直线与圆锥曲线 课件（41张）

6.3直线与圆锥曲线

6.3直线与圆锥曲线

专题六

!核凶琢•颓f螭］

直线和圆锥曲线的位置关系

【例1】已知直线1:kx-y+2=0,双曲线CdYVN,当k为何值时：

⑴与C无公共点；

(2)1与C有唯一公共点；

(3)1与C有两个不同的公共点.

分析推理首先将直线方程与双曲线方程联立方程组，根据二次项

系数是否为零进行分类讨论，依据方程解的个数求解直线和双曲线

公共点的个数及对应的k值.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

獭t点•除獭「核凶里内•颓慢M—3-

突破点一

解：将直线方程与双曲线方程联立消去y,得

(l-4k2)x2-16kx-20=0.0

当IdeWOfi寸，有A416k)2-4(1-4k2)•(-20)=16(5-4^).

⑴当1-4k2/),且△<(),即或Q争寸，1与C无公共点.

⑵当14k2=0，即攵二士;时，显然方程①只有一解.

当1-41?力0,且△=(),即攵=士?时，方程①只有一解.

故当k=或A=±偿时，1与C有唯一公共点.

22

⑶当WkVO,且△>(),即.争火喙且原土部

方程有两解，1与C有两个不同的公共点.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

麟烤点.锵台I核创釉・硼谶]-5-

突破点一

即时巩固1已知椭圆诏+券1(〃小0)的上、下两个焦点分别

为Fi,F2,过点Fi与y轴垂置的直线交椭圆C于M,N两点，AMNB

的面积为J3,椭圆C的离心率光咛

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)0为坐标原点，直线I:尸kx+m与y轴交于点P,与椭圆C交于A,B

两个不同的点，若存在实数2,使得OA+2OBHOP,求m的取值范围.

解：⑴根据已知得椭圆C的焦距为2C,当yw时，

2b2

|MN|=|XI・X2|二T]

由题意知^MNF2的面积为白产IF2||MN|二C|MN|二迫=V3.

2a

由已知得£=£,所以b2=l,&2=4.

a2

故椭圆C的标准方程为t+F=l.

4

6.3直线与圆锥曲线

专题六

部烤点•的则「核凶勒•预贩瞧］-6-

突破点一

⑵若m=Q则P(0,0),由椭圆的对称性得AP=PB,

即OA+OB=0,———

所以m=0能使0A+20B=40P成立.

若mWO,由0A+X0B=40F,彳好=那+洒.

由AJBP共线，知14=4解得L3.

设A(xi,kxi+m),B(x2,kx2+m),

/=fcx+m,

i4x2+y2-4=0,

得(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0.

由已知得△必皿狎/张44)(mM)>0,

即已%>。，且M+所能R所服.

由AP=3PB,得-X]=3x2,BPxi—3X2,

6.3直线与圆锥曲线

专题六

獭t点•除獭I核创训•砌隧］

突破点一

所以3（X1+X2）2+4x*2=0.

所以富+铐=

仅2+4），42+4

即m2k2+m2-k2-4=0.

2

当滔=1时，1112k2+11]-1<2-4=0不成立,

所以尸=手

mz-l

li|k2-m2+4>0,得.加2+4>0,

mz-l

聊止步>0得1Vm2<4,

解得或

综上所述，m的取值范围为{m|-2。1〈-1或m=0或1＜水2}.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

■高甦点•的灰破I核凶谢・预感镂］一8一

突破点二

圆锥曲线中的定值、定点问题

【例2】已知椭圆C:1+*l(a乂＞0)的离心率点点(2,J2)在C

a4n42

上.

(1)求C的方程.

(2)直线不过原点O且不平行于坐标轴，与C有两个交点A,B,线段

AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线I的斜率的乘积为定值.

分析推理⑴根据椭圆的离心率以及椭圆上的点，建立方程组求解

即可；(2)根据已知直线的斜率存在且不为0,可设出直线方程，与椭

圆方程联立方程组，消元之后求出弦的中点坐标，然后表示出两条

直线的斜率之积，验证其为常数即可.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

葡造点•牍獭［核凶翎・砌隧］T

突破点二

(1解由题意有叵=今2+捻=1,

a2aLbL

解得a2=8,b2=4.

所以c的方程为次+r!=L

R4

⑵证明：设直线

I:y=kx4-b(k#0,b#0)A(Xi,yi),B(x2,y2)M(xw,yw).将y=kx+b

代入营+%L

得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.

故XM=~=时J*%•物+公时・

于是直线QM的斜率次=-5，

,xM2k

即koM-k=--

所以直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

-10-

规律方法1.求解定点和定值问题的基本思想是一致的，定值是证

明求解的一个量与参数无关，定点问题是求解的一个点（或几个点）

的坐标，使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选

择参数（参数可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等），使

用参数表达其中变化的量，再使用这些变化的量表达需要求解的解

题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中

要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题

解决.

2.证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根

据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组，以方程组的解为坐标

的点就是直线所过的定点.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

高顷考点.嬉校破核凶剃•颓而-11-

突破点二

即时巩固2(2019山东潍坊三模)如图，椭圆C:：m+4=l(a»>0)的

离心率之勾手，设A,B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，AOAB的面积

为1.

(1)求椭圆C的方程.

(2)设不经过点A的直线I:尸kx+m(kWO,ni£R)交椭圆于P,Q两点，线

段PQ的中点为M,若|PQI=2IAM],求证:直线过定点.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

询考点•探制獭I核心如纳•丽嗾练|-12-

突破点二

省C百C2b2

(1)解：由已知得£=爹，苕=1•我，可得出二儿2

因如AAOB=1，所以弓"二1,

2

即=4Z?*2„*4B|Jb2=l,a2=4,

2

所以椭圆C的方程为±Y+V=L

4J

6.3直线与圆锥曲线

专题六

筋烤点•

(2)证明：由题意知A(2,0),因为［PQI=2|AM|,

所以|AM|=IPM|=IQM|,所以线段PQ为△碗外接圆的直径,

•险0.

y=kx+m,

八21

(7+y=1，

得(4k2+l)x2+8kmx+4m2-4=0,A=16X(l+4k2-m2)>0.

、门/、八/、ri-8km47n2-4g

设P(xi,yi),Q(x2,Y2),则笛+及二市77Kl©=而石•①

又因为AP•AQ=0,所以xix2-2(xi+x2)+yiy2+4=0.

2

Xyi-kxi+m,yz-kxz+m,yiY2=kxpa+n?+kai(xi+x2),

22

即(k+l)xix2+(km-2)(X1+X2)+m+4=0.②

把①代入②,得4k2m2-4k2+4m2-4-8k2m2+16km

=-(4k2m2+16k2+m2+4),l2k2+16km+5m2=0,

6.3直线与圆锥曲线

专题六

獭考点.探究突破[核.谢•预测膑练1—14—

突破点二

得k=[〃]或攵=2小，

所以直线1的方程为产二,心・2）或y=]m

26x5/

所以直线1过定点（设0）或（2,0）（舍去），

综上所述，直线1过定点G，o）

6.3直线与圆锥曲线

专题六

檎翱|核凶至内•碱既谶］-15-

突破点三

圆锥曲线中的参数范围与最值问题

【例3】（2019天津3月九校联考）已知椭|圆捺+*1（4>6>0）的离

心率为半椭圆的左焦点为F,椭圆上任意一点到F的最远距离是

J6+2,过直线x二-f与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线1

与椭圆交于不同的漏点A,B,点A关于x轴的对称点为C.

⑴求椭圆的方程；

⑵求证：C,F,B三点共线；

（3）求△MBC的面积S的最大值.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

标考点.1的经州

突破点三

分析推理⑴由题意得到关于a,b,c的方程组，求得a,b的值即可确

定椭圆方程：（2）设直线I的方程为乂=日3联立直线方程与椭圆方程，

结合根与系数的关系证明k即.kcp=O即可证得题中的结论；（3）由题

意可得△MBC的面积S二盘给基本不等式的结论确定面积的

最大值即可.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

般赌点,的淡［核凶巡•颁遢］-17-

突破点三

生=今卜2=6,

(1解由题意可得于JQ+C=V^+2,解得俨=2，

\a2=b2+c2,=4.

22

故椭圆的方程为x彳+《v二L

⑵证明：由⑴知£=［=3,故M(-3,0),

c2

设直线1的方程为x=ty-3.

x=ty-3,

联立直线方程与椭圆方程，即.J

2+5=1，

n2

可得(t2+3)y2-6ty+3=0.

因为直线与椭圆相交，则△=36^12(邑3)>0,

6.3直线与圆锥曲线

专题六

点•会频［核创拗-颓E谶J-18-

突破点三

解得/考或y.当

设A(xi,yi),B(X2,y2),C(xi,-yi),F(-c,O),

则川”二岛田+力二普，

故切F•姐=出7+=6+y\.

X2+Cxi+cty2-3+ctyi-3+c

二_2ty】y2・3(，i+。2)+以31+丫2L

12yly2・(3・C)“％+y2)+(3Y)2

二:•a・⑶济.

△・内T(3Y).t•岛+(3・c产

将c=2代入上式可得kBr-kcp=O,

故C,F,B三点共线.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

敏%点.探完獭［核创拗•预赃镂［-19-

突破点三

(3)解：不妨令X0X2,结合(2)中的结论可得，

△MBC的面积S=SAMACSZ\BAC

=kxi+3)-|AC|4(Ai-x2)-|AC|

=(x2+3)・|yi|=|tyiy21

3|t|3/3瓜.

工=福三丽一

当且仅当白土J3时等号成立，故△MK的面积的最大值为?

6.3苣段与圆锥曲线

专题六

高濒考点.破I核心！J拗.顼M翻I-20―

规律方法求解范围、最值问题的基本解题思路是建立求解目标

与其他变量的关系（不等关系、函数关系等），通过其他变量表达求

解目标，然后通过解不等式、求函数值域（最值）等方法确定求解目

标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的

影响.如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆

锥曲线上点的坐标范围等.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

高甦点,牍獭I核心J邳•掰嗾练1-21-

突破点三

22

即时巩固3（2019天津红桥区二模）已知椭圆C:J+y=1（〃》＞0）

的离心率为4点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭

圆的左焦点，且Z\FAB的面积是1+当

⑴求椭圆C的方程；

⑵设直线xFiy+1与椭圆C交于P,Q两点，点P关于x轴的对称点为

Pi（P与Q不重合），则直线PiQ与x轴交于点H,求△PQH面积的取

值范围.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

点•—22—

突破点三

解：(1)"=£=?得

a2z

贝1JSAAB=1(4+C)•力苫X(1+力=14=ab=2.

则〃2=炉+//+样解得6=2,则b=l,c=V3.

2

故椭圆C的方程为r彳+产=1.

⑵由Pl与Q不重合可知，的0.

ex=my+1,

联立X22

[-+y=1，

整理可得(m2+4)y2+2my-3=0,mWO.

设P(xi,yi),Q(X2,y2)，则Pi(xi,-yi).

则》+力二二^沙”二岛.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

台%点•顺蝴[核加拗•碱愤^]—23—

突破点三

直线PiQ的方程为+M二鬻心内），

**7.41

令尸0,得广为+等9产出修

力+力力+力

又Xi=myi+l,x2=my2+1,

则大二⑴丫2+1)力+(同力+1»2

'yi+力

-2myy+(yi+y2)_^yy..

—12—x2r1

力+力力+、2

-6m

=率+1啜+1=3+1=4.

BPtf&PiQ与x轴交点为H(4,0).

6.3直线与圆锥曲线

专题六

髓＜点•六频［核N有•:/『门】-24-

突破点三

所以八股”Wx（4.1）x仇”

=1-J（71+月）2-4丫/2=闷

令eVm2+3>V3,则n?=t?-3.

所以S"Q〃6t_6

t2+l—t+y'

当已由时产什：单调递增，则什＞＞殍.

.663>/3^

••-------TV-----K""■

t+12

t3

又热>0,，SZSPQH6（0,苧）

6.3直线与圆锥曲线

专题六

高鹏点•的g獭］核凶圭内・谢镂］-25-

突破点四

圆锥曲线中的探索性问题

丫2*2、万

【例4】已知椭圆环+1的离心率陪点P(O,1)

aLh。2

和点A(mM(m/))都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.

(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m,n表示).

⑵设0为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴

上是否存在点Q,使得NOQM=NONQ?若存在，求点Q的坐标；若不

存在，说明理由.

分析推理⑴利用离心率、点P在椭圆上以及a,b,c三者的关系建

立方程组求解即可得到椭圆方程；点M的坐标只需求出直线PA的方

程，令尸0即可求得.(2赧据已知先求出点B与点N的坐标，再转化探

索条件一两个角相等，根据图形得到相应的条件一对应线段的比

例相等，从而构造方程，将存在性问题转化为方程解的存在性进行

判断

6.3直线与圆锥曲线

专题六

翩逢点•的翔I核凶勒.颁।隧I一26一

突破点四

p=1,

解：⑴由题意出=今解得岸=2

2

(Q2=b+c2,

2

故椭圆C的方匡为x了+炉=1・

设M(xu,O).

因为n#0所以

直线PA的方程为)，.1二上与，

.m

所以仙喉即M居，。)

6.3直线与圆锥曲线

专题六

高顷考点.除獭—27—

突破点四

⑵因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m,-n).

设N(xn,。),贝ljXN=—•

l+n

“存在点Q(0,yo)使得NOQM二NONQ”等价于”存在点Q(0,yo)使得

丝=咧"，即yo满足*=|xM|xNL

\OO\\ON\0

m%r,mmm2

|il79XAf=—^=—,—+H02=1t,

1-n14-n2

2

所以该二%1网=才=2.

所以yo=/2或丫0=-V2.

故在y轴上存在点Q,使得N0QM=N0NQ,

点Q的坐标为(0曲或(02)

规律方法解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先

假设所求的元素存在，再推理论证，最后检验说明其是否正确.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

般赌点•六獭I核3翔-蒯镂］-28-

突破点四

22

即时巩固4设椭圆C*+9=1（〃》＞0：的一个顶点与抛物线

Q4b©

C2：x2%的焦点重合，TO分别是椭圆Ci的左、右焦点，离而¥,

率

过椭圆G的右焦点F2的直线与椭圆C,交于A,B两点

⑴求椭圆G的方程.

⑵是否存在直线L使得0A0-1?若存在，求出直线的方程；若

不存在，请说明理由.

解：（桃物线&：xMy的焦点坐标为（0,。故b=L

结合卜=（=半，可得（”旺，

a2=c24-1,1c=迎.

2

故椭圆Ci的方程为

6.3直线与圆锥曲线

专题六

高甦点,牍獭I核口苗•预感般］-29—

突破点四

(2艰明显直线的余蟀存在

设A(xi,yi),B(X2,Y),假设存在满足题意的直线方程y=k(x-J2),

与椭圆方程。产I联立可得，(3k斗1墀碗2k2x*6k2-3川

nftl,6826〃2.3

2

所以0A•0B=xix2+yiy2=xix2+k(xrV2)(x2-J2)

=(k2+l)xTx2«2k2(xi+X2)+2k2,

即有啰+1)・黑一夜a需+2R=・1,

解得依土;，即存在满足题意的直线方程产片⑴企).

6.3直线与圆锥曲线

专题六

I^点.蹦I核心好•预狗磔

核心归纳

渣程组的解苦化为方程解的个数

位置

关系

交点坐标之间的关系

叫雌问题粤

建立目标函数

口依-F而性质（横、纵坐

期与确定变量标的范用）

—取值范围f位置关系建立不~

等式（判别式符号）

求函数的最值或值域

引入变量

定值［建立目标代数式

~［消变量，得定值

定猫引入变转化条件

目标直线的点斜式方程

赵｛斜截式方程

确定定点

引入变殳

探索性

问题建立目标方程

判断方程的解，确定存在性

6.3直线与圆锥曲线

专题六

-31-

1.(2019山东淄博阶段性诊断)已知x»X2是关于x的方程x2+mx-

(2m+l)=0的两个不等实根，则经过两点A(xi,x2),B(X2,x2)的直线与椭

22

圆高+-=1公共点的个数是(A)

lo4

A.2B.1

c.oD.不确定

6.3直线与圆锥曲线

专题六

核创里内•预则隧

预测演练

解析：因为X]X2是关于X的方程x2gC-⑵rH)=O的两个不等实根,

所以X1+X2=-m,xlx2=-(2m+l),

月.x?+mxi-(2m+l)=0,x2+mx2-(2m+l)=0,

直线AB的斜率以片抖=心+工尸如.

直线AB的方程为V-*二-加(心为)，

即y+mxi-(2m+l)=m(x-x),

整理得(x-2)mHy-1月).

故fi线AB回±点。)而该点在椭圆内部，

所以直线和圆相交，即公共点有两个故选A

6.3直线与圆锥曲线

专题六

臧稣.探晒破I拗闻.预献续

y2v2

2.（2018全国n,理12）已知Fi,F2是椭圆+左=1（。》＞0）的左、

右焦点，A是C的左顶点，点P在过A目斜率之为彳的直线匕△PEF2

为笋腰三角形,NF[2P=120。，则C的离心率为（D）

A--

A32

C.，D.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

|画烤点.1^^1核的科•砌石-34-

预测演练

解析：・・》（恐,0）,2^¥品为等腰三角形，

J|PF2I=|FiF2I=2c.

过点P作PE，x轴.

•・•ZFiF2P=120。，

:・ZPF2E=60°.

/.|F2E|=C,|PEI|=A/3C,/.P(2c,^3c).

・.・即人=《，・・・PA所在直线方程为y=Y（^a）.

.,・遍。=当2。+〃).

n

・c1

・・c=一=一,

a4

6.3直线与圆锥曲线

专题六

核创至内•丽则隧-35-

预测演练

3.(2019北京昌平区阴二模)已知抛物线GyBpxSO)过点M(1,-

2),A,B是抛物线G上异于点M的不同两点，且以线段AB为直径的圆

恒过点M.

⑴当点A与坐标原点O重合时，求直线MB的方程；

⑵求证：直线AB恒过定点，并求出这个定点的坐标.

解：⑴因为点M(l,-2)在抛物线G:y2=2px(p>0)上，所以(-2)2=2pxl,

所以p=2,即抛物线G:y2=4x.

当点A与点O重合时，易知kaw=2.

因为以线段AB为直径的圆恒过点M,

所以AM_LMB.

所以

所以MB:y+2=1(x・l)即直线MB的方程为x-2y-5=0.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

|高解点•扬

核创里内•预时懿—36-

预测演练

⑵显然直线AB与x轴不平行，设直线AB的方程为x=my+n.

(x=my+n

'消去x得y2-4my・4n=0.

2

ly=4X9

设A(xj,%),B(X2,y2).

因为直线AB与抛物线交于两点，所以

2

△=16m+16n>0,yi+y2=4m,yiy2=-4n.①

因为以线段AB为直径的圆恒过点M,

所以AMJ_MB

因为A,B是抛物线上异于M的不同两点，所以xi&#l,kwakwB-l.

6.3直线与圆锥曲线

专题六

高醴点核凶至内•预感殿-37-

预测演练

.“1+2%+2_4

刀「14171-2

4

同理得如产经=竽=’7

无2“火力・2

所以