江苏省宿迁2025-2026学年初三下期中考试（数学试题文）试题含解析

江苏省宿迁2025-2026学年初三下期中考试（数学试题文）试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．下列运算中，正确的是（）A．（ab2）2=a2b4B．a2+a2=2a4C．a2•a3=a6D．a6÷a3=a22．下列四个几何体中，左视图为圆的是（）A． B． C． D．3．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60°4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③3a+c=0；④若（x1，y1）（x2、y2）在函数图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2，其中正确的是（）A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①③④5．“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（）A．赛跑中，兔子共休息了50分钟B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C．兔子比乌龟早到达终点10分钟D．乌龟追上兔子用了20分钟6．在国家“一带一路”倡议下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧专列．行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000km，将13000用科学记数法表示应为()A．0.13×105 B．1.3×104 C．1.3×105 D．13×1037．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（）A．3 B． C． D．8．如图，若数轴上的点A，B分别与实数﹣1，1对应，用圆规在数轴上画点C，则与点C对应的实数是（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A． B．C． D．10．如图，的三边的长分别为20，30，40，点O是三条角平分线的交点，则等于（）A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是__．12．口袋中装有4个小球，其中红球3个，黄球1个，从中随机摸出两球，都是红球的概率为_________．13．如图，P（m，m）是反比例函数在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．14．两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从地出发到地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达地.甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距地还有____________千米.15．如图，长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则△AFC的面积等于___．16．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G都是格点，从C，D，E，F，G五个点中任意取一点，以所取点及AB为顶点画三角形，所画三角形时等腰三角形的概率是_____.17．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD=_______°．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图所示，已知，试判断与的大小关系，并说明理由.19．（5分）如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，连接PQ．（1）当∠POQ＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求的长；（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．20．（8分）“六一”期间，小张购述100只两种型号的文具进行销售，其中A种型号的文具进价为10元/只，售价为12元，B种型号的文具进价为15元1只，售价为23元/只．（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？（2）如果购进A型文具的数量不少于B型文具数量的倍，且要使销售文具所获利润不低于500元，则小张共有几种不同的购买方案？哪一种购买方案使销售文具所获利润最大？21．（10分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？22．（10分）对于平面直角坐标系中的点，将它的纵坐标与横坐标的比称为点的“理想值”，记作．如的“理想值”．（1）①若点在直线上，则点的“理想值”等于_______；②如图，，的半径为1．若点在上，则点的“理想值”的取值范围是_______．（2）点在直线上，的半径为1，点在上运动时都有，求点的横坐标的取值范围；（3），是以为半径的上任意一点，当时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）23．（12分）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；求恒温系统设定的恒定温度；若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？24．（14分）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．该商场两次共购进这种运动服多少套？如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】

直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则和同底数幂的乘除运算法则分别分析得出答案.【详解】解：A、（ab2）2=a2b4，故此选项正确；B、a2+a2=2a2，故此选项错误；C、a2•a3=a5，故此选项错误；D、a6÷a3=a3，故此选项错误；故选：A.此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项和同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．2、A【解析】

根据三视图的法则可得出答案.【详解】解：左视图为从左往右看得到的视图，A.球的左视图是圆，B.圆柱的左视图是长方形，C.圆锥的左视图是等腰三角形，D.圆台的左视图是等腰梯形，故符合题意的选项是A.错因分析较容易题.失分原因是不会判断常见几何体的三视图.3、B【解析】试题分析：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6﹣4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°故选B．考点：1、平移的性质；2、旋转的性质；3、等边三角形的判定4、B【解析】∵函数图象的对称轴为：x=-==1，∴b=﹣2a，即2a+b=0，①正确；由图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，②错误；由图象可知，当x=1时，y=0，∴a﹣b+c=0，∵b=﹣2a，∴3a+c=0，③正确；∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2；故④错误；故选B．点睛：本题主要考查二次函数的相关知识，解题的关键是：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理．5、D【解析】分析：根据图象得出相关信息，并对各选项一一进行判断即可.详解：由图象可知，在赛跑中，兔子共休息了：50-10＝40（分钟），故A选项错误；乌龟跑500米用了50分钟，平均速度为：（米/分钟），故B选项错误；兔子是用60分钟到达终点，乌龟是用50分钟到达终点，兔子比乌龟晚到达终点10分钟，故C选项错误；在比赛20分钟时，乌龟和兔子都距起点200米，即乌龟追上兔子用了20分钟，故D选项正确.故选D.点睛：本题考查了从图象中获取信息的能力.正确识别图象、获取信息并进行判断是解题的关键.6、B【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．将13000用科学记数法表示为：1.3×1．故选B．考点：科学记数法—表示较大的数7、A【解析】根据锐角三角函数的性质，可知cosA==，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=，然后带入数值即可求解.8、B【解析】

由数轴上的点A、B分别与实数﹣1，1对应，即可求得AB=2，再根据半径相等得到BC=2，由此即求得点C对应的实数．【详解】∵数轴上的点A，B分别与实数﹣1，1对应，∴AB=|1﹣（﹣1）|=2，∴BC=AB=2，∴与点C对应的实数是：1+2=3.故选B．本题考查了实数与数轴，熟记实数与数轴上的点是一一对应的关系是解决本题的关键．9、B【解析】

找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形．故选：B．本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．10、C【解析】

作OF⊥AB于F，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】作OF⊥AB于F，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D，

∵三条角平分线交于点O，OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，

∴OD=OE=OF，

∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA=20：30：40＝2：3：4，

故选C．考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、k>1【解析】

根据正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可．【详解】因为正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限，所以k-1＞0，解得：k＞1，故答案为：k＞1．此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限解答．12、【解析】

先画出树状图，用随意摸出两个球是红球的结果个数除以所有可能的结果个数即可.【详解】∵从中随意摸出两个球的所有可能的结果个数是12，随意摸出两个球是红球的结果个数是6，∴从中随意摸出两个球的概率=；故答案为：.此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13、．【解析】

如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵点P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点，∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3.∵△PAB是等边三角形，∴∠PAH=60°.∴根据锐角三角函数，得AH=.∴OB=3+∴S△POB=OB•PH=.14、90【解析】【分析】观察图象可知甲车40分钟行驶了30千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车的距离为10千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达B地，设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，根据等量关系甲车用了小时行驶了全程，乙车行驶的路程为60t1+50t2=240，列方程组求出t2，再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距B地的路程.【详解】甲车先行40分钟（），所行路程为30千米，因此甲车的速度为（千米/时），设乙车的初始速度为V乙，则有，解得：（千米/时），因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时），设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，则有，解得：，45×2=90（千米），故答案为90.【点评】本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组进行求解是关键.15、【解析】

由矩形的性质可得AB=CD=4，BC=AD=6，AD//BC，由平行线的性质和折叠的性质可得∠DAC=∠ACE，可得AF=CF，由勾股定理可求AF的长，即可求△AFC的面积．【详解】解：四边形ABCD是矩形，，，折叠，在中，，，.故答案为：.本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求AF的长是本题的关键．16、.【解析】

找出从C，D，E，F，G五个点中任意取一点组成等腰三角形的个数，再根据概率公式即可得出结论．【详解】∵从C，D，E，F，G五个点中任意取一点共有5种情况，其中A、B、C；A、B、F两种取法，可使这三定组成等腰三角形，∴所画三角形时等腰三角形的概率是，故答案是：．考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．17、15【解析】

根据圆的基本性质得出四边形OABC为菱形，∠AOB=60°，然后根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系得出答案．【详解】解：∵OABC为平行四边形，OA=OC=OB，∴四边形OABC为菱形，∠AOB=60°，∵OD⊥AB，∴∠BOD=30°，∴∠BAD=30°÷2=15°．故答案为：15.本题主要考查的是圆的基本性质问题，属于基础题型．根据题意得出四边形OABC为菱形是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、.【解析】

首先判断∠AED与∠ACB是一对同位角，然后根据已知条件推出DE∥BC，得出两角相等．【详解】解：∠AED=∠ACB．理由：如图，分别标记∠1，∠2，∠3，∠1.∵∠1+∠1=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）．

∴∠2=∠1．

∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．

∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）．

∵∠3=∠B（已知），

∴∠B=∠ADE（等量代换）．

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．

∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．本题重点考查平行线的性质和判定，难度适中．19、（1）；（2）；（3）【解析】

（1）先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；（2）先判断出∠POQ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在Rt△B'OP中，OP2+＝，解得OP＝，最后用面积的和差即可得出结论．【详解】解：（1）∵P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，此时，∠POQ＝90°，PQ＝，故答案为：90°，10；（2）解：如图，连接OQ，∵点P是OB的中点，∴OP＝OB＝OQ．∵QP⊥OB，∴∠OPQ＝90°在Rt△OPQ中，cos∠QOP＝，∴∠QOP＝60°，∴lBQ；（3）由折叠的性质可得，，在Rt△B'OP中，OP2+＝,解得OP＝，S阴影＝S扇形AOB﹣2S△AOP＝.此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键．20、（1）A种文具进货40只，B种文具进货60只；（2）一共有三种购货方案，购买A型文具48只，购买B型文具52只使销售文具所获利润最大．【解析】

（1）设可以购进A种型号的文具x只，则可以购进B种型号的文具只，根据总价＝单价×数量结合A、B两种文具的进价及总价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据题意列不等式，解之即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）设A种文具进货x只，B种文具进货只，由题意得：，解得：x＝40，，答：A种文具进货40只，B种文具进货60只；（2）设购进A型文具a只，则有，且；解得：，∵a为整数，∴a＝48、49、50，一共有三种购货方案；利润，∵，w随a增大而减小，当a＝48时W最大，即购买A型文具48只，购买B型文具52只使销售文具所获利润最大．本题主要考查了一次函数的实际问题，熟练掌握一次函数表达式的确定以及自变量取值范围的确定，最值的求解方法是解决本题的关键.21、（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元．【解析】

（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价后的百分率，40元降至32.4元就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得110元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x．40×（1﹣x）2＝32.4x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得110元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得解得：＝1.1，＝2.1，∵有利于减少库存，∴y＝2.1．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.1元．此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．22、（1）①﹣3；②；（2）；（3）【解析】

（1）①把Q（1，a）代入y=x-4,可求出a值，根据理想值定义即可得答案；②由理想值越大，点与原点连线与轴夹角越大，可得直线与相切时理想值最大，与x中相切时，理想值最小，即可得答案；（2）根据题意，讨论与轴及直线相切时，LQ取最小值和最大值，求出点横坐标即可；（3）根据题意将点转化为直线，点理想值最大时点在上，分析图形即可．【详解】（1）①∵点在直线上，∴，∴点的“理想值”=-3，故答案为：﹣3.②当点在与轴切点时，点的“理想值”最小为0.当点纵坐标与横坐标比值最大时，的“理想值”最大，此时直线与切于点，设点Q（x，y），与x轴切于A，与OQ切于Q，∵C（，1），∴tan∠COA==，∴∠COA=30°，∵OQ、OA是的切线，∴∠QOA=2∠COA=60°，∴=tan∠QOA=tan60°=，∴点的“理想值”为，故答案为：.（2）设直线与轴、轴的交点分别为点，点，当x=0时，y=3，当y=0时，x+3=0，解得：x=，∴，．∴，，∴tan∠OAB=，∴．∵，∴①如图，作直线．当与轴相切时，LQ=0，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最大值．作轴于点，∴，∴．∵的半径为1，∴．∴，∴．∴．②如图当与直线相切时，LQ=，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最小值．作轴于点，则．设直线与直线的交点为．∵直线中，k=，∴，∴，点F与Q重合，则．∵的半径为1，∴．∴．∴，∴．∴．由①②可得，的取值范围是．（3）∵M（2，m），∴M点在直线x=2上，∵，∴LQ取最大值时，=，∴作直线y=x，与x=2交于点N