的余弦的积的____.即a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC.平方的和2倍2.变形公式由余弦定理,可以得到如下推论(变形公式):cosA=;cosB=;cosC=.【典例1】1.在△ABC中,若a=2,b=,C=

,则c=(

)

A.1 B.2 C.3 D.2.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________,∠ADB=________.

【思维导引】1.利用余弦定理计算.2.利用三角形内角和定理以及余弦定理计算.探究点一利用余弦定理计算边长【解析】1.选D.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=4+3-2×2×cos=13,所以c=.2.由△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,且A+B+C=π,可得B=.AB=1,BC=4,则BD=2,由余弦定理,得AD=在△ABD中,因为AB2+AD2=BD2,所以∠BAD=,∠ADB=.利用余弦定理计算的注意事项1.如果已知三角形的两边和夹角(即SAS)解三角形,那么通常运用余弦定理计算.2.注意三角形内角和定理(即A+B+C=π)在解三角形中的应用.探究点二利用余弦定理计算角【典例2】1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为(

)2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A.(2)若a+b=2c,求sinC.【思维导引】1.设等腰三角形的底边和腰,利用余弦定理计算.2.(1)利用正弦定理得到b2+c2-a2=bc,利用余弦定理求cosA再计算A.(2)利用正弦定理将三边的等式转化为三角函数关系式,利用整体角代换法及和差角的正弦公式计算sinC=【解析】1.选D.设等腰三角形ABC的底边长为a,腰为b,则周长为a+2b,依题意得a+2b=5a,所以b=2a,那么等腰三角形的顶角A的余弦值为cosA=2.(1)由(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由a+b=2c及正弦定理得sinA+sin(120°－C)=2sinC,即

cosC+sinC=2sinC,可得

sinC-cosC=,即

所以cos(C+60°)=

-

.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=,故sinC=sin(C+60°－60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=由余弦定理求角的方法技巧1.如果已知三角形的三边(即SSS)解三角形,那么通常运用余弦定理的变形公式计算.2.由余弦定理的变形公式cosC=,容易得到下列常用的结论:C=90°⇔c2=a2+b2,C<90°⇔c2<a2+b2,C>90°⇔c2>a2+b2.提醒:若C是三角形的最大的角,则C≥60°,若C是三角形的最小的角,则C≤60°.探究点三由余弦定理判断三角形的形状【典例3】在△ABC中,如果三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状为 (

)

A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.以上均有可能【思维导引】利用a3+b3=c3得到=1,且c为最大的边,通过不等式的性质转化为>1,再利用余弦定理的变形公式确定角C的取值范围判断.【解析】选A.依题意知c边最大.因为a3+b3=c3,所以=1,所以0<<1,0<<1,所以所以>1,即a2+b2-c2>0,cosC=>0,所以0<C<,所以△ABC为锐角三角形.判断三角形形状的方法技巧判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形:(1)一个方向是转化为角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理进行边化角.(2)另一个方向是转化为边,走代数变形之路,通常是正弦定理、余弦定理结合使用.1.在△ABC中,三边长a,b,c的对角分别为A,B,C,已知a=2,b=3,cosC=,则c的值为 (

)

A.2 B.3 C. D.【解析】选B.因为c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×=9,所以c=3.2.若a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2的值 (

)A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定【解析】选C.cosB=所以a2+c2-b2=-ac,即a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.3.已知三角形的三边长度分别为6,3,3,则三角形的最大内角的度数为 (

)A.90° B.120° C.135° D.150°【解析】选C.因为三角形的三边长度6,3,3中,3是最大的边,则三角形的最大内角θ满足cosθ=所以θ=135°.4.在△ABC中,A=60°,最大边和最小边是方程x2-9x+8=0的两个正实数根,则边BC=________.

【解析】因为